湖南省郴州市2021-2022学年高一第二学期期末数学试题（含答案）

郴州市2022年高一下学期期末教学质量监测试卷

数  学（试题卷）

注意事项：

1.本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，有四道大题，共22道小题，满分150分，考试时间120分钟

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目．

3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．

4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，则的虚部为（    ）

A. B. C.3 D.

2.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2∶3∶5.现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（    ）

A.10 B.15 C.20 D.25

3.底面半径为2.母线长为4的圆锥的表面积为（    ）

A. B. C. D.

4.若向量（1，x），（，2）且，则x的值为（    ）

A.0 B.1 C.0或1 D.

5.△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则（    ）

A. B. C. D.

6.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，则异面直线AM与C1D1所成角的正切值为（    ）

A. B. C. D.

7.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、、兑八卦，每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），现有1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，在△ABC中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（    ）

A.16 B.17 C.18 D.19

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.下列命题不正确的是（    ）

A.三点确定一个平面  B.两条相交直线确定一个平面

C.一条直线和一点确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面

10.若复数z满足，则（    ）

A. B.z的实部为1 C. D.

11.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，且，则（    ）

A. B. C. D.

12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动时，下列命题正确的是（    ）

A.三棱锥A−D1PC的体积不变

B.直线CP与直线AD1的所成角的取值范围为

C.直线AP与平面ACD1所成角的大小不变

D.二面角P−AD1−C的大小不变

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13.一组数1、2、4、5、6、6、7、8、9的75%分位数为________．

14.已知事件A、B互斥，且事件A发生的概率P（A）＝，事件B发生的P（B）＝，则事件A、B都不发生的概率是________．

15.如图，为了测量河对岸的塔高AB．可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D，现测得CD＝30米，且在点C和D测得塔顶A的仰角分别为45°，30°，又∠CBD＝30°，则塔高AB＝________米．

16.已知A、B、C是半径为3的球O的球面上的三个点，且∠ACB＝120°，AB＝，AC＋BC＝2．则三棱锥O−ABC的体积为________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）若，，是同一平面内的三个向量，其中（3，）．

（I）若，且∥，求的坐标；

（Ⅱ）若且与垂直，求与的夹角．

18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．

（I）求证：EF∥平面PBC：

（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAC．

19.（本小题满分12分）郴州市某高中学校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到的频率分布直方图如图6所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．

（I）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；

（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

20.（本小题满分12分）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（Ⅰ）求角A；

（Ⅱ）从两个条件：①；②△ABC的面积为中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．

21.（本小题满分12分）如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，|AB|＝3|CD|，高，，将它沿对称轴OO1折叠，使二面角A−OO1−B为直二面角．

（I）证明：AC⊥BO1；

（Ⅱ）求二面角O−AC−O1的正弦值．

22.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，对于函数，称向量（a，b）为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．

（I）设函数，试求的伴随向量；

（Ⅱ）记向量（1，）的伴随函数为，求当且时的值；

（Ⅲ）由（I）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象，已知A（，3），B（2，6），问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

郴州市2022年高一下学期期末教学质量监测试卷

数学参考答案及评分细则

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1—5 CBBCD    6—8 CCA

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. AC    10.BD    11.ACD     12. ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.7   14.  15. 30   16.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分10分）

解：（I）设，，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）

又，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）

解得：或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）

∴或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

（II）∵且与垂直，

∴，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

又，代入上式解得∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

又，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）

18.（本小题满分12分）

解：证明：（I）取PC的中点G，连接FG，BG，如图所示：

∵F是PD的中点，

∴，且．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（1分）

又∵底面ABCD是菱形，E是AB中点，

∴，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）

∴，且，∴四边形BEFG是平行四边形，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）

又EF平面PBC，BG平面PBC，

∴EF//平面PBC；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）

（II）设，则O是BD中点，连接PO，

∵底面ABCD是菱形，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

又∵，O是BD中点，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）

又，AC平面PAC，PO平面PAC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

∴BD⊥平面PAC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）

∵BD平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

19.（本小题满分12分）

解：（I）第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三章的频率为0.30，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

所以中位数在第三组，不妨设为x，则，

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）

平均数为；．．．．．．．．．．．．．（6分）

（II）根据题意，“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，……（7分）

所以分层抽样得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有人，…………（8分）

将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，．．．．．．．．．．．．．（9分）

则这5人中选2人的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，．．．．．．．（10分）

其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共9种，．．．．．．．．．11分

所以至少有一人是“优秀”的概率是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

20.（本小题满分12分）

解：（I）因为，

所以，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）

所以因为所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

（II）分二种情况求解：

选择①，因为

由正弦定理得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

即△ABC的周长．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

因为，所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）

即△ABC周长的取值范围是（6，9]．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

选择②．

因为，，得，．．．．．．．．．．．（7分）

由余弦定理得，

即△ABC的周长．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

因为，当且仅当时等号成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）

所以．…（11分）

即△ABC周长的取值范围是[6，＋∞）．．．．．（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（I）由题知，，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB．

所以AO⊥平面，

所以OC是AC在平面内的射．影．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）

，高，，得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）

因为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（4分）

所以，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（6分）

（II）由（I）知，，所以⊥平面AOC．

设，过点E作于点F，连接如图，则EF是在平面AOC内的射影．

所以，

所以是二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）

由（I）知得，，高，，得，．

所以，，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

所以，，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（10分）

又，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（11分）

所以二面角的正弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）

22.（本小题满分12分）

解：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（2分）

故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3分）

（II）由题意得：，故，由于x（，）所以，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（5分）

所以

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（7分）

（III），所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（8分）

假设存在点，使得，则

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．（9分）

因为所以，

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

又因为，所以当且仅当时，和同时等于，

此时P（0，2），．．．．．．．．．．．．．．．（11分）

故在函数的图象上存在点P（0，2），使得．．．．．．．．．．．．．．．．．．（12分）