湖南省郴州市2021-2022学年高二下学期期末考试 数学

郴州市2022年上学期期末教学质量监测试卷

高二数学

注意事项：

1．试卷分试题卷和答题卡，试卷共6页，有四大题，22小题，满分150分．考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、班次、准考证号、考室号及座位号写在答题卡和试题卷的封面上．

3．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．

4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 集合，集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解一元二次不等式和指数不等式可分别求得集合，根据交集定义可得结果.

【详解】由得：，即；

由得：，即；

.

故选：C.

2. 为了全面落实双减政策，某中学根据学生身心特点开展了体育、艺术、阅读、劳动、手工五大主题的课后服务课程，学生可根据自己的兴趣爱好进行自主选择，有力促进了学生健康快乐的成长，已知学生甲、乙都选择了体育类的篮球，在一次篮球测试中，甲合格的概率为，乙合格的概率为，则甲、乙至少有一人合格的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，求出甲乙都不合格的概率 ，再利用对立事件的概率公式计算作答.

【详解】依题意，测试中，甲乙是否合格相互独立，甲乙两人都不合格的概率为，

所以甲、乙至少有一人合格概率为.

故选：D

3. 在等差数列中，已知，，则数列的公差为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】设等差数列的公差为，根据，可得答案.

【详解】设等差数列的公差为，由题意得

，即.

故选：A.

4. 正四面体P-ABC中，M为PC的中点，则异面直线AM与PB所成角的余弦值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】取中点，连接，，则，是异面直线AM与PB所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AM与PB所成角的余弦值．

【详解】解：中点，连接，，

设正四面体的棱长为2，

则，，且，

∴是异面直线AM与PB所成角（或所成角的补角），

故异面直线AM与PB所成角的余弦值为：

．

故选：C．

5. 为进行学考复习，某高一学生将地理、历史、化学、生物4科的作业安排在周六，周日集中突破，要求每天至少完成一科，则完成作业的不同方式种数为（    ）

A. 48 B. 56 C. 64 D. 72

【答案】D

【解析】

【分析】每天至少完成一门学科，即一天一门一天三门，或两天各两门，注意同一天完成的学科也有顺序.

【详解】分类讨论，当一天完成一科，一天完成三科，情况有种，当两天各复习两科时，情况有种，因此一共种方法.

故选：D

6. 如图，直角梯形ABCD中，，，，，则（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】先用向量表示，再根据数量积的运算律和定义计算.

【详解】由图形可得，

，

所以，

故选：D.

7. 月日是世界睡眠日，年世界睡眠日中国主题是“良好睡眠，健康同行”．中国睡眠研究会常务理会吕云辉教授围绕这一主题进行了深度解读，以严谨的理论和丰富的案例佐证了良好睡眠于健康体魄的重要性．某中学数学兴趣小组为了研究良好睡眠与学习状态的关系，调查发现该校名学生平均每天的睡眠时间，则该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为（    ）（结果四舍五入保留整数）

附：若，则，，．

A  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合原则，可求得，由此可确定对应的学生人数.

【详解】，，，

，

该校每天平均睡眠时间为小时的学生人数约为.

故选：B.

8. 过点作曲线的切线有且只有两条，则b的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】设切点，进而求得切线方程，进而得到，构造函数分析的单调性与取值范围即可判断有且仅有两根时b的取值范围即可

【详解】设切点为，，故过的切线方程为，即.故有且仅有两根.设，则，令则，令则，且，又当时，，.故有且仅有两根则b的取值范围为

故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 已知复数满足，（其中i为虚数单位）（    ）

A.

B. 复数的虚部为

C.

D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限

【答案】ACD

【解析】

【分析】由复数除法运算可求得，结合复数的模长、虚部、共轭复数和几何意义依次判断各个选项即可.

【详解】；

对于A，，A正确；

对于B，由虚部定义知：的虚部为，B错误；

对于C，，，C正确；

对于D，对应的点的坐标为，位于第四象限，D正确.

故选：ACD.

10. 一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，下面几个命题中正确的是（    ）

A. 如果随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是

B. 如果是不放回地抽取2球，则取出两个红球和取出两个白球是对立事件

C. 如果是有放回地抽取2球，则取出1个红球1个白球的概率是

D. 如果是不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是

【答案】AD

【解析】

【分析】随机取出一球，易求出第一次摸到红球的概率可判断A；由对立事件的概念可判断B；有放回地抽取2球，则求出任取一个球分别求出取到红球和白球的概率，由独立事件的乘法公式可判断C；由条件概率的计算公式可判断D.

【详解】一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和2个白球，随机取出一球，则第一次摸到红球的概率是，故A正确；

不放回地抽取2球，取出两个红球和至少一个白球是对立事件，故B不正确；

有放回地抽取2球，则任取一个球取到红球的概率为，白球的概率为，所以取出1个红球1个白球的概率是，所以C不正确；

不放回地抽取2个球，则在第1次取出一个红球为事件，第2次取出红球为事件，所以.所以D正确；

故选：AD.

11. 如图，在边长为2的正方体中，点M在底面正方形ABCD内运动，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则M点的轨迹长度为

B. 若平面，则M点的轨迹长度为2

C. 若，则M点的轨迹长度为2

D. 若平面，则三棱锥的体积为定值

【答案】AD

【解析】

【分析】若，则在平面上M点的轨迹是以为圆心、圆心角为、半径为的圆弧，求出长度可判断A；连接，由平面平面，得M点在线段上，求出长度可判断B；若， 得出平面，则M点的轨迹为，求出长度可判断C；若平面，在线段上，利用平面、三棱锥，可判断D.

【详解】对于A，若，则在平面上M点的轨迹是以为圆心、圆心角为、半径为的圆弧，其长度为，故正确；

对于B，连接，因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，

所以平面，且，所以平面平面，

当平面即平面时，有平面，此时M点在线段上，轨迹长度为，故错误；

对于C， 若， 因为，所以，因为为等腰直角三角形，所以为的中点，，因为平面，平面，所以，且，所以平面，则M点的轨迹为，其长度为，故错误；

对于D，若平面，则在线段上，因为平面，所以直线上每一点到平面的距离都相等，且底面的面积不变，所以三棱锥的体积不变，由三棱锥，即的体积即为定值，故正确.

故选：AD.

12. 2022年北京冬奥会开幕式精彩纷呈，其中雪花造型惊艳全球．有一个同学为了画出漂亮的雪花，将一个边长为1的正六边形进行线性分形．如图，图（n）中每个正六边形的边长是图中每个正六边形的边长的．记图（n）中所有正六边形的边长之和为，则下列说法正确的是（    ）

A. 图（4）中共有294个正六边形

B.

C. 是一个递增的等比数列

D. 记为数列的前n项和，则对任意的且，都有

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式的计算以及等比数列的性质求解即可.

【详解】对于A，由图可知，图至图中正六边形的个数构成以为首项，

为公比的等比数列，故图中共有个正六边形，A错误；

对于B，由题可知，图中每个正六边形的边长为，

，，B正确；

对于C，是底数大于的指数型函数，

 是一个递增的等比数列，C正确；

对于D，，，，

，

当且时，

对任意的且，都有，D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中的的系数为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可

【详解】的展开式的通项为，

令，所以的系数为.

故答案为：

14. 某工厂从甲、乙两个分厂定制配件．其中甲厂获得40%的订单，次品率为9%；乙厂获得60%的订单，次品率为4%．那么这批配件的次品率为_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意利用全概率公式求解即可.

【详解】设事件表示甲厂中的配件，则，

事件表示乙厂中的配件，则，

事件表示次品的配件，则，，

故答案为：.

15. 双曲线的左右顶点为，过原点的直线与双曲线交于两点，若的斜率满足，则双曲线的离心率为_________．

【答案】

【解析】

【分析】由对称性可证得四边形为平行四边形，可知；设，利用两点连线斜率公式可化简得到，由可求得双曲线的离心率.

【详解】由题意知：，，

若为坐标原点，则，，四边形为平行四边形，

，即，；

设，则，

，

双曲线的离心率.

故答案为：.

16. 函数．若对任意，都有，则实数m的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】将条件转化为，然后设，则问题转化为，进而根据函数为增函数得到，最后通过分离参数求得答案.

【详解】由题意，，设，则问题可转化为.

因为是上增函数（增+增），所以恒成立.

设，则，时，单调递增，时，单调递减，所以，于是.

故答案为：.

【点睛】本题的破解点在于设，进而得到，此方法叫“同构”，平常注意归纳总结.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 记正项数列的前n项和为，已知，           ．

从①；②；③这三个条件中选一个补充在上面的横线处，并解答下面的问题：

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项的和，求证：．

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）选择①利用可得答案；选择②利用累乘法可得答案；选择③利用等差数列的定义可得答案；

（2）利用裂项相消求和可得答案.

【小问1详解】

选择①，

当时

，

而时，满足左式，

∴．

选择②，

，

选择③，

由，得，从而得．

【小问2详解】

因为，

所以

因为，

所以，

∴.

18. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足．

（1）求角C的值；

（2）若，，求的周长．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理将条件转化为角的关系，化简可求C；(2)由三角形面积公式可求，再结合余弦定理求出可得的周长．

【小问1详解】

由条件及正弦定理可得：

∴

∵

∴

∴，，

∴

【小问2详解】

∵

∴

由余弦定理：

∴结合

可得：，

则的周长．

19. 如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．

（1）证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．

【详解】（1）是正三角形，为的中点，

．

又是直三棱柱，

平面ABC，

．

又，

平面．

（2）连接，由（1）知平面，

∴直线与平面所成的角为，

．

是边长为2的正三角形，则，

．

在直角中，，，

．

建立如图所示坐标系，则，，，，．

，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．

，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．

设平面与平面夹角为，则

．

平面与平面夹角的余弦值为．

20. 溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：

（1）现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，记这3名学生中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．

（2）根据小概率值的独立性检验，能否推断该校高二年级男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？若有关，请结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异．

附：参考公式，其中．

下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值

【答案】（1）分布列见解析，2；   

（2）性别与了解安全知识的程度有关，答案见解析.

【解析】

【分析】（1）首先按照分层抽样比例得到抽取男生4人，女生2人，然后得出的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应概率，列出分布列，再利用期望计算公式求解即可；

（2）利用独立性检验相关公式求解出观测值，再根据临界值表得出结论，进一步根据相关性结合表中数据分析了解安全知识的程度与性别的差异即可.

【小问1详解】

200名学生中得分超过85分的人数为150人，其中男生人数为100人，女生人数为50人，因此按性别进行分层抽样得：

男生人数：人，女生人数：人，

故X的所有可能取值为1，2，3，则

，

，

．

所以X的分布列为：

数学期望；

【小问2详解】

根据列联表可：，

根据小概率值的独立性检验，我们认为性别与了解安全知识的程度有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．

由表中数据可得男生中得分不超过85分的所占比例为，女生中得分不超过85分的所占比例为，女生的比例为男生的倍，

根据频率稳定概率的原理，我们认为该校女生和男生在了解安全知识的程度方面存在差异．

21. 已知椭圆C：的离心率为，左顶点坐标为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设点，问：直线BM，BN的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由．

【答案】（1）   

（2）为定值，定值为-2

【解析】

【分析】（1）由题意，先求得a值，根据离心率，可得c值，根据a，b，c的关系，可得的值，即可得答案.

（2）当直线l斜率存在时，设直线l：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，根据斜率公式，求得的表达式，化简整理，即可得答案；当直线l的斜率不存在时，直线l：，所以，化简计算，可得为定值，即可得答案.

【小问1详解】

由题意得

又，所以

所以，

所以椭圆C：．

【小问2详解】

当直线l斜率存在时，设直线l：，（其中），，，

联立，消y可得，

则，解得或，

，

所以

（定值）

当直线l的斜率不存在时，直线l：，则M，N关于x轴对称，所以，

所以，

综上可得（定值）

22. 已知（且），．

（1）求在上的最小值；

（2）如果对任意的，存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）-1    （2）

【解析】

【分析】（1）对求导，因为为偶函数，求出在的单调性，即可求出上的最小值；

（2）由（1）知，在上的最小值为 ，所以，使得成立，即成立，即，设，，即只需即可．

【小问1详解】

，

显然为偶函数，当时，

时，，，∴在单调递增；

时，，，∴在单调递减；

，，，∴在上的最小值为．

由偶函数图象的对称性可知在上的最小值为．

【小问2详解】

先证，设，则，

令，令，

∴在上单调递增，在上单调递减．

故①恒成立．

由题意可得，使得成立，

即成立．

由①可知，

参变分离得，

设，，

即只需即可．

由①知得，

∴

令，令，

∴在上单调递减，在上单调递增．

∴，

∴，

又已知

故a的取值范围为．