2022-2023学年湖南省郴州市教研联盟高一上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省郴州市教研联盟高一上学期期末联考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，不定项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（共8题，共40分）
1. 已知全集，集合或或，则集合（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据，集合或先确定，再根据或，求即可.
【详解】，或
或，
故选：C
2. 已知，则“存在使得”是“”的（ ）．
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件，必要条件定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.
【详解】(1)当存在使得时，
若为偶数，则；
若为奇数，则；
(2)当时，或，，即或，
亦即存在使得．
所以，“存在使得”是“”的充要条件.
故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，属于基础题.
3. 若，则的最小值为
A. -1B. 3C. -3D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】分析：代数式可以配凑成，因，故可以利用基本不等式直接求最小值.
详解：，当且仅当时等号成立，故选A.
点睛：利用基本不等式求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，有时题设给定的代数式中没有和为定值或积为定值的形式，我们需要对代数式变形，使得变形后的代数式有和为定值或者积为定值.特别要注意检验等号成立的条件是否满足.
4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A. B. {或}C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式的解集求出，代入不等式中，化简求出不等式的解集．
【详解】解：因为不等式的解集为，
的两根为，2，且，即，，解得，，
则不等式可化为，解得，则不等式的解集为．
故选：A.
5. 设是定义在上的周期为的偶函数，已知当时，，则当 时，的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】当时，由可得出的表达式；当时，由函数的周期性和奇偶性可得出.综合可得结果.
【详解】当时，，，
当时，，，
因为函数为偶函数，则，
综上所述，当时，.
故选：C.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项．
【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足．
故选：A.
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．
7. 是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有，且当x∈[﹣2，0]时，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则a的取值范围是
A. （1，2）B. （2，+∞）C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知是定义在R上的周期为4的函数；从而作函数与的图象，从而结合图象解得．
【详解】解：∵对x∈R，都有，
∴是定义在R上的周期为4的函数；
作函数与的图象如下，
结合图象可知，，
解得，≤a＜2；
故选：D．
8. 已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由两角和的正弦公式可得，再利用函数在上单调递减，列不等式组求解即可.
【详解】解：因为，所以，
因为，函数在上单调递减，所以，得.当时，，所以，解得，
故选:.
【点睛】本题考查了两角和的正弦公式及利用函数的增减性求参数的范围，重点考查了运算能力，属中档题.
二、不定项选择题（共4题，20分）
9. 若是的必要不充分条件，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】解方程，根据题意可得出关于实数的等式，即可解得实数的值.
详解】由，可得或.
对于方程，当时，方程无解；
当时，解方程，可得.
由题意知，，则可得，
此时应有或，解得或.
综上可得，或.
故选：BC.
10. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的解集为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，得到，，然后逐项判断.
【详解】∵不等式的解集为，
根据根与系数的关系，可得，，
则可化为，解得，∴A正确；
，∴B正确；
，∵，∴，
当且仅当，即时取等号．
即，故的最大值为，∴C正确，D错误．
故选：ABC
11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A. 是偶函数B. 是奇函数
C. 在上是增函数D. 的值域是
【答案】BCD
【解析】
【分析】取特值计算判断A；分析函数的性质判断B，C；求出的值域结合高斯函数意义判断D作答.
【详解】依题意，，
因，，
即，则函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
因，则是奇函数，B正确；
因函数在R上递增，在R上递减，则在R上是增函数，C正确；
因，有，即，则，因此，D正确.
故选：BCD
12. 设函数，已知在有且仅有个零点，对于下列个说法正确的是（ ）
A. 在上存在，，满足
B. 在有且仅有个最大值点
C. 在单调递增
D. 的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用三角函数图象及周期的计算，由有且仅有个零点来得区间长度的大致位置，进而解的范围，再判断区间单调性．由题意根据在区间有个零点画出大致图象，可得区间长度介于周期，再用表示周期，得的范围，进而求解即可．
【详解】画出大致图象如下图，
当时而，
所以时先单调递增，
函数在仅有个零点时，则的位置在之间包括，不包括，
令，则得， ，
轴右侧第一个零点为，周期，
所以，
所以D正确．
在区间上，函数可达到最大值和最小值，
所以存在，，满足，所以A正确，
由大致图象得，可能有两个最大值，不一定正确；
因为最小值为，所以时，，但，
所以，函数不单调递增，
所以不正确．
故选：．
三、填空题（共4题，共20分）
13. 已知集合，且，则实数a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据补集的概念，求出，再由，即可得出结果.
【详解】因为，所以或，
又，，
所以只需，
即实数的取值范围为.
故答案为：
14. 已知函数的值域是，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设，由已知条件可知可取到上的所有值，当时满足题意，当时需满足，解不等式得或，所以实数的取值范围是
考点：函数性质
15. 已知 ．若对任意的，均有 或 ，则 的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】由，得，所以在上恒成立，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】解：因为，
令，得，
又因为对任意的，或，
所以在上恒成立，
易得时，不满足；
故由二次函数性质可知，
解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
16. 已知函数，若在区间内单调递增，且函数的图象关于对称，则函数的最大值为__________，___________.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数为；由正弦型函数值域可确定值域，进而得到最大值；根据正弦型函数对称中心可构造方程求得；利用单调性可构造不等式组求得的范围，进而确定的值，从而得到结果.
【详解】
，即
关于对称 ， ，
在内单调递增 ，
解得：，且，

故答案为：；
【点睛】本题考查正弦型函数的值域的求解、根据正弦型函数的单调性和对称中心求解参数值的问题；关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的性质，确定参数所满足的方程或不等关系，进而确定参数的值.
四、解答题（共5题，共70分）
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）证明：是增函数.
【答案】（1）
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先根据函数的奇偶性和可求得参数的值便可求出函数解析式.
（2）根据函数单调性的定义证明函数的单调性.
【小问1详解】
解：由题意得：
函数是定义在上的奇函数
，即
又
【小问2详解】
由（1）得：
设
故此，即
所以在区间在是增函数.
18 已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即可作答.
（2）根据给定条件，利用一元二次不等式恒成立列出不等式，求解不等式作答.
【小问1详解】
当时，，因此，解得，
所以原不等式的解集为.
【小问2详解】
依题意，，，
当时，，解得，不合题意，
因此，二次函数值恒小于0，则，且，
化简得：，解得或，
于是得，
所以实数的取值范围是.
19. 已知是幂函数，且在上单调递增．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最小值．
【答案】（1）4
（2）当时， ；当时， ，当时， ．
【解析】
【分析】（1）根据函数是幂函数知，求解后根据函数在上单调递增即可求m（2）化简，根据二次函数的对称轴与的关系分三类讨论，可求出函数的最小值.
【详解】（1）是幂函数，
∴，解得或；
又在上单调递增，
∴，
∴的值为4；
（2）函数，
当时，在区间上单调递增，最小值为；
当时，在区间上先减后增，最小值为，
当时，在区间上单调递减，最小值为．
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与性质，二次函数分类讨论求最小值，属于中档题.
20. 已知函数
（1）若为奇函数，求的值
（2）若在内有意义，求的取值范围
（3）在（1）的条件下，若在区间上的值域为，求区间
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，从而得到，再解方程即可.
（2）根据题意得到的定义域为，再根据在内有意义，即可得到.
（3）首先利用复合函数的单调性得到在为减函数，从而得到，，再解方程即可得到答案.
【详解】（1）因为为奇函数，所以.
所以，
即，解得或.
当，，舍去.
当，，定义域为，关于原点对称，符合题意.
所以.
（2）因为，所以，即.
又因为在内有意义，所以得到的定义域为，
所以.
（3）由（1）知：，定义域为.
令，则，为减函数.
所以在为减函数.
因为在区间上的值域为，
所以，，解得.
所以区间为
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，同时考查了函数的定义域，属于中档题.
21. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求的最小正周期和单调递增区间；
（3）将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若函数在上有且仅有两个零点，求的取值范围.
【答案】（1）2；（2）；，；（3）.
【解析】
【分析】
（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简，即可代入，求出结果；
（2）根据最小正周期的公式即可计算出周期，令可解出单调递增区间；
（3）先求出解析式，则该题等价于在上有且仅有两个实数，满足，结合函数图象即可求出范围.
【详解】（1）∵函数，
∴，故
（2）由函数的解析式为可得，它的最小正周期为.
令，求得，
可得它的单调递增区间为，.
（3）将函数的图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
若函数在上有且仅有两个零点，
则在上有且仅有两个实数，满足，即.
在上，，
∴，求得.
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查最小正周期和单调区间的求解，考查三角函数的零点问题，属于中档题.