湖南省郴州市2021-2022学年高一数学上学期期末质量监测试题（Word版附解析）

郴州市2021年下学期教学质量监测试卷

高一数学

一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合，则（    ）

A. {0} B. {1，2} C. {1} D. {0，1，2}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合交集定义运算即可．

【详解】由于，所以

故选：B

2. =

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】，故选C.

3. 已知函数，则 =（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】A

【解析】

【分析】可直接根据分段函数，求得

【详解】根据分段函数可知：

故选：

4. 已知正数，满足，则的最小值为（    ）

A. 6 B. 8 C. 16 D. 20

【答案】C

【解析】

【分析】运用的“的妙用”和基本不等式即可求解.

【详解】由已知条件得

，

当且仅当，时，即，时等号成立.

故选：.

5. 若，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.

【详解】，，，

因此，.

故选：C.

6. 函数的大致图像为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求函数的定义域，并判断函数的奇偶性，从函数图像对称性角度排除部分选项，再以特殊值排除部分选项即可解决.

【详解】函数定义域为R，

由可知，

函数为R上奇函数，其图像关于原点中心对称，排除BD；

由可得，或,

则是函数的一个零点，是函数的第一个正值零点，

由，可排除C，选A

故选：A

7. 现将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，则函数的解析式为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数的图象变换原则，由题中条件，即可得出结果.

【详解】将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，

再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，所以.

故选：D.

8. 函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由题意判断出函数的单调性，再把关于偶函数的抽象不等式转化成整式不等式，解之即可.

【详解】由对任意，都有，

可知时，有，则函数在上单调递增，

又函数为偶函数，则不等式可化为

即，解之得

故选：B

二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设，，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

由不等式的性质，的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.

【详解】A：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即，正确；

B：因为在定义域内为增函数，由题意知，故有，正确；

C：当时，，故错误；

D：当时，，故错误；

故选：AB.

10. 下列命题正确的是（    ）

A. 函数的定义域为（1，+∞）

B. 命题“”的否定是“”

C. “为锐角”是“”的必要不充分条件

D. 方程在区间上有实数根

【答案】BD

【解析】

【分析】求出的定义域即可判断选项，根据命题的否定可以判断选项,举反例时，或即可判断选项不正确，利用零点存在性定理即可判断选项.

【详解】对于选项，的定义域为，故定义域为，则选项不正确；

对于选项，命题“”的否定是“”, 则选项正确；

对于选项，若“为锐角”“”，若“” 推不出“为锐角”，例如：时，或，即“为锐角”是“”的充分不必要条件；则选项不正确；

对于选项，令函数，其中，

，即，且在区间上单调递增，故存在使，方程在区间上只有一个实数根,则选项正确.

故选：.

11. 已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值为0 B. 的最小正周期为

C.  D. 奇函数

【答案】ABC

【解析】

【分析】对选项，结合正弦函数的值域和绝对值直接可得；对选项，根据周期函数的定义可得到即可；对选项，根据正弦函数的单调性，可得；对选项，根据定义判别函数的奇偶性，可得为偶函数.

【详解】对选项，，则，故选项正确；

对选项，，即有：，故选项正确；

对选项，，，由正弦函数在上单调递增，则有：，故选项正确；

对选项，故为偶函数，故选项错误.

故选：

12. 已知函数f（x）对都有，且.则下列结论正确的是（    ）

A. f（x）为偶函数 B. 若，则

C.  D. 若，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据条件，利用赋值法逐一判断即可.

【详解】因为函数f（x）对都有，且.

所以令可得，所以

令可得，所以，所以为偶函数，故A正确；

令可得，所以，故B错误；

令可得，故C正确；

若，则，所以

所以，故D正确；

故选：ACD

三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知幂函数的图象过点，则=__________.

【答案】3

【解析】

【分析】先由幂函数定义，再代入点的坐标即可求解.

【详解】解：由幂函数定义知，，又过，所以，，

故答案为：3

【点睛】考查幂函数定义的应用，基础题.

14. 写出一个最小正周期为π的函数___________.

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】直接利用周期的公式写出解答.

【详解】解：由于正弦型函数的最小正周期，

所以这个函数可以是（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）

15. 为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0，超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为x（）万元时奖金为f（x）千元，下面给出三个函数模型：①；②；③.其中.请选择合适的函数模型，并计算：业绩为100万元时奖金为___________千元.

【答案】

【解析】

【分析】根据“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”可知，给出的模型中只有满足，“必须和原来的计划接轨”表明，当时，，再结合“销售业绩为20万元时奖金为1千元”可知，当时，，然后解出方程即可

【详解】根据题意，当时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的提高而提高”，而只有模型“”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度逐渐上升”，故模型选择：

根据题意，则有：

解得：

则模型为：

当时，

故答案为：

16. 已知函数部分图像如图所示，设函数，则的值域为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据给定图象结合“五点法”作图求出函数的解析式，再求出函数，利用二倍角公式化简，借助二次函数即可求解作答.

【详解】观察函数图象知，令函数周期，则，即，，

而当时，取得最大值，则，又，则有，

又，解得，因此，，

则

，

因，则当时，，当时，，

所以的值域为.

故答案为：

【点睛】方法点睛：求含或的二次型函数的值域或最值问题，可以直接配方整体思想求解；

也可以换元转化成二次函数在闭区间上的值域或最值问题求解.

四､解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （1）求值：；

（2）已知x是第三象限角，且，，先化简，再求的值.

【答案】（1）；（2），.

【解析】

【分析】（1）以实数指数幂的运算性质和对数运算性质解之即可；

（2）先以三角函数诱导公式化简函数，再以同角三角函数关系解之即可.

【详解】（1）

（2）

∵ ，∴

代入得

∵ x是第三象限角，∴

故

18. 已知集合.

（1）求，；

（2），求实数m的取值范围.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用集合并集、交集和补集运算法则直接求解即可；

（2）由已知条件可知，则对集合分成和两类进行讨论，最后两者结果求并集即可.

【小问1详解】

由已知得；

∵，∴；

【小问2详解】

∵，∴，

当集合时，，即；.

当集合时，，即，

综上所述，实数的取值范围为.

19. 已知，且，若函数在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为1.

（1）求a的值；

（2）解不等式；

（3）求函数的单调区间.

【答案】（1）   

（2）   

（3）增区间为），减区间为

【解析】

【分析】（1）由可知，知函数在区间[a，2a]上单调递增，据题意列方程即可求得参数a的值；

（2）由在R上单调递减，可以把所求指数不等式转化成整式不等式，解之即可；

（3）由“同增异减”的复合函数单调性判断规则解之即可.

【小问1详解】

，∴ ，∴ .

∴ 在[a，2a]上为增函数，

函数在区间[a，2a]上的最大值为，最小值为

则

【小问2详解】

由（1）可知，不等式即

∵在R上单调递减，

∴，解之可得

∴ 所求不等式的解集为

【小问3详解】

由（1）知函数即

要使函数有意义，有，即，

令在单调递减，在单调递增；

因为函数在单调递增，.

由复合函数的单调性可知：

的增区间为），减区间为

20. 已知函数

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）当时，求函数f（x）的值域.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式化简三角函数解析式，然后由周期公式即可求解；

（2）利用整体思想，结合正弦函数的图象，即可求解函数f（x）的值域.

【小问1详解】

解：因为，

所以函数的最小正周期为；

【小问2详解】

解：当时，，

∴，

，

所以的值域为.

21. 习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青山.绿水青山就是金山银山.”某精细化工厂在生产时，对周边环境有较大的污染，该工厂每年的利润（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系为：

（1）求该工厂利润最大时的年产量x（吨）的值，并求出最大利润；

（2）某项环境污染物指数y（）与年产量x（吨）和环境治理费t（万元）之间的关系为：.其中为污染物指数安全线.该工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？

参考：，是百万分比浓度

【答案】（1）年产量100（吨）时，有最大利润300万元   

（2）53.60万元

【解析】

【分析】（1）分别在两个区间和求函数的最大值，两个最大值之中的较大者为分段函数的最大值；

（2）把指数不等式转化成对数不等式，再转化成整式不等式即可得解.

【小问1详解】

当时，，

当时，，

综上可知（万元）；

即年产量100（吨）时，有最大利润300万元；

【小问2详解】

由（1）可知，则有.

即，可得

整理得，则

即：至少需要投入53.60万元环境治理费才满足要求.

22. 对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.

（1）判断函数是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由；

（2）已知函数有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出的最大值.

【答案】（1）存在，   

（2）

【解析】

【分析】（1）按函数的单调区间分类讨论在区间[m，n]上的值域，根据题目要求列方程解之即可；

（2）由数有“美好区间”[m，n]，可推导出参数a需满足的条件，进而求出以参数a表示的的代数式的最大值.

【小问1详解】

函数存在美好区间.

假设存在美好区间[m，n]，由函数f（x）的定义域为，∴  n>m>0

∵∴

由“美好区间”的定义可知：

1）当时，在（0，）上为减函数，

故有，即，此时实数m，n的值不存在

2）当时，在上为增函数.

故有，即由此可得m，n是方程的根.

解得，而，所以此时成立

综上所述，函数存在美好区间，其中

【小问2详解】

设[m，n]是的美好区间，

则或，.

故函数在[m，n]上单调递增.

由[m，n]是函数的“美好区间”，则，

故m，n是方程，即的同号的相异实数根.

由，可知同号，只须，

即或时，函数有“美好区间”[m，n].

此时

由或得

故当即时，有最大值