2021-2022学年河南省驻马店市高一下学期期末考试数学试卷含解析

  驻马店市2021~2022学年度第二学期期终考试

高一数学试题

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. （    ）

A.  B.  C.  D.

2. 平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 复数，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

4. 已知，若直线、分别在平面、内，则、的关系不可能是（    ）

A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 异面

5. 已知，则的最大值为（    ）

A.  B. 3 C.  D.

6. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是如果两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，现有等高的四棱锥和圆锥满足祖暅原理的条件，若该圆锥的高为，其轴截面为等边三角形，则该四棱锥的体积等于（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，若只有一解，则实数x的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D. 或

9. 如图所示半径为4m的水轮其圆心O距离水面2m．已知水轮自点A开始沿逆时针方向匀速转动，1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系，则有（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

10. 已知三棱柱中，所有棱长均为6，且，则该三棱柱的侧面积等于（    ）

A.  B.  

C.  D.

11. 已知D，E分别是边AB，AC上点，且满足，，，连接AO并延长交BC于F点．若，则实数的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知平面四边形ABCD，连接对角线BD，得到等边三角形ABD和直角三角形BCD，且，，，将平面四边形ABCD沿对角线BD翻折，得到四面体，则当四面体的体积最大时，该四面体的外接球的表面积为（    ）

A 12π B. 18π C. 21π D. 28π

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．

13. 若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为__________．

14. 一水平放置的平面图形按“斜二测画法”得到直观图为斜边等于的等腰直角三角形，则原平面图形的面积为______．

15. 已知角的终边上有一点，且，则实数m取值为______．

16. 设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为的边BC上的中线，且，，，则______．

三、解答题；本大题共6个小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤．

17. 已知，．

（1）证明：；

（2）计算：的值．

18. 已知向量，．

（1）若，求实数m的值；

（2）若为钝角，求实数m的取值范围．

19. 如图，三棱锥中，，均为等边三角形，，O为AB中点，点D在AC上，满足，且面面ABC．

（1）证明：面POD；

（2）若点E为PB中点，问：直线AC上是否存在点F，使得面POD，若存在，求出FC的长及EF到面POD的距离；若不存在，说明理由．

20. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．

（1）求B的值．

（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围．

21. 如图所示，在直角梯形BCEF中，，A，D分别是BF，CE上的点，且，，将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE，AC．

（1）证明：面BEF；

（2）若，求直线BF与平面EBC所成的角的正弦值．

22. 已知函数，且的最小正周期为，将的图像沿x轴向左平移个单位，得到函数，其中为的一条对称轴．

（1）求函数与的解析式；

（2）若方程在区间有解，求实数t取值范围．

答案

1-12 BCDBB  AADCD  DC

13. 1

14.

15. 0或

16.

17.（1）方法一：由条件，

则

即

整理得

也即，得证．

方法二：由条件，

即，

得，

从而可得

得证．

（2）由于

所以原式

18. （1）由，则

即

即，得．

（2）若为钝角，即且

即，得，

且则

得且

综上解得且．

19.（1）由条件、为等边三角形，为的中点，

则，，，

由余弦定理得

从而在中，，

得为直角三角形，且，

又面面，面面，且，面,

则由面面垂直的性质定理可得面

由面，

因此由，，，面，即面POD.

（2）存在AC上的点F，使得面

点E为PB中点，取的中点，可得，再在面内作交于点，该点即为满足题意的点（如图）．

下面证明面面

由于，面，面，则面，

，面，面，则面，

面，面，，

则由面面平行的判定定理可得面面，面，因此面POD

又由于，从而可得，，，

由（1）可知，面，则面，即为面与面间的距离，也即到面的距离．

综上：存在上的点，使得面，，

到面的距离为．

20.（1）方法一：由正弦定理得，则，

又，则根据条件，

所以，

因为，所以．

方法二： 根据条件得，

由正弦定理可得，

因为，，

所以，即，

因为，所以．

（2）方法一：若为锐角三角形，结合（1），则，，

所以①

又因为，且，

所以，

上式代入①中得，所以，

从而．

方法二：若为锐角三角形，结合（1），

则，解得，

由于

，

因为，所以，

所以

21.（1）方法一：取ED中点H，连接HA，HC，HF，如下图：

由题意可知,即四边形AFEH为平行四边形，

可得，面EFB, 面EFB，可得面EFB，

四边形AFHD为平行四边形，则，，

可得四边形BCHF为平行四边形，则，面EFB, 面EFB，

可得面EFB，，面AHC, 面AHC,

根据面面平行的判定定理可得面面AHC，面AHC,

从而可得面EFB．

方法二：在面AFED内，延长EF，DA交于G点，连接BG，如下图：

则面EFB．由条件，则．

从而可得，四边形AGBC为平行四边形．

可得，又面EFB，面EFB，

根据线面平行的判定定理可得面EFB．

（2）取ED中点H，平面DEC内作于M点，如下图：

由题意，，

进而可得四边形FHCB为平行四边形，．

直线BF与平面EBC所成角即为直线HC与平面EBC所成的角,

翻折过程中，始终有，，，

即恒有面EDC，面EDC，面BEC,

可得面面BCE，面面BCE=CE，面DEC ,

可得面BCE，从而HC在面EBC内的射影为MC，

因此BF与平面EBC所成的角为，

若，则，进而可得，，，

在中，由正弦定理可得，即，

解得，即直线BF与平面EBC所成角的正弦值为．

22.（1）由条件则

且的最小正周期为，则

即，将的图像沿轴方向向左平移个单位，

得到函数

且为的一条对称轴，即

由可得

从而可得

．

（2）由（1）可知

记

即，

再记，

，

代入中，则的值域求解问题等价于

，的值域，

当时，；当时，

因此的值域为，也即为

原命题“若方程在区间有解”

即等价于在内有解

只需即可，解得即为所求．