2021-2022学年河南省安阳市滑县高一（下）期末数学试卷-普通用卷

2021-2022学年河南省安阳市滑县高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知复数，且，则(    )

A.  B.
C. ， D. ，

2. 如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则(    )

A.
B.
C.
D.

3. 幸福感指数是指某个人主观评价他对自己目前生活状态满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高．现随机抽取位市民，他们的幸福感指数分别为，，，，，，，，，，则这组数据的分位数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 用斜二测画法作出的水平放置的直观图，如图所示，其中，，则绕所在直线旋转一周后所形成的几何体的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知，，，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，事件为“第一件是次品”则下列结论正确的是(    )

A. 与相互独立 B. 与相互对立
C.  D.

7. 在中三个内角、、的对边为、、，若，则角(    )

A.  B.  C.  D.

8. 郑州市某家保险公司的保险产品有以下五种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对五个险种的参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图，则以下四个说法中正确的是(    )

A. 周岁客户人数是不低于周岁的客户人数的倍多
B. 不低于周岁客户参保总费用最多
C. 丁险种人均参保费用最低
D. 戊险种参保人都是周岁的客户

9. 如图所示，是正三棱柱表面上的一个动点，且，若三棱锥的体积为，则长度的最大值、最小值分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且边上的中线，则面积的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，，，是球表面上四点，且任意两点之间距离相等，若作球的截面截四面体所得的截面是边长为的正方形，则球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 某网球选手与甲、乙、丙三位网球选手各比赛一场，每场比赛结果相互独立，已知该网球选手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且设该网球选手连胜两场的概率为，则(    )

A. 与该网球选手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B. 该网球选手在第二场与甲比赛时最大
C. 该网球选手在第二场与乙比赛时最大
D. 该网球选手在第二场与丙比赛时最大

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 若，，且，则______．
14. 复数为纯虚数，则______．
15. 某民航客机从机场起飞，以的速度在同一水平高度向正东方向飞行，地勤人员在地面第一次观察到飞机在北偏西方向，分钟后第二次观察到飞机在北偏东方向，仰角为，则飞机飞行的高度为______．
16. 如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点，与平面交于点，设，则______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 已知复数，．
    在在复平面中对应的点位于第一象限，，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．
    若____，求实数的取值集合；
    若复数的模为，求实数的值．
18. 某市在疫情期间，便民社区成立了由网格员、医疗人员、志愿者组成的采样组，并上门进行，核酸检测，某网格员对该社区需要上门核酸检测服务的老年人的年龄单位：岁进行了统计调查，将得到的数据进行适当分组后每组为左开右闭区间，得到的频率分布直方图如图所示．
    求的值，并估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数；精确到，同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表
    在年龄处于的老人中，用分层随机抽样的方法选取人，再从人中随机选取人，求人中恰有人年龄超过需要上门核酸检测服务的老年人的平均年龄的概率．

19. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．
    求的面积；
    若，求．
20. 高一班计划从名学生中选出名学生参加学校的围棋比赛，已知这名学生中有名男生和名女生．
    求参加比赛的学生中恰有名男生的概率；
    选出的三人中有甲同学，甲同学需要进行四场比赛，甲同学第场比赛胜出的概率分别为，，，，且每场比赛相互独立．求甲同学至少胜出场的概率．
21. 如图，所有棱长均相等的正三棱柱中，，分别是棱，上的点，记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为．
    当时，若平面，试确定点的位置；
    求证：．

22. 如图，已知点是的重心，点是内一点包括边界，设，．
    试用，表示，并求；
    若，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，

解得．
故选：．
直接根据复数代数形式和共轭复数的概念，进行运算化简得答案
本题考查了复数代数形式的运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：正八边形，
，
故选：．
利用向量的加法运算求解即可．
本题考查向量的加法运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：数据，，，，，，，，，已按照从小到大的顺序排好，
，
这组数据的分位数为．
故选：．
根据百分位数的定义求解即可．
本题考查了百分位数定义的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，，
绕所在直线旋转一周后所形成的几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线，
则圆锥的侧面积为．

故选：．
画出，再根据题意求圆锥的侧面积即可．
本题考查圆锥的侧面积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，，，
又，
，
而，，
则，即，
故选：．
由已知求得，再由，得，结合数量积求夹角列式得值．
本题考查向量的坐标加法与数乘运算，训练了由数量积求夹角，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
与可以同时发生，与不相互独立，故A错误，
包含样本空间所有的样本点，且，与相互对立，故B正确，
，故C错误，
三件全是正品，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合互斥事件和对立事件的定义，即可求解．
本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：由正弦定理及，知，
因为，
所以，
因为，所以，
又，所以．
故选：．
利用正弦定理化边为角，再由两角和的正弦公式，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对，观察参保人年龄分布的扇形图，周岁客户人数占比，不低于周岁的客户人数占比，周岁客户人数是不低于周岁的客户人数的倍多，故A正确；
对，统计图显示的是人均参保费用，由于人数未知，故不能确定哪个年龄段参保总费用最多，故B错误；
对，由参保险种比例，丁险种参保比例最高，但统计图看不出丁险种的人均参保费用，故C错误；
对，戊险种的参保人占比，周岁客户人数占比，但统计图看不出两者相同，故D错误．
故选：．
根据三种统计图给出的信息，逐一判断选项即可．
本题考查通过统计图提取信息，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设点到平面的距离为，
则，
点到的距离为，如图，取的中点，的中点，的中点，的中点，
连接，，，，则点在矩形的边上自由移动，
点到的距离为，，
．

故选：．
求得点到平面的距离为，再利用勾股定理求得的最大值．
本题考查棱柱的几何体积，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由余弦定理知，，
因为，所以，

如图，作出平行四边形，则与的面积相等，，
由，知，
由余弦定理知，，
所以，即，
又，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，
故面积的最大值为．
故选：．
在中，利用余弦定理可得，作出平行四边形，可将原问题转化为求面积的最大值，而在中，再次利用余弦定理，可得，并结合基本不等式，推出，然后由三角形面积公式，得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：四面体为正四面体，截面截正四面体所得的截面是正方形时，截面过球心，且正方形的边长为正四面体棱长的一半，
截面正方形的边长为，正四面体的棱长为，外接球的半径为，
故球的体积．
故选：．
根据四面体为正四面体，截面截正四面体所得的截面是正方形时，截面过球心，且正方形的边长为正四面体棱长的一半，可计算出外接球的半径，即可求解．
本题考查了正四面体外接球的体积计算，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：该网球选手连胜两场，则第二场为必胜场，设该网球选手在第二场与甲比赛，且连胜两场的概率为，
则，
设该网球选手在第二场与乙比赛，且连胜两场的概率为，
则，
设该网球选手在第二场与丙比赛，且连胜两场的概率，
则，
则，，即，
则该网球选手在第二场与丙比赛时最大，选项D正确，选项B，C错误；
与该网球选手与甲、乙、丙的比赛次序有关，选项A错误，
故选：．
根据网球选手第二场为必胜场，分三种情况讨论，分别求出其连胜两场的概率，再利用作差法比较大小即可作出判断．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：若，，且，，则，，即，
．
故答案为：．
根据得到，再利用数量积公式求解．
本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：为纯虚数，
，解得，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，设点为地勤人员的位置，点，分别是两次观测飞机的位置，，是飞机在底地面上的射影，
由题意知，，
，，，，．
由正弦定理，即，得，
在中，，
故飞机飞行的高度为．

故答案为：．
设点为地勤人员的位置，点，分别是两次观测飞机的位置，，是飞机在底地面上的射影，由正弦定理可求，在中可求．
本题考查正弦定理在解三角形中应用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，延长，交于点，连接，，与的交点即为点．
，，点是的中点，
是的中点，是的重心，，即．

故答案为：．
延长，交于点，连接，，与的交点即为点利用是的重心转化推出结果即可．
本题考查棱锥的结构特征的应用，空间向量的运算，是中档题．
 

17.【答案】解：选择，在复平面中对应的点位于第一象限，
，解得，
故实数的取值集合为．
选择，，则，，
，解得或，
又，，
故实数的取值集合为．
选择，则，解得，
故实数的取值集合为．
，
，
复数的模为，
，
，解得． 

【解析】选择，结合复数的几何意义，即可求解．
选择，结合复数相等的条件，即可求解．
选择，结合实数的定义，即可求解．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，复数相等的条件，以及复数模公式，属于基础题．
 

18.【答案】解：由图可得，
，
解得；
估计需要上门核酸检测服务的老年人的年龄的平均数为，
岁；
，两组的人数之比为：：，
在，的老人中分别抽取人，人，
分别记为，，，，，，，，，
从人中随机选取人，
样本空间，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
，，，，，，，共有个样本点，
恰有一人年龄超过岁，即恰有一人年龄在，令“恰有一人年龄在”为事件，
则，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，共有个样本点，
故． 

【解析】由面积和为得，从而解；进一步求平均数即可；
由题意先确定在，的老人中分别抽取人，人，再利用古典概率模型求概率即可．
本题考查了频率分布直方图及古典概率模型的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：由余弦定理得，，
因为，所以，所以，
故的面积．
由正弦定理得，，
所以，
所以，
故． 

【解析】由余弦定理可得，再利用同角三角函数的平方关系求得的值，从而知的值，然后由，得解；
利用正弦定理求得的值后，即可得的值．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，三角形面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：设名男生分别为，，，名女生分别为，，
这个试验的样本空间可记为，，，，，，，，，共包含个样本点，
设事件为“参加比赛的学生中恰有名男生”，则，，，，，，共包含个样本点，
．
设“甲同学至少胜出场”为事件，则“甲同学场全输”为事件，
． 

【解析】设名男生分别为，，，名女生分别为，，利用列举法表示这个试验的样本空间，再找出恰有名男生的样本点，利用古典概型的概率公式求解即可．
利用对立事件的概率关系，结合独立事件的概率乘法公式求解，
本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
 

21.【答案】解：如图，取的中点，连接，，则，且．
，，，，，四点共面，
平面，且平面平面，
，故四边形为平行四边形，
，是的中点．
证明：如图所示，过点作于点，过点作于点，连接，，

则，，，
，，，
． 

【解析】取的中点，连接，，易证，，，四点共面，再利用线面平行的性质定理可得，从而得到是的中点．
过点作于点，过点作于点，连接，，则，，，利用三个角正切值的大小关系即可得到．
本题主要考查了线面平行的性质定理，考查了异面直线所成的角、线面夹角以及二面角的确定，属于中档题．
 

22.【答案】解：如图，延长，交于点，则为的中点，

．
同理，，，
．
如图，连接并延长，交于点，
设，

，
，
．
，． 

【解析】根据重心的性质和平面向量的线性运算可表示；计算，即可知模长；
根据平面向量基本定理可求出结果．
本题考查了平面向量基本定理的应用，属于中档题．