2021-2022学年河南省开封市高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

2021-2022学年河南省开封市高二（下）期末数学试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 命题：，的否定为(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 复数的共轭复数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知数列，都是等差数列，且，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，是上两点，若弦的长度为，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 设为抛物线：的焦点，是上一点，是坐标原点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 函数为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点(    )

A. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
B. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变
C. 向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变

9. 如图程序框图中的算术运算符表示取余数，如表示除以的余数．执行该程序框图，则输出(    )

A.  B.  C.  D.

10. 人利用双耳可以判定声源在什么方位，听觉的这种特性叫做双耳定位效应简称双耳效应根据双耳的时差，可以确定声源必在以双耳为左、右焦点的一条双曲线上．又若声源所在的双曲线与它的渐近线趋近，此时声源对于测听者的方向偏角，就近似地由双曲线的渐近线与虚轴所在直线的夹角来确定．一般地，甲测听者的左、右两耳相距约为，声源的声波传及甲的左、右两耳的时间差为，声速为，则声源对于甲的方向偏角的正弦值约为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知点，，，均在同一个球面上，且平面，，，则该球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若数列中不超过的项数恰为，则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数．已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 已知函数，则的极大值是______．
15. 已知圆锥的底面半径为，侧面积为，一只蚂蚁从底面圆周上一点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短路程为______．
16. 如图，测量电视塔的高度时，考虑电视塔四周建筑物密集，测量人员选取与电视塔底在同一水平面内的两个测量基点与，使，，三点在同一条直线上，在，两点用测角仪测得的仰角分别是，，，测角仪的高是，则______精确到，

三、解答题（本大题共7小题，共82分）

17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且．
    求角；
    若，的面积为，求，．
18. 某商场为提高服务质量，随机调查了名男顾客和名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

能否有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

19. 如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱的中点．
    求证：平面；
    若，求三棱锥的体积．

20. 已知函数．
    求在为自然对数的底处的切线方程；
    证明：当时，．
21. 已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
    求的方程；
    直线过的右焦点，且和交于点，，设是坐标原点，若三角形的面积是，求的方程．
22. 在极坐标系中，已知曲线：与：相交于，两点．
    求；
    将直线绕点顺时针旋转角，与交于点，，将直线绕点逆时针旋转角，与交于点，，求的最大值．
23. 已知函数，．
    求函数的最小值；
    已知，求关于的不等式的解集．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据集合并集的定义进行计算即可．
本题主要考查集合的基本运算，根据集合并集的定义进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
命题：，的否定为：，．
故选：．
利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．
本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
复数的共轭复数是．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为，
所以两边平方，可得，
则．
故选：．
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：数列，都是等差数列，则数列也是等差数列，设它的公差为，
，，，则，
故选：．
由题意，利用等差数列的性质，等差数列的通项公式，计算求得结果．
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，取弦的中点为，
则，且，
故

；
故选：．
作图，取弦的中点为，利用平面向量的数量积运算及线性运算化简即可．
本题考查了平面向量的数量积运算及线性运算的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：设，则，故，
所以，所以，所以．
故选：．
设，则，由已知可求，进而可求，利用焦半径公式可求．
本题考查抛物线的几何性质，考查焦半径公式的应用，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：把图象上所有的点向右平移个单位长度，
得到，
再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，
纵坐标不变，得到，
故选：．
根据三角函数的图象变换关系进行求解即可．
本题主要考查三角函数的图象变换，根据图象变换关系进行求解是解决本题的关键，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题得，，，，，
，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，不小于，输出．
故选：．
直接模拟运行该程序即得解．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：设两耳所在双曲线的实轴长为，焦距为，虚轴长为，
则，，
，
所以，
所以．
故选：．
由题意可得双曲线的实轴长、焦距，结合，，的关系，和方向偏角的正切，结合同角的基本关系式，可得所求正弦值．
本题考查双曲线在实际问题中的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，平面，且，平面，
，，又，且，
平面，又平面，
，又，取的中点为，
则，即点为三棱锥外接球的球心，
又，，
三棱锥外接球的半径，
三棱锥外接球的表面积为，
故选：．
先通过平面，，证明，接着找到三棱锥外接球的球心，再求球的半径，最后代入球的表面积公式即可求解．
本题考查线面垂直的判定定理，线面垂直的性质，三棱锥外接球问题，球的表面积公式，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题得，所以，
因为，，，，，，
所以．
故选：．
由题得，再利用生成数列和控制函数的概念解答．
本题考查数列与函数的综合，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意，向量，，
若，则，解可得，
故答案为：．
根据题意，由向量数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，的定义域为，，
令，得或，
列表讨论：

当时，有极大值．
故答案为：．
由已知条件知的定义域为，，令，得或，列表讨论能求出的极大值．
本题考查函数的极大值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．
 

15.【答案】 

【解析】解：设母线长为，
则，所以，
如图，画出圆锥侧面展开图，连接，取的中点，连接，
则展开图的圆心角为，则，
则，
所以蚂蚁爬行的最短路程为．
故答案为：．
求出母线长度，画出圆锥侧面展开图，则线段的长度即为蚂蚊爬行的最短路程．
本题考查圆锥的侧面展开图，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，如图，，，，

所以，，
由正弦定理，，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
作出图形，设，由已知可得，，由正弦定理可得，求解即可．
本题考查解三角形在实际生活中的应用，属基础题．
 

17.【答案】解：的内角，，所对的边分别为，，，向量，，
由，得，
由正弦定理得，
因为，所以，又，所以，
由余弦定理得，所以，
由余弦定理得，
得，得，解之可得． 

【解析】利用向量平行，推出，结合正弦定理，转化求解即可．
由余弦定理得，由余弦定理得，求解即可．
本题考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，是基础题．
 

18.【答案】解：由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率，
女顾客对该商场服务满意的概率；
由题意可知，，
故有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异． 

【解析】本题主要考查了等可能事件的概率求解及独立性检验的基本思想的应用，属于基础题．
由题中数据，结合等可能事件的概率求解；
代入计算公式：，然后把所求数据与进行比较即可判断．
 

19.【答案】证明：设是的中点，连接、．
在中，、是B、的中点，，．
又，，所以，，所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面．

解：在正三棱柱中，平面．
所以．
因为，所以，所以．
所以，
所以．
即三棱锥的体积为． 

【解析】设是的中点，连接、，先证明出，利用线面平行的判定定理可以证明平面．
利用等体积转化法，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理的应用，棱柱的体积的计算．考查了学生综合分析的能力和观察能力，属中档题．
 

20.【答案】解：由，得，由，得，
所以曲线在处的切线方程为．
证明：先证明，构造函数，
其中，，，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，所以，，
所以，，，因为，则，故，
即当时，． 

【解析】求出、的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
构造函数，利用导数证明出，可得出，再利用不等式的基本性质可证得结论成立．
本题考查利用导数求函数的单调性、最值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形，
可得，，
所以的方程为．
椭圆，可得，
若斜率不存在，易知；
若斜率存在，设：，和的方程联立得：，
，，
，
点到直线的距离为，三角形的面积是，
所以，
解之得，，所以的方程为或． 

【解析】由已知求出，，得到椭圆方程．
求出，利用若斜率不存在，判断即可．若斜率存在，设：，和的方程联立得：，利用韦达定理，弦长公式，以及点到直线的距离，求解三角形的面积，推出直线方程即可．
本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由得，，
由得，，
解可得或，所以，
所以．
因为，所以．
，
当，即，时，可以取得最大值为． 

【解析】先把极坐标方程化成直角坐标方程，解方程组即得解；
求出，的值，再求出即得解．
本题考查曲线的极坐标方程，涉及常见曲线的极坐标方程，属于基础题．
 

23.【答案】解：由已知得，
当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，
由已知，原不等式可化为，
当时，，原不等式化为，此时无解，
当时，，原不等式化为，
即，所以，
综上所述，为原不等式的解集． 

【解析】根据绝对值的三角不等式求解最小值即可；
根据三角函数的范围可得不等式为，再分和两种情况去绝对值求解即可．
本题考查绝对值不等式的性质及其解法，考查三角函数的图象及性质，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．