高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理学案及答案

这是一份高中人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理学案及答案，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

【自主学习】
空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面 ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
二．单位正交基底
空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，a可以分解成三个向量，a＝xi＋yj＋zk，像这样叫做把空间向量进行正交分解。
【小试牛刀】
思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示．( )
(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( )
(3)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．( )
(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( )
【经典例题】
题型一 基底的判断
判断标准：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底．
方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底．
②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底．
例1 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【跟踪训练】1已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
题型二 用基底表示向量
点拨：用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
例2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(-→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(-→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(-→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
【跟踪训练】2 如图所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点．试用向量a，b，c表示向量eq \(OG,\s\up6(→))和eq \(GH,\s\up6(→)).
【当堂达标】
以下四个命题中正确的是( )
A．基底{a，b，c}中可以有零向量
B．空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0
D．空间向量的基底只能有一组
(多选)已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b能构成空间基底的向量是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→)) C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
下列能使向量eq \(MA,\s\up6(-→))，eq \(MB,\s\up6(-→))，eq \(MC,\s\up6(-→))成为空间的一个基底的关系式是( )
A.eq \(OM,\s\up6(-→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)) B.eq \(MA,\s\up6(-→))＝eq \(MB,\s\up6(-→))＋eq \(MC,\s\up6(-→))
C.eq \(OM,\s\up6(-→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(MA,\s\up6(-→))＝2eq \(MB,\s\up6(-→))－MC
4．已知a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若d＝αa＋βb＋λc，则α，β，λ的值分别为________．
5.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OD,\s\up6(→))用a，b，c表示为________．
6．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，eq \(AB,\s\up6(→))＝i，eq \(AD,\s\up6(→))＝j，eq \(AP,\s\up6(→))＝k，试用基底{i，j，k}表示向量eq \(PG,\s\up6(→))，eq \(BG,\s\up6(→)).
【参考答案】
【小试牛刀】
× √ √ ×
【经典例题】
例1 B 解析：②③均可以作为空间的基底，故选B.
【跟踪训练】1解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．则存在实λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．
例2 解 (1)如图，连接AC，
eq \(D1B,\s\up6(-→))＝eq \(D1D,\s\up6(-→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＝－eq \(AA1,\s\up6(-→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(D1A,\s\up6(-→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(-→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a－c)．
(2)eq \(D1F,\s\up6(-→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(-→))＋eq \(D1B,\s\up6(-→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(-→))＋eq \(D1B,\s\up6(-→)))＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.
【跟踪训练】2解 因为eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))，而eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))，
又D为BC的中点，所以eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)．
又因为eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(OH,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))，eq \(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，
所以eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
所以eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，eq \(GH,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)a.
【当堂达标】
1. B 解析：使用排除法．因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，可能是eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＝0，也可能是eq \(CA,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0，故C不正确；空间基底可以有无数多组，故D不正确．
2. ABD 解析：∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b且a，b不共线，∴a，b，eq \(OC,\s\up6(→))共面，∴eq \(OC,\s\up6(→))与a，b不能构成一组空间基底．
3. C解析： 对于选项A，由eq \(OM,\s\up6(-→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇔M，A，B，C四点共面知，eq \(MA,\s\up6(-→))，eq \(MB,\s\up6(-→))，eq \(MC,\s\up6(-→))共面；对于选项B，D，可知eq \(MA,\s\up6(-→))，eq \(MB,\s\up6(-→))，eq \(MC,\s\up6(-→))共面，故选C.
4. 5. eq \f(5,2)，－1，－eq \f(1,2) 解析：∵d＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋λ(e1－e2＋e3)
＝(α＋β＋λ)e1＋(α＋β－λ)e2＋(α－β＋λ)e3＝e1＋2e2＋3e3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋β＋λ＝1，,α＋β－λ＝2，,α－β＋λ＝3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,λ＝－\f(1,2).))5. eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c 解析 ∵eq \(AB,\s\up6(→))＝－2eq \(CD,\s\up6(→))，
∴eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝－2(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))，∴b－a＝－2(eq \(OD,\s\up6(→))－c)，∴eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.
6.解：延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，
eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(PC,\s\up6(→))＋\(PD,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)i＋eq \f(2,3)j－eq \f(2,3)k.
eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \(NG,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(NP,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(DC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))－\f(1,3)\(AP,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(2,3)i＋eq \f(2,3)j＋eq \f(1,3)k.课程标准
学科素养
1.理解空间向量的正交分解，空间向量的基本定理，
2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.（重点）
1、数学运算
2、数学抽象