四川省成都市锦江区2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷 (word版含答案)

这是一份四川省成都市锦江区2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷 (word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年四川省成都市锦江区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共32分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
2. 下列因式分解正确的是(    )
A. ab+ac+a=a(b+c) B. a2-4b2=(a+4b)(a-4b)
C. 9a2+6a+1=3a(3a+2)+1 D. a2-4ab+4b2=(a-2b)2
3. 如图，已知∠1+∠2+∠3=240°，那么∠4的度数为(    )
A. 60°
B. 120°
C. 130°
D. 150°


4. 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，则AD的长为(    )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
5. 已知关于x的方程x-2x-3-k3-x=2的解为x=6，则k的值为(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
6. 如图，l1反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，l2反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．根据图中信息判断该公司在赢利时的销售量为(    )
A. 小于4件
B. 大于4件
C. 等于4件
D. 不小于4件
7. 如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是(    )
A. BE=DF
B. ∠DAF=∠BCE
C. AE=CF
D. AF//CE
8. 如图，在2×3的方格纸中，小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，在图中格点上找一点C，使得△ABC的面积为12，满足条件的点C有(    )


A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9. 计算：20222-20212=______．
10. 已知分式x2-1x+1的值为0，则x=______．
11. 如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，点P，Q分别是AM，AN的中点，连接MN，PQ，若BC长为12，则PQ长为______．


12. 如图，将周长为10cm的△ABC沿射线BC方向平移2cm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为______cm．


13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D，若点D到AB的距离为3，则BC的长为______．

14. 已知x=y+3，则x2-2xy+y2的值为______．
15. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，连接EC.若△CDE的周长为5，则▱ABCD的周长为______．

16. 已知S1=1a，S2=1+1S1，S3=1+1S2，……，Sn+1=1+1Sn(n≥1，且n为正整数).若S1⋅S2⋅S3⋅……⋅S7=9，则a的值为______．
17. 如图，将5×5的方格纸放置在平面直角坐标系xOy中，使得格点A的坐标为(0,5)，格点B的坐标为(5,0)已知点P1(1,m)，P2(2,1)，P3(3,4)，P4(4,n)，若顺次连接A，P1，P2，P3，P4，B得到的折线段恰好平分该方格纸的面积，则m，n应满足的数量关系为______．

18. 已知直线l1与直线l2，若将l1绕平面内一点P顺时针旋转n°后恰好能与l2重合，则称点P为l1关于l2的“n°顺合点”.如图1，在平面直角坐标系xOy中，点P1(2,2)，p2(-1,1)，P3(-2,-1)中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是______如图2，已知直线l1与直线l2，交于点A，点C，D是直线l2上不重合的两点，AC=CD.位于直线l1右侧的一点P是l1关于l2的“60°顺合点”，AP=2，连接PC，PD.点B在l1上，连接BP，若∠BPC=60°且BP=DP，则AB=______．


三、解答题（本题共8小题，共78分）
19. (1)解不等式组：x-3(x-2)≥42x-15>x+12；
(2)化简：(a+1-3a-1)÷a+22a-2．
20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点分别是A(-5,1)，B(-1,3)，C(-1,1)．
(1)平移△ABC，使得点A的对应点A1的坐标为(1,3)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2；
(3)若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P坐标为______．

21. 在一次数学综合与实践活动中，同学们需要制作如图1所示的三种卡片，其中卡片①是边长为a的正方形：卡片②是长为b，宽为a的长方形：卡片③是边长为b的正方形．
(1)卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为______；
(2)小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，请根据图2的面积写一个多项式的因式分解为______；
(3)小刚将自己制作的2张卡片①和1张卡片②送给小明，小明用所有卡片重新无缝无叠合拼成一个大的正方形M，若a=1.6，b=2.8，求正方形M的边长．


22. 如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE=AC，AD⊥CE，
连接DE．
(1)求证：∠DEC=∠DCE；
(2)若AC=BC，BE=CE．
①求∠B的度数；
②试探究AB-AC与BC-DE的数量关系，并说明理由．

23. 如图1，在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠ADC的平分线交BC于点F．

(1)求证：四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，连接EF，若EF⊥BC，BF=8，EF=4，求▱ABCD的面积；
(3)如图3，连接EF，作△EAB关于直线EF对称的△ECH，其中点A，B的对应点分别为点C，H，恰好有HE⊥DF，垂足为G.若EF=2，求BE的长．
24. 成都是一座休闲又充满幸福感的城市，眼下露营正成为成都人民一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知防晒帐篷的采购价是普通帐篷的2倍，且用4500元购买的防晒帐篷比用1500元购买的普通帐篷多5件．
(1)求防晒帐篷和普通帐篷的采购价；
(2)小明准备拿出7500元全部用于采购防晒帐篷和普通帐篷并进行销售，设防晒帐篷采购a件，普通帐篷采购b件．
①用含a的式子表示b；
②经过市场调研，小明决定将防晒帐篷售价定为380元/件，普通帐篷售价定为180元/件．若采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，为了使销售完采购的帐篷时所获得的利润最大，请你为小明制定采购方案并求出最大利润．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y1=12x+1交x轴于点A，交y轴于点B.以AB为边作▱ABCD，点D在x轴正半轴，且OD=3OB．

(1)求点C，D的坐标；
(2)点P是x轴上一点，点Q是直线CD上一点，连接BP，BQ，PQ，若△BPQ是以BQ为斜边的等腰直角三角形，求点P的坐标；
(3)已知直线y2=ax，当x≤2时，对x的每一个值都有y2 26. 已知△ABC为等边三角形，其边长为4.点P是AB边上一动点，连接CP．

(1)如图1，点E在AC边上且AE=BP，连接BE交CP于点F．
①求证：BE=CP；
②求∠BFC的度数；
(2)如图2，将线段CP绕点C顺时针旋转120°得线段CQ，连接BQ交AC于点D.设BP=x，CD=y，求y与x的函数关系式；
(3)如图3，在(2)的条件下，延长BC至点E，且CE=BP，连接QE，DE.在点P运动过程中，当△CEQ的周长为4+13时，求DE的长．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：选项B、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

2.【答案】D 
【解析】解：A、ab+ac+a=a(b+c+1)，故该选项不符合题意；
B、a2-4b2=(a+2b)(a-2b)，故该选项符合题意；
C、9a2+6a+1=(3a+1)2，故该选项不符合题意；
D、a2-4ab+4b2=(a-2b)2，故该选项符合题意；
故选：D．
根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．
本题考查了因式分解的意义，掌握a2+2ab+b2=(a+b)2是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∠1+∠2+∠3=240°，
∴∠4=360°-(∠1+∠2+∠3)
=360°-240°
=120°，
故选：B．
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．

4.【答案】C 
【解析】解：∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于点D，
∴BD=12BC=5，
∴AD=AB2-BD2=132-52=12，
故选：C．
由等腰三角形的性质可求BD的长，再利用勾股定理可求解AD的长．
本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，求解BD的长是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：将x=6代入关于x的方程x-2x-3-k3-x=2得，
6-26-3-k3-6=2，
解得k=2，
故选：A．
根据方程解的定义代入计算即可．
本题考查分式方程的解，理解方程的解的定义是正确解答的前提．

6.【答案】B 
【解析】解：横轴代表销售量，纵轴表示费用，
在交点的右侧，相同的x值，l1>l2的值，那么表示开始盈利．
∴x>4时，l1>l2．
故该产品的销售量达到4件时，生产该产品才能盈利．
故选：B．
生产该产品盈利，销售收入应大于销售成本，即l1的函数图象应高于l2的函数图象，看在交点的哪侧即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题；理解盈利的意义是解决本题的关键；解决此类问题，应从交点入手思考．

7.【答案】C 
【解析】解：连接AC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，AD//BC，
∴∠ADF=∠CBE，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBEAD=BC∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE(ASA)，
∴BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意；
∵AF//CE，
∴∠AFB=∠CED，
∴∠AFD=∠CEB，
在△ADF和△CBE中，
∠ADF=∠CBE∠AFD=∠CEBAD=BC，
∴△ADF≌△CBE(AAS)，
∴BE=DF，
∴EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
由平行四边形的性质或全等三角形的性质可证DF=BE，由平行四边形的判定可得结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵小正方形的边长为1，A，B两点在格点上
∴如图△ABC的面积为12，
∴图中CD//AB，
∴直线CD上所有点和A、B构成三角形的面积都为12，
但与网格的交点有三个，同理在AB的另一边也有两个，
∴满足条件的点C有5个．
故选：D．
如图，首先可以确定点C，D满足条件，然后利用面积相等可以找出这些点的特点解决问题．
本题主要考查了三角形的面积，同时也利用了面积相等必须等底等高．

9.【答案】4043 
【解析】解：原式=(2022+2021)×(2022-2021)
=4043×1
=4043．
原式利用平方差公式变形，计算即可得到结果．
此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

10.【答案】1 
【解析】解：由分式x2-1x+1的值为0可得，x2-1=0解得：x=±1；分母x+1≠0，即x≠-1．
所以x=1．
故答案为1．
分式的值为0的条件是：(1)分子=0；(2)分母≠0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
当分式的值为零时，其分子等于0，分母不等于0，所以在解题的过程中利用分子等于0解方程求出的未知数的值，一定要代入分母检验．使分子等于0，分母不等于0的数才是方程的解．此类题型的易错点在于，求出的值没有代入分母检验，导致使方程没有意义的根出现．

11.【答案】3 
【解析】解：∵点M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MN=12BC，
∵BC=12，
∴MN=6，
同理，PQ=12MN=3，
故答案为：3．
先根据三角形中位线定理求出BC，再根据三角形中位线定理求出PQ．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

12.【答案】14 
【解析】解：根据题意，将周长为10cm的△ABC沿BC向右平移2cm得到△DEF，
∴AD=2cm，BF=BC+CF=BC+2cm，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=10cm，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC=14cm．
故答案为：14．
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=2+AB+BC+2+AC即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．

13.【答案】3+6 
【解析】解：由作法得AD平分∠BAC的平分线，
作DH⊥AB于H，如图，
∵DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH=DC=3，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
∴BD=2DH=6，
∴BC=BD+CD=3+6．
故答案为：3+6．
利用基本作图得到AD平分∠BAC的平分线，作DH⊥AB于H，如图，根据角平分线的性质得到DH=DC=3，再证明∠B=45°，从而得到BD=6，然后计算BD+CD即可．
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和等腰直角三角形的性质．
14.【答案】9 
【解析】解：∵x=y+3，
∴x-y=3，
∴x2-2xy+y2
=(x-y)2
=32
=9．
故答案为：9．
先利用完全平方公式变形得到原式=(x-y)2，然后利用整体代入的方法计算．
本题主要考查了完全平方公式．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．

15.【答案】10 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=5．
∵平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)，
∴▱ABCD的周长为10，
故答案为：10．
由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，得出AD+CD=16，继而可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质进行分析．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

16.【答案】13 
【解析】解：S1=1a，
则S2=1+1S1=1+a，
S3=1+1S2=1+11+a=a+2a+1，
S4=1+1S3=1+a+1a+2=2a+3a+2，
S5=1+1S4=1+a+22a+3=3a+52a+3，
S6=1+1S5=1+2a+33a+5=5a+83a+5，
S7=1+1S6=1+3a+55a+8=8a+135a+8，
∵S1⋅S2⋅S3⋅……⋅S7=9，
∴1a⋅a+11⋅a+2a+1⋅2a+3a+2⋅3a+52a+3⋅5a+83a+5⋅8a+135a+8=9，
∴8a+13a=9，
解得a=13．
故答案为：13．
分别用a表示出S1～S7，然后将S1～S7代入S1⋅S2⋅S3⋅……⋅S7=9得到关于a的方程，解出a的值即可．
本题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是运用分式加法法则用含有a的代数式表示出S．

17.【答案】m+n=5 
【解析】解因为正方形是中心对称图形A和B，P2和  P3的坐标都是关于点(2.5,2.5)对称的，所以P1，P4关于点(2.5,2.5)对称，
所以m+n=5．
故答案为：m+n=5．
根据图形的对称性，求坐标之间的关系．
本题考查了坐标与图形的性质，平分面积过对称中心是解题的关键．

18.【答案】P1 43 
【解析】解：如图1，点P1(2,2)，p2(-1,1)，P3(-2,-1)中是y轴关于x轴的“90°顺合点”的是P1；
如图2，过点P作PF⊥AB于F，作PE⊥AD于E，

∵∠BPC=60°，位于直线l1右侧的一点P是l1关于l2的“60°顺合点”，
∴PB=PC，
由题意得：∠GAD=60°，
∴∠GAC=∠BPC，
∵∠GAD+∠BAD=180°，
∴∠BAD+∠BPC=180°，
∴∠ABP+∠ACP=180°，
∵∠PCE+∠ACP=180°，
∴∠PCE=∠ABP，
∵∠PEC=∠PFB=90°，
∴△BFP≌△CEP(AAS)，
∴PF=PE，BF=CE，
∵PF⊥AB，PE⊥AD，
∴∠BAP=∠DAP=60°，
∴∠APF=∠APE=30°，
∵AP=2，
∴AF=AE=12AP=1，
∵BP=PD，BP=PC，
∴PC=PD，
∵PE⊥AD，
∴CE=ED=BF，
∵AC=CD，
∴3CH=1，
∴CH=13，
∴AB=AF+BF=1+13=43．
故答案为：P1，43．
如图1，根据“90°顺合点”的定义可得结论；
如图2，过点P作PF⊥AB于F，作PE⊥AD于E，先由题意知：PB=PC，证明△BFP≌△CEP(AAS)，根据角平分线的逆定理可得∠BAP=∠DAP=60°，由含30°角的直角三角形的性质可得AE=AF=1，并由AC=CD可解答．
本题考查了新定义：“n°顺合点”的理解和运用，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的性质是解题的关键．


19.【答案】解：(1)x-3(x-2)≥4①2x-15>x+12②，
解不等式①，得x≤1，
解不等式②，得x<-7，
所以不等式组的解集是x<-7；

(2)(a+1-3a-1)÷a+22a-2
=(a+1)(a-1)-3a-1⋅2(a-1)a+2
=a2-4a-1⋅2(a-1)a+2
=(a+2)(a-2)a-1⋅2(a-1)a+2
=2(a-2)
=2a-4． 
【解析】(1)先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可；
(2)先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再算乘法即可．
本题考查了解一元一次不等式组，分式的混合运算等知识点，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解(1)的关键，能正确根据分式的运算法则进行计算是解(2)的关键．

20.【答案】(3,1) 
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；

(3)中心对称点的坐标为(3,1)．
故答案为：(3,1)．
(1)利用点A和点A1的坐标特点得到平移的方向与距离，然后利用此平移规律写出B1、C1的坐标，再描点即可；
(2)根据关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)连接A1A2和B1B2，它们的交点为P，从而得到P点坐标．
本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

21.【答案】(a2+ab+b2)  2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b) 
【解析】解：(1)根据题意得卡片①，卡片②，卡片③的面积之和为(a2+ab+b2)，
故答案为：(a2+ab+b2)；
(2)由图2知，矩形的长为(2a+b)，宽为(a+b)，
所以矩形的面积可表示为(2a+b)(a+b)，
∵小明制作了2张卡片①，3张卡片②，1张卡片③，并用这些卡片无缝无叠合拼成如图2所示的大长方形，
∴矩形的面积也可表示为(2a2+3ab+b2)，
∴根据图2的面积可以写一个多项式的因式分解为2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)，
故答案为：2a2+3ab+b2=(2a+b)(a+b)；
(3)根据题意得，正方形M的面积为：4a2+4ab+b2=(2a+b)2，
∴正方形M的边长为(2a+b)，
当a=1.6，b=2.8时，
2a+b=3.2+2.8=6，
故正方形M的边长为6．
(1)根据矩形的面积公式列出代数式便可；
(2)根据“矩形面积=长×宽，矩形面积等于各部分面积之和”列出因式分解的选题关系便可；
(3)根据正方形M的面积等于各部分面积之和，列出代数式进行因式分解化成完全平方式，便可得正方形M的边长，最后代值计算便可．
本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，关键是会用不同方法计算图形的面积．

22.【答案】(1)证明：∵AE=AC，AD⊥CE，
∴AD是CE的垂直平分线，
∴DE=CD，
∴∠DEC=∠DCE；
(2)①解：∵AC=BC，BE=CE，AE=AC，
∴∠B=∠BCE，∠B=∠BAC，∠AEC=∠ACE，
∵∠AEC=∠B+∠BCE，
∴∠ACE=∠AEC=2∠B，
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠B+∠B+∠B+2∠B=180°，
∴∠B=36°；
②解：AB-AC=BC-DE，理由如下：
∵∠DCE=∠DEC=36°=∠B，
∴∠BDE=72°，
∴∠BED=72°=∠BDE，
∴BE=BD，
∴AB-AC=BC-DE． 
【解析】(1)由等腰三角形的性质可得AD是CE的垂直平分线，即可求解；
(2)①由等腰三角形的性质可得∠B=∠BCE，∠B=∠BAC，∠AEC=∠ACE，由三角形内角和定理可求解；
②先证明BD=BE，可得结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB，
同理可得：CF=CD，
∴AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即ED=BF，
∴四边形BEDF为平行四边形；
(2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
则∠AGB=∠AGF=90°，
∵AD//BC，
∴∠EAG=∠AGB=90°，
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴四边形AEFG是矩形，
∴FG=AE，AG=EF=4，
由(1)得：AE=AB，ED=BF=8，
∴AB=AE=FG，
设AB=x，则FG=x，
∴BG=BF-FG=8-x，
在Rt△ABG中，AG2+BG2=AB2，
∴42+(8-x)2=x2，
解得：x=5，
∴AE=5，
∴AD=AE+ED=5+8=13，
∴▱ABCD的面积为AD×EF=13×4=52；
(3)如图3，过点E作EM//AB交于点M，过点F作FT⊥BE于点T，连接BH交EF的延长线于点N，
由(1)知AD//BC，
∴四边形ABME是平行四边形，
由(1)知AE=AB，
∴四边形ABME是菱形，
∴AE=EM=BM，∠AEB=∠MEB，AB//EM，
又∵△EAB关于直线EF对称的△ECH，其中点A，B的对应点分别为点C，H，
∴AE=EM=BM=EC，BE=HE，∠AEB=∠CEH=∠MEB，
由(1)知四边形BEDF为平行四边形，
∴BE//DF，
又∵HE⊥DF，
∴∠BEH=∠EGD=∠EGF=90°，
∴∠MEC=∠MEH+∠CEH=∠MEH+∠MEB=∠BEH=90°，
∴△MEC、△BEH是等腰直角三角形，
∴EF垂直平分BH，
即FN⊥BH，
又∵BE=HE，∠BEH=∠ETF=∠BNE=90°，
∴∠BEF=∠HEF=∠EBH=∠EFT=45°，
∴∠EFG=45°=∠HEF，
即△EFT是等腰直角三角形，
∵EF=2，
∴由勾股定理得ET=FT=1，
∵∠CEM=∠CEH+∠HEM=∠BEM+∠NEM=∠BEH=90°，
∴△CEM是等腰直角三角形，
∴∠EMC=45°，
∴∠ABM=45°，
∴∠ABE=∠EBC=22.5°，
∴∠EBC=∠NBC=22.5°，
又∵FT⊥BE，FN⊥BH，
∴FT=FN=1，
∴EN=2+1，
又∵△BEN是等腰直角三角形，
∴BE=2EN=2×(2+1)=2+2，
故BE的长为2+2． 
【解析】(1)根据平行四边形性质得出：AD=BC，AB=CD，AD//BC，利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论；
(2)如图2，过点A作AG⊥BC于点G，则∠AGB=∠AGF=90°，再证明四边形AEFG是矩形，推出AB=AE=FG，设AB=x，则FG=x，利用勾股定理求得AE=5，再运用平行四边形面积公式即可求得答案；
(3)如图3，过点E作EM//AB交于点M，过点F作FT⊥BE于点T，连接BH交EF的延长线于点N，运用轴对称性质可得出：AE=EM=BM=EC，BE=HE，∠AEB=∠CEH=∠MEB，推出△MEC、△BEH是等腰直角三角形，再证得△EFT是等腰直角三角形，得出ET=FT=1，运用角平分线性质可得FT=FN=1，进而得出EN=2+1，再利用等腰三角形性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线性质，平行四边形面积，轴对称性质等知识点，综合性较强，难度较大，作辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．

24.【答案】解：(1)设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，
由题意得，45002x-1500x=5，
解得x=150，
经检验x=150是原分式方程的根并符合实际意义，
所以2x=2×150=300，
答：普通帐篷的采购价为150元，防晒帐篷的采购价为300元．
(2)①根据题意可知：300a+150b=7500，
整理得：b=50-2a；
②设销售利润为w元，
则w=(380-300)a+(180-150)b
=80a+30(50-2a)
=20a+1500，
w是关于a的一次函数，
a>0，所以w随着a的增大而增大，
∵采购的普通帐篷不超过30件且采购的普通帐篷数量多于防晒帐篷数量，
∴50-2a≤3050-2a>a，
解得10≤a<503，
a为正整数，所以当a=16时利润最大，
最大利润w=20×16+1500=1820，
所以购买16件防晒帐篷，18件普通帐篷，可以获得最大利润1820元． 
【解析】(1)设普通帐篷的采购价位x元，则防晒帐篷的采购价为2x元，以购买帐篷的数量为等量关系列出分式方程解答即可；
(2)①根据购买普通帐篷和防晒帐篷的总价是7500列出式子整理即可；
②列出利润w关于a的函数关系式，然后根据不等关系得出a的取值范围，计算w即可．
本题考查分式方程和一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键．

25.【答案】解：(1)在y1=12x+1中，令x=0得y1=1，令y1=0得x=-2，
∴A(-2,0)，B(0,1)，
∴OA=2，OB=1，
∵OD=3OB，
∴OD=3，AD=OA+OD=5，
∴D(3,0)，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∴C(5,1)，
答：C(5,1)，D(3,0)；
(2)设P(m,0)，
由C(5,1)，D(3,0)可得直线CD解析式为y=12x-32，
①当P在x轴正半轴时，过Q作QK⊥x轴于K，如图：

∵△BPQ是以BQ为斜边的等腰直角三角形，
∴∠BPK+∠QPK=90°，BP=QP，
∵∠QPK+∠KQP=90°，
∴∠BPK=∠KQP，
∵∠BOP=90°=∠QKP，
∴△BOP≌△PKQ(AAS)，
∴PK=OB=1，KQ=OP=m，
∴OK=OP-PK=m-1，
∴Q(m-1,-m)，
将Q(m-1,-m)代入y=12x-32得：
-m=12(m-1)-32，
解得m=43，
∴P(43,0)；
②当P在x轴负半轴，过Q作QK'⊥x轴于K'，如图：

同理可得△BOP≌△PK'Q(AAS)，
∴PK'=OB=1，QK'=OP=-m，
∴OK'=OP-PK'=-m-1，
∴Q(m+1,m)，
把Q(m+1,m)代入y=12x-32得：
m=12(m+1)-32，
解得m=-2，
∴P(-2,0)；
综上所述，点P的坐标为(43,0)或(-2,0)；
(3)∵当x≤2时，对x的每一个值都有y2 ∴直线y1=12x+1与直线y2=ax有交点时，交点横坐标大于2，即12x+1=ax的解大于2，
∴22a-1>2，
当2a-1>0，即a>12时，
2>4a-2，
解得a<1，
∴12 当2a-1<0，即a<12时，
2<4a-2，
解得a>1，
∴此时无解；
∴直线y1=12x+1与直线y2=ax有交点时，12 当直线y1=12x+1与直线y2=ax无交点，即a=12时，12x<12x+1总成立，
综上所述，a的取值范围是12≤a<1． 
【解析】(1)由y1=12x+1得A(-2,0)，B(0,1)，根据OD=3OB，即得D(3,0)，而四边形ABCD是平行四边形，有BC=AD=5，知C(5,1)；
(2)设P(m,0)，由C(5,1)，D(3,0)可得直线CD解析式为y=12x-32，①当P在x轴正半轴时，过Q作QK⊥x轴于K，由△BPQ是以BQ为斜边的等腰直角三角形，可得△BOP≌△PKQ(AAS)，从而可得Q(m-1,-m)，代入y=12x-32可得m=43，P(43,0)；②当P在x轴负半轴，过Q作QK'⊥x轴于K'，同理可得△BOP≌△PK'Q(AAS)，Q(m+1,m)，代入y=12x-32得P(-2,0)；
(3)当直线y1=12x+1与直线y2=ax有交点时，交点横坐标大于2，即12x+1=ax的解大于2，可得12 本题考查一次函数的综合应用，涉及平行四边形性质及应用，等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．

26.【答案】(1)①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
∵AE=BP，
∴△ABE≌△BCP(SAS)，
∴BE=CP；

②解：由①知，△ABE≌△BCP，
∴∠ABE=∠BCP，
∴∠CFE=∠CBE+∠BCP=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠BFC=180°-∠CFE=120°；

(2)如图2，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，

同(1)①的方法知，BG=CP，由旋转知，∠PCQ=120°，CP=CQ，
∴BG=CQ，
由(1)②知，∠BFC=120°，
∴∠BFC=∠QCP，
∴BG//CQ，
∴四边形BCQG是平行四边形，
∴CD=12CG，
∵等边△ABC的边长为4，
∴AC=4，
∴CG=AC-AG=4-x，
∴CD=12(4-x)=2-12x，即y=2-12x(0≤x≤4)；

(3)如图3，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM．

∵△ABC为等边三角形∠A=ACB=60°，BC=AC，
∴AC=MC，∵∠PCQ=120°，
∴∠BCP+∠MCQ=60°，
∵∠BCP+∠ACP=60°，
∴∠ACP=∠MCQ，
∵CP=CQ，
∴△ACP≌△MCQ(SAS)，
∴MQ=AP=4-x，∠A=∠M，
∴∠ACB=∠M=60°，
∵EM=CM-CE=4-x，
∴EM=QM，
∴△EMQ是等边三角形，
∴QE=EM，
∵△CEQ的周长为4+13，
∴CE+QE+CQ=CE+EM+CQ=CM+CQ=4+CQ=4+13，
∴CQ=13，
过点Q作QN⊥EM，则MN=12QM=2-12x，QN=3(2-12x)，
∴CN=CM-MN=2+12x，根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2，
∴(2+12x)2+[3(2-12x)]2=13，
解得x=1或3，
当x=1时，BP=CE=1，CD=y=2-12=32，
过点D作DH⊥BC于点H，则CH=12CD=34，DH=334，
∴EH=CH+CE=74，
∴DE=DH2+EH2=(334)2+(74)2=192．
当x=3时，BP=CE=3，CD=2-32=12，
∴CH=14，DH=34，EH=14+3=134，
∴DE=DH2+EH2=(34)2+(134)2=432． 
【解析】(1)①根据SAS证明三角形全等即可；
②利用全等三角形的性质求解即可；
(2)如图2，在AC上截取AG=BP=x，连接BG，QG，证明四边形BCQG是平行四边形，推出CD=12CG，可得结论；
(3)如图3，延长CE至M，使CM=BC=4，连接QM.证明△ACP≌△MCQ(SAS)，推出MQ=AP=4-x，∠A=∠M，∠ACB=∠M=60°，由△CEQ的周长为4+13，推出CE+QE+CQ=CE+EM+CQ=CM+CQ=4+CQ=4+13，推出CQ=13，过点Q作QN⊥EM，则MN=12QM=2-12x，QN=3(2-12x)，推出CN=CM-MN=2+12x，根据勾股定理得，CN2+QN2=CQ2，构建方程求出x，即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．