2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题11 破译解析几何中点差法通法（试题+解析版）

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一、填空题1．若过点P(8,1)的直线与双曲线x2-4y2=4相交于A、B两点,且P是线段AB的中点,则直线AB的方程是_________________.【答案】2x-y-15=0【解析】设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4,两式相减得(x1-x2) (x1+x2)=4(y1-y2)(y1+y2),即=2,∴kAB=2.∴AB:2x-y-15=0.2．点P(8,1)平分双曲线x2－4y2=4的一条弦,则这条弦所在直线的斜率是_______.【答案】23．椭圆中有如下结论：椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上，类比上述结论：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线上【答案】【解析】试题分析：将椭圆方程中的变为，变为，右边变为0，于此得到椭圆上斜率为1的弦的中点在直线上. 类比上述结论，将双曲线的方程作为上述变换可知：双曲线上斜率为1的弦的中点在直线.考点：1.类比的思想；2.新定义题. 二、解答题4．已知两点A（－2,0）和B（2,0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．（1）求点M的轨迹方程；（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x－1）2＋y2＝r2（0＜r＜）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．【答案】（1）（x≠±2；（2）【解析】试题分析：（1）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（2）把x=1代入曲线C的方程，可得点．由于圆（x－1）2＋y2＝r2的圆心为（1，0），利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得坐标．进而确定直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用和基本不等式即可得出试题解析：（1）设点M（x，y），因为kAMkBM＝－，所以，整理得点M所在的曲线的方程为（x≠±2）．把直线RQ的方程y＝x＋b代入椭圆方程，消去y整理得x2＋bx＋b2－3＝0，所以|RQ|＝·＝，原点O到直线RQ的距离为d＝，所以S△ORQ＝··＝≤考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．轨迹方程5．已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若P为线段AB的中点,求k1;(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.【答案】(1) +=1   (2) -   (3)证明见解析（0,-）【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,①+=1.②②-①,得+=0.所以k1==-=-=-.(3)依题设,k1≠k2.[来设M(xM,yM),又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),即y=k1x+(1-k1),亦即y=k1x+k2,代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.于是,xM=,yM=,同理,xN=,yN=.此时直线过定点（0,-）.当k1k2=0时,直线MN即为y轴,此时亦过点（0,-）.综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.6．在直角坐标系中，为坐标原点，如果一个椭圆经过点P(3,),且以点F(2,0)为它的一个焦点.（1）求此椭圆的标准方程；（2）在（1）中求过点F(2,0)的弦AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：(1)既然是求椭圆的标准方程，那么另一个焦点必定是点，，，即，，可得椭圆标准方程为；(2)只要知道本题中(斜率存在时)，利用这个等式可迅速求出结论。试题解析：(1)设椭圆方程为：，则有：解得：，故所求椭圆方程为.                5分综上所述，所求轨迹方程为.                10分考点：(1)椭圆的标准方程；(2)轨迹方程.7．已知椭圆，（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。（2）过A（2，1）的直线L与椭圆相交，求L被截得的弦的中点轨迹方程；（3）过点P（0.5,0.5）且被P点平分的弦所在直线的方程。【答案】（1）y=；（2）(去除包含在椭圆内部的部分)；（3）2x+4y-3=0。【解析】 (1)设这些平行弦的方程为y=2x+m,弦的中点为M(x,y).联立直线方程和椭圆方程:y=2x+m,消去y得,,因此=-,.M的坐标是:x=,y=2x+m,,消去m得:y=.(3)由(2)可得弦所在直线的斜率为k==,因此所求直线方程是:y-=-(x-),化简得:2x+4y-3=0.8．（本小题满分13分）已知过点（1，0）的直线相交于P、Q两点，PQ中点坐标为（O为坐标原点）。（I）求直线的方程；（II）证明：为定值。【答案】(Ⅰ)  (Ⅱ)  [【解析】（I）设 （2分）①—②得中点坐标为则直线的方程为（4分）消去y得③于是（6分）9.已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为.(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)，或.【解析】（Ⅰ）根据题意，得.所求的椭圆方程为.（Ⅱ）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为.由平行四边形法则知：.由得：.………………………………………………………………………①若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在.由得： ………………………………………………………………………②10.设双曲线的中心在原点，以抛物线的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线与双曲线交于两点，求；（Ⅲ）对于直线，是否存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线 (为常数)对称，若存在，求出值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）的值存在，.（Ⅱ）由得：.设，则..（Ⅲ）假设存在这样的实数，使直线与双曲线的交点关于直线对称，则是线段AB的垂直平分线. 因而，从而. 设线段AB的中点为.由得：，.…………………………………………①由得：.…………………………………………………②由①、②得：.由得：，.又由得：直线与双曲线C相交于A、B两点，＞0，即＜6，且. 符合题意的的值存在，.11.设两点在抛物线上，是AB的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当取何值时，直线经过抛物线的焦点F？证明你的结论.（Ⅱ）当时，求直线的方程.【答案】（Ⅰ）当且仅当时，直线经过抛物线的焦点F；（Ⅱ）（Ⅱ）当时，由得：. 所求的直线的方程为，即12.设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.确定的取值范围，并求直线AB的方程；【答案】13.设A、B是双曲线上两点，点是线段AB的中点.（1）求直线AB的方程；（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么？【答案】（1）；（2）略【解析】（1），焦点在上. 由得：，.所求的直线AB方程为，即.（2）设直线CD的方程为，点在直线CD上，，.直线CD的方程为.又设弦CD的中点为，由得：，即.由得.点M的坐标为.又由得.由两点间的距离公式可知：.故A、B、C、D四点到点M的距离相等，即A、B、C、D四点共圆.14.已知抛物线，直线交C于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明：，设点M的坐标为.代入，得：，整理得：.，，即抛物线C在点N处的切线的斜率等于直线AB的斜率.故抛物线C在点N处的切线与AB平行.设，则... 即.化简，得：，即..故存在实数，使.