2022-2023年高考数学压轴题专项练习 专题2 破译函数中双变量的问题（试题+解析版）

一、单选题

1．已知函数，若成立，则的最小值为（    ）

A. B. C. D.

【答案】C

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求最值，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求函数的最值即可.

二、填空题

2．已知f(x)＝(x＋1)3e－x＋1，g(x)＝(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】∃x1，x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，即为f(x)max≥g(x)min.又f′(x)＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2)，由f′(x)＝0得x＝－1或2，且当x＜2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以f(x)max＝f(2)＝，又g(x)min＝a，则a≤，故实数a的取值范围是(－∞，]．

点睛：对于不等式任意或存在性问题，一般转化为对应函数最值大小关系，即；，

3．若不等式x2－2y2≤cx(y－x)对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为__________．

【答案】

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

三、解答题

4．已知函数（为常数）与轴有唯一的公关点．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为，若存在不相等的正实数，满足，证明：．

【答案】（Ⅰ）当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）因为函数的定义域为，且，故由题意可知曲线与轴存在公共点，又，对a进行讨论分，四种情况进行可得解（Ⅱ）容易知道函数在处的切线斜率为，得，由（Ⅰ）可知，且函数在区间上递增．不妨设，因为，则，则有，整理得，利用基本不等式构建关于不等关系即可证得.

②若，则函数的极小值为，符合题意；

③若，则由函数的单调性，有，取，有．下面研究函数

，，因为恒成立，故函数在上递增，故，故成立，函数在区间上存在零点．

不符合题意．

综上所述：

当时，函数的递增区间为，递减区间为；

当时，函数的递增区间为，无递减区间．

点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用基本不等式来证明，考查了分类讨论的思想，属于中档题.

5．已知函数 (a为常数)有两个极值点．

(1)求实数a的取值范围；

(2)设f(x)的两个极值点分别为x1，x2，若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立，求λ的最小值．

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，转化为对应一元二次方程有两个正根，再根据实根分布列不等式组，解得实数a的取值范围；（2）分离参数转化为对应函数最值问题： 最大值，再化简为a的函数，利用导数可得其值域，即得λ的最小值．

试题解析：(1)f′(x)＝＋x－a＝ (x＞0)，

于是f(x)有两个极值点等价于二次方程x2－ax＋a＝0有两正根，

设其两根为x1，x2，则，解得a＞4，

不妨设x1＜x2，此时在(0，x1)上f′(x)＞0，在(x1，x2)上f′(x)＜0，在(x2，＋∞)上f′(x)＞0.

因此x1，x2是f(x)的两个极值点，符合题意．

所以a的取值范围是(4，＋∞)．

点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.

 6．设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有，求m的取值范围．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据m正负以及指数函数单调性讨论得导函数符号（2）先利用最值转化不等式恒成立得f(x)最大值与最小值的差不大于e-1,再利用导数研究函数单调性，解对应不等式得m的取值范围．

试题解析：(1)f′(x)＝m(emx－1)＋2x.

若m≥0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1≤0，f′(x)＜0；

当x∈(0，＋∞)时，emx－1≥0，f′(x)＞0.

若m＜0，则当x∈(－∞，0)时，emx－1＞0，f′(x)＜0；

当x∈(0，＋∞)时，emx－1＜0，f′(x)＞0.

所以，f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

点睛：不等式有解问题与不等式恒成立问题这两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.

7．已知（为自然对数的底数）．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：．

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）（1）；（2） 见解析.

【解析】试题分析：（I）求出函数的导数，通过讨论的范围，分别令求得 的范围，可得函数增区间，求得 的范围，可得函数的减区间；（II）（1）由（Ⅰ）知，当时， 在R上为增函数，不合题意；当时， 的递增区间为，递减区间为，只需，即可解得的取值范围；（2）分离参数,问题转化为证明证明,不妨设,记,则,因此只要证明：，即根据函数的单调性证明即可.

试题解析：（Ⅰ）的定义域为R，，（1）当时，在R上恒成立，∴在R上为增函数； （2）当时，令得，令得，∴的递增区间为，递减区间为；

（2）由（Ⅱ）（1），当时，有两个零点，且在上递增， 在上递减，依题意，，不妨设．

要证，即证，

又，所以，

而在上递减，即证，

又，即证，（）．

构造函数，

，∴在单调递增，

∴，从而，

∴，（），命题成立．

8．已知函数 (其中e是自然对数的底数，k∈R)．

(1)讨论函数的单调性；

(2)当函数有两个零点时，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：

本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。

（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。

所以。

设函数的两个零点为，

则，

设，

解得，

所以，

要证，

只需证，

设

设单调递增，

所以，

所以在区间上单调递增，

所以，

故．

9．已知函数与，其中e是自然对数的底数．

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)若对任意的恒成立，求实数m的取值范围

【答案】（1） （2）

(2)很明显，原问题等价于，结合导函数研究函数的性质可得关于的不等式：，求解不等式可得实数m的取值范围是 .试题解析：

（1）定义域为，，

，又，

故曲线在处的切线方程为，

即.

10．函数 ,其中 .

(1)试讨论函数 的单调性;

(2)已知当 (其中 是自然对数的底数)时,在 上至少存在一点,使 成立,求 的取值范围;

(3)求证:当 时,对任意,有.

【答案】(1)见解析(2) (3)见解析

【解析】试题分析：

试题解析：

(1)易知的定义域为．

∵，

∴=．

由 得: 或．

∵，

∴．

①当时，

则单调递增；当单调递减；单调递增．

②当时，

则当单调递增；当单调递减；当单调递增．

③当时，单调递增．

综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增．

(3)当时，．

设，

则．

故当时，单调递减．

∴对任意，都有成立，

∴．

即．

又，

∴．

点睛：

利用导数研究不等式恒成立或存在型问题时，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

11．设f(x)＝lnx，g(x)＝x|x|.

(1)求g(x)在x＝－1处的切线方程；

(2)令F(x)＝x·f(x)－g(x)，求F(x)的单调区间；

(3)若任意x1，x2∈[1，＋∞)且x1>x2，都有m[g(x1)－g(x2)]>x1f(x1)－x2f(x2)恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).

试题解析：

(1)x<0时，g(x)＝－x2，g′(x)＝－x，

故g(－1)＝－，g′(－1)＝1，

故g(x)在x＝－1处的切线方程是：y＋＝1×(x＋1)，

即x－y＋＝0.

(2)由题意知F(x)＝xlnx－x|x|＝xlnx－x2(x>0)，

F′(x)＝lnx－x＋1，令t(x)＝F′(x)＝lnx－x＋1，

则t′(x)＝－1，

令t′(x)>0，解得0<x<1，令t′(x)<0，解得x>1，

故F′(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减，

故F′(x)≤F′(1)＝0，

故F(x)在(0，＋∞)上递减；

点睛：构造函数的题型需要观察题目函数的关系，本题中第（3）问将式子整理可得x1>x2≥1时，mg(x1)－x1f(x1)≥mg(x2)－x2f(x2)恒成立，则联想到构造函数h(x)＝mg(x)－xf(x)＝x2－xlnx，再结合单调性进行解题。

12．已知函数.

（1）若函数在定义域内不单调，求实数的取值范围；

（2）若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围；

（3）若且，求证：.

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：

(1)对函数求导有，则原问题等价于方程有大于零的实根，结合二次方程根的分布理论可得；

(2)原问题等价于在区间内恒成立，结合均值不等式的结论可得；

(3)当时，不等式显然成立，当，等价转化后结合（2）的结论即可证得题中的结论.

（2）函数在区间内单调递增，

在区间内恒成立，即在区间内恒成立

在时取得最小值，

（3）当时，不等式显然成

当，只需证明，令，则只需证明成立，由（2）可知在上是增函数，

点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

13．已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(e为自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．

【答案】(1)见解析 (2) (－∞，3－2e)∪.

【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．

(2)假设存在，使得成立，则.

∵

∴.

对于，当时，， 在上单调递减，

∴，即.

②当时，，在上单调递增，

∴，即.

③当时，若，则，在上单调递减；

若，则，在上单调递增，

∴，即.(*)

由(1)知，在上单调递减，

故，而

∴不等式(*)无解．

综上所述，的取值范围为

14．设函数f(x)＝emx＋x2－mx.

(1)证明：f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；

(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．

【答案】(1) 见解析(2) [－1,1]．

【解析】试题分析：（1）利用说明函数为增函数，利用说明函数为减函数，要注意参数的讨论；（2）由（1）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题．从而求得的取值范围．

(2)由(1)知，对任意的，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是即①

设函数，则

当时，；当时，

∴在上单调递减，在上单调递增．

点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，用导数解决恒成立求参的问题，对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题，或者直接求函数最值，使得函数最值大于或小于0，或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.

15．已知函数，

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）若,,,使得（），求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；（2）设在上的值域为A，函数在上的值域为B，根据函数的单调性求出实数的取值范围．

（Ⅱ）当时，

因为，，使得（），

故；设在上的值域为A，

函数在上的值域为B，

当时，，即函数在上单调递减，

故，又.

（i）当时，在上单调递减，此时的值域为，

因为，又，故，即；

（ii）当时，在上单调递增，此时的值域为，因为，又，故，故；

综上所述，实数的取值范围为．

16．已知

(1)证明:图象恒在直线的上方;

(2)若在恒成立,求的最小值.

【答案】(1)见解析(2)的最小值为

试题解析：

(1)由题意只需证

即证明在上恒成立.

令,

即在单调递增.

又,所以在在唯一的解,

记为,且,

可得当,

所以只需最小值,

易得,所以.所以结论得证.

(2)令,则,

所以,当时,,

要使,只需,

当时, 此时有,

不符合题意,舍去.

当时,令得,

可得当时,.即时,,

不符合题意,舍去.

综上,,

又,所以的最小值为.

点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.