2021-2022学年内蒙古通辽市奈曼旗六校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年内蒙古通辽市奈曼旗六校九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在实数，，，中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的工件的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列调查中，适宜采用普查方式的是(    )

A. 调查市场上冷冻食品的质量情况
B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
C. 调查某品牌冰箱的使用寿命
D. 调查年春晚的收视率情况

4. 将抛物线：向左平移个单位长度，得到抛物线，抛物线与抛物线关于轴对称，则抛物线的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 定义运算：例如：，则方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根

6. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点若，为上一动点，则的最小值为(    )

A. 无法确定 B.  C.  D.

7. 如图，点，，，均在以点为圆心的上，连接，及顺次连接，，，得到四边形，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的大致图象是(    )

A.
B.
C.
D.

9. 如图，圆锥的底面半径为，母线长为，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，甲、丙两地相距，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线表示两车之间的距离与慢车行驶的时间之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是(    )

1. 甲、乙两地之间的距离为
   B. 快车从甲地驶到丙地共用了
   C. 快车速度是慢车速度的倍
   D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有

二．填空题（本题共7小题，共21分）

11. 的立方根是______．
12. 函数中自变量的取值范围是______．
13. 如图，为的直径，点在上，若，，则的长为______．

14. 如图是一张菱形纸板，顺次连接各边中点得到矩形，再连接矩形对角线．将一个飞镖随机投掷到大菱形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是______．
15. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．
16. 若关于的方程的解是正数，则的取值范围为______ ．
17. 如图，用长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形场地，墙的最大长度为则场地的最大面积为______．

三．解答题（本题共9小题，共69分）

18. 计算：．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表

请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数．

21. 随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：洗手监督岗，戴口罩监督岗，就餐监督岗，操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．
    李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为______；
    用列表法或面树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率．
22. 某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．

请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔的高度．
精确到米，参考数据：，，

23. 如图，等腰中，，交于点，点是的中点，分别过，两点作线段的垂线，垂足分别为，两点．
    求证：四边形为矩形；
    若，，求的长．

24. 年北京冬奥会吉祥物冰墩墩深受大家的喜欢．某商家两次购进冰墩墩进行销售，第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．
    求该商家第一次购进冰墩墩多少个？
    若所有冰墩墩都按相同的标价销售，要求全部销售完后的利润率不低于不考虑其他因素，那么每个冰墩墩的标价至少为多少元？
25. 如图，为的直径，为的切线，过点的直线与分别交于点，，与交于点，连接，．
    求证：．
    若，，，，求的半径．

26. 如图，已知抛物线交轴于，两点，交轴于点，点是抛物线上一点，连接、．
    求抛物线的表达式；
    连接，，若，求点的坐标；
    在抛物线的对称轴上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
在实数，，，中，最小的数是．
故选：．
正实数都大于，负实数都小于，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：从物体正面看，看到的是一个横放的矩形，且一条斜线将其分成一个直角梯形和一个直角三角形．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形，本题找到从正面看所得到的图形即可．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项，难度适中．
 

3.【答案】 

【解析】解：、调查市场上冷冻食品的质量情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品，适宜采用普查方式，故本选项符合题意；
C、调查某品牌冰箱的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、调查年春晚的收视率情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
故选：．
根据全面调查和抽样调查的概念、结合实际解答．
本题考查的是全面调查和抽样调查，通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其一，调查者能力有限，不能进行普查，其二，调查过程带有破坏性，其三，有些被调查的对象无法进行普查．
 

4.【答案】 

【解析】解：抛物线：的顶点为，
向左平移个单位长度，得到抛物线的顶点坐标为，
抛物线与抛物线关于轴对称，
抛物线的开口方向相反，顶点为，
抛物线的解析式为．
故选：．
根据抛物线的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线的得到坐标，而根据关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线所对应的函数表达式．
本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．
 

5.【答案】 

【解析】解：方程化为，
，
方程有相等的实数解．
故选：．
先利用新定义得到方程，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于．

由作图可知，平分，
，，
，
根据垂线段最短可知，的最小值为，
故选：．
如图，过点作于根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题．
本题考查作图基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接．

，，
，
是等边三角形，
，
，
故选：．
连接证明是等边三角形，再利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是证明是等边三角形．
 

8.【答案】 

【解析】解：二次函数的图象开口向上，
，
二次函数的图象的对称轴在轴的左侧，且交轴的负半轴，
，，
反比例函数的图象必在一、三象限，一次函数的图象必经过一三四象限，故D正确．
故选：．
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：圆锥的底面周长，
设侧面展开图的圆心角的度数为．
，
解得，
圆锥的侧面展开图，如图所示：

最短路程为：，
故选D．
易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可．
求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．
本题主要考查了圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，
甲、乙两地之间的距离为，故A说法正确，不符合题意；
点纵坐标为，即快慢两车的距离为，
点表示时，快车追上慢车，
慢车速度：，快车速度：，
快车速度是慢车速度的倍；故C说法正确，不符合题意；
快车速度是，
快车从甲地驶到丙地共用了，故B说法错误，符合题意；
两车同时出发，同向而行，
慢车距丙地的距离为：，故D说法正确，不符合题意；
故选：．
A.因为两车同时出发，同向而行，所以点就是甲、乙两地之间的距离为；
B.由点为两车的路程差，相遇时间为小时，可知：快车速度慢车速度，再由点可知慢车从乙地到达丙地；由此求出慢车速度，进一步求出快车速度，进而得出快车从甲地驶到丙地所用时间；
C.通过求出列出的速度判断即可；
D.根据“路程速度时间”即可．
此题考查一次函数的综合运用，解答问题的关键是看清图象表示的意义，利用路程、时间、速度三者之间的关系解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了立方根的定义，求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
根据算术平方根的定义先求出，再根据立方根的定义即可得出答案．
【解答】
解：，
的立方根是；
故答案为．  

12.【答案】且 

【解析】解：由题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题知，，，
，
，
故答案为：
先求出圆心角的度数，然后根据弧长公式计算弧长即可．
本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，阴影部分占整体面积的，
故飞镖落在阴影区域的概率是．
故答案为：．
根据概率公式求出阴影部分占整体的几分之几即可求解．
本题考查几何概率，理解几何概率的意义，是正确计算的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：
，是一元二次方程的两个根，
，，
，
故答案为：．
由根与系数的关系可求得与的值，代入计算即可．
本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系求得与的值是解题的关键．
 

16.【答案】且 

【解析】解：原方程左右两边同时乘以，得：，
解得：，
原方程的解为正数且，
，
解得：且，
故答案为：且．
先解分式方程，根据分式方程的解为正数和分式方程无意义的情况，即可得出的取值范围．
本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设矩形的长为，场地面积为，根据题意得，
．
，开口向下，在时，随的增大而增大，
，
时，取得最大值，最大值为．
故答案为：．
根据题意设矩形的长为，场地面积为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可．
本题考查了二次函数的的应用，实际问题中，注意自变量的取值范围是解题的关键．
 

18.【答案】解：．


． 

【解析】先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂和绝对值，再计算乘法，后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能确定准确的运算顺序，并能对各种运算进行准确计算．
 

19.【答案】解：原式


．
，
．
原式． 

【解析】先利用异分母加减法法则计算括号里面，再把分式的分子分母因式分解，最后化简求值．
本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
 

20.【答案】解：，  ；
，；
扇形统计图中“次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为人，
答：估计该校学生在一周内借阅图书“次及以上”的人数为人． 

【解析】解：被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为：，；
由于共有个数据，其中位数为第、个数据的平均数，
而第、个数据均为，
所以中位数为，
出现次数最多的是，
所以众数为，
故答案为：、；
见答案
见答案
先由次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得的值，用次的人数除以总人数求得的值；
根据中位数和众数的定义求解；
用乘以“次”对应的百分比即可得；
用总人数乘以样本中“次及以上”的人数所占比例即可得．
本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为，
所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 

【解析】

【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
直接利用概率公式计算；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：李老师被分配到“洗手监督岗”的概率；
故答案为：；
见答案．  

22.【答案】解：延长交于点，

则，米，米，
设米，
在中，，
米，
米，
在中，，
，
，
经检验，是原方程的根，
米，
米，
嵩岳寺塔的高度约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得，米，米，设米，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】证明：，，
点是的中点．
点是的中点，
是的中位线．
．
，，
．
四边形是平行四边形．
又，
四边形为矩形；
交于点，点是的中点，，
．
由知，四边形为矩形，则．
在直角中，，，由勾股定理得：．
，，
． 

【解析】欲证明四边形为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得；然后在直角中利用勾股定理得到的长度；最后结合求解即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
 

24.【答案】解：设第一次购进冰墩墩个，则第二次购进冰墩墩个，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该商家第一次购进冰墩墩个．
由知，第二次购进冰墩墩的数量为个．
设每个冰墩墩的标价为元，
由题意得：，
解得：，
答：每个冰墩墩的标价至少为元． 

【解析】设第一次购进冰墩墩个，由题意：第一次用元，很快销售一空，第二次又用元购进同款冰墩墩，所购进数量是第一次的倍，但单价贵了元．列出分式方程，解方程即可；
设每个冰墩墩的标价为元，由题意：全部销售完后的利润率不低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】证明：连接，

为的切线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
解：，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质及圆周角定理证出，则可得出结论；
求出，由勾股定理求出，证明∽，由比例线段求出的长，则可得出答案．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
 

26.【答案】解：将，两点代入，
，
解得，
；
令，则，
，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得或，
或；
存在点，使得，理由如下：
，
抛物线的对称轴为，
在对称轴上取点使，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
；
点关于轴对称的点为；
综上所述：点的坐标为或 

【解析】将，两点代入，即可求解；
先求出，则，设，可得，即可求点坐标；
在对称轴上取点使，则，可得，再由，分别求出，，可求，点关于轴对称的点为
本题考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，根据题意能够构造等腰三角形是解题的关键．