内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】

这是一份内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校2021-2022学年九年级上学期期中数学【试卷+答案】，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
3．（3分）某家快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为30万件，三月份完成投递的快递总件数为36.3万件，若每月投递的快递总件数的增长率x相同，则根据题意列出方程为（　　）
A．30（2x+1）＝36.3 B．30（x+1）2＝36.3
C．30（2x﹣1）＝36.3 D．30（x﹣1）2＝36.3
4．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
5．（3分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．无法确定
6．（3分）设x1，x2是方程x2+2kx﹣2＝0两个根，且x1+x2＝﹣2x1•x2，则k的值为（　　）
A．k＝﹣2 B．k＝2 C． D．
7．（3分）如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）
8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　 　．
12．（3分）将抛物线y＝2x2﹣3图象向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为 　 　．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣5＝0，若两根之和为0，则m＝　 　．
14．（3分）当2≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣4x+7的最小值是 　 　．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O，A（3，2）两点，则不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是 　 　．

16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 　 　．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）（x+3）2＝（1﹣2x）2；
（2）（2x+1）（x﹣4）＝5．
18．（8分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个交点，求交点坐标和m的值．
19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出各点的坐标．
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足，求m的值．
21．（9分）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

（1）若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；
（2）如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．
22．（9分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

23．（10分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．


2021-2022学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
2．（3分）一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后可化为（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（ x﹣2）2＝5
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，
x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝1+4，
（x﹣2）2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能正确配方是解此题的关键．
3．（3分）某家快递公司今年一月份完成投递的快递总件数为30万件，三月份完成投递的快递总件数为36.3万件，若每月投递的快递总件数的增长率x相同，则根据题意列出方程为（　　）
A．30（2x+1）＝36.3 B．30（x+1）2＝36.3
C．30（2x﹣1）＝36.3 D．30（x﹣1）2＝36.3
【分析】根据该快递公司今年一月份及三月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：30（1+x）2＝36.3．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
注意方程若为一元二次方程，则k≠0．
5．（3分）若二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣2m﹣3的图象经过原点，则m的值必为（　　）
A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．无法确定
【分析】将原点坐标代入二次函数y＝（m+1）x2+m2﹣2m﹣3中即可求出m的值，注意二次函数的二次项系数不为零．
【解答】解：根据题意得m2﹣2m﹣3＝0，
所以m＝﹣1或m＝3，
又因为二次函数的二次项系数不为零，即m+1≠0，
所以m＝3．
故选：C．
【点评】此题考查了点与函数的关系，解题时注意分析，注意理解题意．
6．（3分）设x1，x2是方程x2+2kx﹣2＝0两个根，且x1+x2＝﹣2x1•x2，则k的值为（　　）
A．k＝﹣2 B．k＝2 C． D．
【分析】根据根与系数的关系，求得x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝﹣2，再根据x1+x2＝﹣2x1•x2，求得k的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2kx﹣2＝0两个根，
∴x1+x2＝﹣2k，x1•x2＝﹣2，
∵x1+x2＝﹣2x1•x2，
∴﹣2k＝4，解得k＝﹣2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与已知条件相结合解题是一种经常使用的解题方法．
7．（3分）如图，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2．将△AOB绕点O逆时针旋转90°，则点B的对应点B′的坐标是（　　）

A．（﹣，3） B．（﹣3，） C．（﹣，） D．（﹣2，3）
【分析】如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．解直角三角形求出OH，B′H即可．
【解答】解：如图，过点B′作B′H⊥y轴于H．

在Rt△A′B′H中，∵A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，
∴A′H＝A′B′cos60°＝1，B′H＝A′B′sin60°＝，
∴OH＝2+1＝3，
∴B′（﹣，3），
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A．b＞8 B．b＞﹣8 C．b≥8 D．b≥﹣8
【分析】先根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式，再列方程组，有公共点则△≥0，则可求出b的取值．
【解答】解：由题意得：平移后得到的二次函数的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣1，
则，
（x﹣3）2﹣1＝2x+b，
x2﹣8x+8﹣b＝0，
△＝（﹣8）2﹣4×1×（8﹣b）≥0，
b≥﹣8，
故选：D．
【点评】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题，两函数有公共点：说明两函数有一个交点或两个交点，可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决．
9．（3分）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故B错误；
C、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故C正确；
∵D、二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于y轴负半轴的同一点，
故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①4a﹣b＝0；②c＜0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b＞at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣，y1），（﹣，y2），（﹣，y3）是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3，正确的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断②，由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴4a﹣b＝0，所以①正确；

∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，
∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故②正确；

∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，
所以③正确；

由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，
∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，
即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④错误；

∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，
∴y1＜y3＜y2，故⑤错误；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是　m＞　．
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4m＜0，
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
12．（3分）将抛物线y＝2x2﹣3图象向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为 　y＝2（x+3）2　．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝2x2﹣3图象向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，
所得的抛物线的解析式y＝2（x+3）2﹣3+3＝2（x+3）2，即y＝2（x+3）2．
故答案是：y＝2（x+3）2．
【点评】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
13．（3分）已知关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣5＝0，若两根之和为0，则m＝　2　．
【分析】根据根与系数的关系得出m﹣2＝0，求出即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（m﹣2）x+m﹣5＝0的两根之和为0，
∴m﹣2＝0，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
14．（3分）当2≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣4x+7的最小值是 　7　．
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的增减性解答即可．
【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+7＝2（x﹣1）2+5，
∴对称轴为x＝1，
∵a＝2＞0，
∴x＞1时，y随x的增大而增大，
∴在2≤x≤3内，当x＝2时，y最小＝2×22﹣4×2+7＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴是解题的关键．
15．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O，A（3，2）两点，则不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是 　0＜x＜3　．

【分析】根据图形抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，即可得出关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集．
【解答】解：由ax2+bx﹣kx＜0得到：ax2+bx＜kx，
∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝kx相交于O（0，0）和A（3，2）两点，
∴关于x的不等式ax2+bx＜kx的解集是0＜x＜3，
即关于x的不等式ax2+bx﹣kx＜0的解集是0＜x＜3，
故答案为：0＜x＜3．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式组．解答此题时，利用了图象上的点的坐标特征来解一次函数与二次函数的解析式．
16．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是 　1≤a＜或a≤﹣2．　．
【分析】根据两条函数图象有两个不同的交点，可得联立后的一元二次方程中b2﹣4ac＞0，即可求出a的取值范围．
【解答】解：+＝ax2﹣x+1，
∴，
∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴，
∴，
①当a＜0时，，
解得：a≤﹣2，
②当a＞0时，
，
解得：a≥1，
∴．
∴综上所述：1≤a＜或a≤﹣2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与线段交点的问题，解题的关键在于联立方程得出b2﹣4ac＞0．
三、解答题（共72分）
17．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）（x+3）2＝（1﹣2x）2；
（2）（2x+1）（x﹣4）＝5．
【分析】（1）方程整理后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程整理后利用公式法来求解即可解方程．
【解答】解：（1）（x+3）2﹣（1﹣2x）2＝0，
[（x+3）+（1﹣2x）][（x+3）﹣（1﹣2x）]＝0，
x+3+1﹣2x＝0或x+3﹣（1﹣2x）＝0，
解得x1＝4，x2＝；
（2）整理得：2x2﹣7x﹣9＝0，
∵a＝2，b＝﹣7，c＝﹣9，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×（﹣9）
＝49+72
＝121＞0，
∴x＝，
解得x1＝﹣1，x2＝．
【点评】此题考查了解一元二次方程，因式分解法和公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．
18．（8分）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个交点，求交点坐标和m的值．
【分析】利用函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个交点，利用分类讨论的思想讨论解答，①m＝1时，函数为一次函数，恒与x轴有一个交点，令y＝0即可求得结论；②m≠1时，可得方程（m﹣1）x2﹣6x+m＝0的判别式为0，求得m的值，令y＝0即可求得结论．
【解答】解：①当m＝1时，
y＝﹣6x+，
此时，函数为一次函数，恒与x轴有一个交点，
令y＝0，则﹣6x+＝0，
解得：x＝．
∴交点坐标为（，0）；
②m≠1时，令y＝0，
则（m﹣1）x2﹣6x+m＝0．
∵函数y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ＝0．
即：（﹣6）2﹣4（m﹣1）×m＝0．
解得：m＝3或﹣2．
当m＝3时，x1＝x2＝，
∴交点坐标为（，0）；
当m＝﹣2时，x1＝x2＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）．
综上，当m＝1时，交点坐标为（，0）；当m＝3时，交点坐标为（，0）；当m＝﹣2时，交点坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法．利用分类讨论的思想是解题的关键．
19．（8分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；并写出各点的坐标．
（2）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于原点对称的点，然后顺次连接，并写出坐标；
（2）找出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点P的位置，然后连接AP、BP并根据图象写出点P的坐标即可．
【解答】解：（1）△A2B2C2如图所示：
坐标为：A2（﹣1，﹣1），B2（﹣4，﹣2），C2（﹣3，﹣4）；

（2）作出点A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于点P，
连接AP、BP，
即可得出△PAB，
点P坐标为（2，0）．

【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点，写出坐标．
20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2＝0的两个不相等的实数根α，β满足，求m的值．
【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将转化为关于m的方程，求出m的值并检验．
【解答】解：由题意知α+β＝﹣（2m﹣3）＝3﹣2m，αβ＝m2，
由，即＝1可得＝1，
解得：m＝1或m＝﹣3，
由判别式大于零，
得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，
解得m＜，
∴m＝﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝，此题难度不大．
21．（9分）如图1，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为15米，一面利用旧墙，其余三面用篱笆围成，篱笆总长为24米．

（1）若围成的花圃面积为40米2时，求BC的长；
（2）如图2若计划在花圃中间用一道隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50米2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC的长？如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为40米2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）设BC的长为y米，则AB的长为米，根据矩形的面积公式结合花圃面积为50米2，即可得出关于y的一元二次方程，由该方程的根的判别式Δ＝﹣24＜0，即可得出方程无解，即不能围成面积为50米2的花圃．
【解答】解：（1）设BC的长度为x米，则AB的长度为米，
根据题意得：x•＝40，
整理得：x2﹣24x+80＝0，
解得：x1＝4，x2＝20．
∵20＞15，
∴x2＝20舍去．
答：BC的长为4米．
（2）不能围成，理由如下：
设BC的长为y米，则AB的长为米，
根据题意得：y•＝50，
整理得：y2﹣24y+150＝0．
∵Δ＝（﹣24）2﹣4×1×150＝﹣24＜0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为50米2的花圃．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（9分）如图有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位是AB宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式．
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

【分析】（1）首先设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），可设D（5，b），利用待定系数法即可得到抛物线解析式；
（2）由（1）可知b＝﹣1，由此可求出从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶的时间．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），
由CD＝10m，可设D（5，b），
由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：
，
解得．
∴y＝﹣x2；
（2）∵b＝﹣1，
∴拱桥顶O到CD的距离为1m，
∴＝5（小时）．
所以再持续5小时到达拱桥顶．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用．通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题，用二次函数的性质加以解决是解题的关键．
23．（10分）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y件．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？
（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．从而用60减去x，再除以10，就是降价几个10元，再乘以20，再把80加上就是平均月销售量；
（2）利用（售价﹣进价）乘以平均月销售量，再减去每月需要支付的其他费用，让其等于1800，解方程即可；
（3）由（2）方程式左边，可得每月获得的利润函数，写成顶点式，再结合函数的自变量取值范围，可求得取最大利润时的x值及最大利润．
【解答】解：（1）由题意得：y＝80+20×
∴函数的关系式为：y＝﹣2x+200 （30≤x≤60）
（2）由题意得：
（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800
解得x1＝55，x2＝75（不符合题意，舍去）
答：当销售单价为55元时，销售这种童装每月可获利1800元．
（3）设每月获得的利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450
＝﹣2（x﹣65）2+2000
∵﹣2＜0
∴当x≤65时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤60
∴当x＝60时，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950
答：当销售单价为60元时，销售这种童装每月获得利润最大，最大利润是1950元．
【点评】本题综合考查了一次函数、一元二次方程、二次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性．
24．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

【分析】（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A，B，C代入函数解析式，得
，
解得，
这个二次函数的表达式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设BC的解析式为y＝kx+b，
将B，C的坐标代入函数解析式，得
，
解得，
BC的解析式为y＝x﹣3，
设M（n，n﹣3），P（n，n2﹣2n﹣3），
PM＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n＝﹣（n﹣）2+，
当n＝时，PM最大＝；
②解法一：当PM＝PC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n2﹣2n﹣3+3）2，
解得n1＝n2＝0（不符合题意，舍），n3＝2，
n2﹣2n﹣3＝﹣3，
P（2，﹣3）．
当PM＝MC时，（﹣n2+3n）2＝n2+（n﹣3+3）2，
解得n1＝0（不符合题意，舍），n2＝3﹣，n3＝3+（不符合题意，舍），
n2﹣2n﹣3＝2﹣4，
P（3﹣，2﹣4）．
综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
解法二：当PM＝PC时，
∵BC：y＝x﹣3
∴∠ABC＝45°
∵PH⊥AB
∴∠BMH＝∠CMP＝45°
∴PM＝PC时，△CPM为等腰直角三角形，CP∥x轴
设P（n，n2﹣2n﹣3），则CP＝n
MP＝﹣n2+3n
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝0（舍去）或n＝2，
∴P（2，﹣3）
当PM＝CM时，设P（n，n2﹣2n﹣3），
则＝﹣n2+3n
＝﹣n2+3n
∵n＞0
∴n＝﹣n2+3n
解得n＝3﹣
∴P（3﹣，2﹣4）
综上所述：P（3﹣，2﹣4）或（2，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式，解（2）①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．

2021/11/29 13:57:16；