2021中山高二上学期期末考试数学试题含解析

这是一份2021中山高二上学期期末考试数学试题含解析，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省中山市高二（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x+y﹣1，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．M与N的大小关系不确定
2．在△ABC中，角A，B，C的边长分别是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，则b＝（　　）
A． B． C．1 D．2
3．在等差数列{an}中，若a4+a5+a6＝15，则a2+a8＝（　　）
A．6 B．10 C．7 D．5
4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列
B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列
D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
5．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（　　）

A．30m B．15m C．5m D．15m
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（　　）

A． B． C． D．
8．已知平面向量满足：，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题（共4小题）.
9．已知向量，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．下列式子，可以是x2＜1的一个充分不必要条件的有（　　）
A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0
11．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0 B．S6与S7是Sn的最大值
C．S9＞S5 D．a7＝0
12．下列函数中，最小值为的有（　　）
A． B．
C．y＝ex+2e﹣x D．y＝log2x+2logx2
三、填空题（共4小题）.
13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为　 　．
14．抛物线y＝x2的准线方程是　 　．
15．已知关于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集为A，若满足A∩Z＝B（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是　 　．
16．把半椭圆：和圆弧：（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2＝120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为　 　（x≥0），△A1PQ的周长的取值范围是　 　．
四、解答题（共6小题）.
17．已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．
（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
18．已知点P（2，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若|AB|＝16，求k的值．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图___，Tn的图象经过A，B两个点．

（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Rn.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；
（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．
（1）若PB＝3BE，求证：AE∥平面PCD；
（2）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．

22．已知数列{an}满足：anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0，（n≥2，n∈N），a1＝1，前n项和为Sn的数列{bn}满足：b1＝1，bn＝（n≥2，n∈N），又cn＝（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：（n≥2，n∈N）．


参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知0＜x＜1，0＜y＜1，记M＝xy，N＝x+y﹣1，则M与N的大小关系是（　　）
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．M与N的大小关系不确定
解：M﹣N＝xy﹣x﹣y+1＝x（y﹣1）﹣（y﹣1）＝（x﹣1）（y﹣1），
∵0＜x＜1，0＜y＜1，∴x﹣1＜0，y﹣1＜0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
故选：B．
2．在△ABC中，角A，B，C的边长分别是a，b，c，若a＝2，A＝45°，B＝60°，则b＝（　　）
A． B． C．1 D．2
解：由正弦定理知：，
从而b＝＝＝2．
故选：D．
3．在等差数列{an}中，若a4+a5+a6＝15，则a2+a8＝（　　）
A．6 B．10 C．7 D．5
解：由等差数列的性质可得：a4+a6＝a2+a8＝2a5
所以a4+a5+a6＝15，即3a5＝15，a5＝5，
故a2+a8＝2a5＝2×5＝10，
故选：B．
4．音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列
B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列
D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，
故选：A．
5．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点，则该双曲线的标准方程为（　　）
A． B． C． D．
解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y＝2x，则可以设其方程方程为x2﹣＝m，又由其过点，
则有4﹣＝m，
解可得m＝﹣1，
则其方程为：x2﹣＝﹣1，
其标准方程为：﹣x2＝1，
故选：B．
6．测量河对岸某一高层建筑物AB的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水平面内的两个观测点C和D，如图，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30m，并在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，则建筑物AB的高度为（　　）

A．30m B．15m C．5m D．15m
解：由题意，在△BCD中，∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，
∴∠CBD＝135°，
又CD＝30m，
由正弦定理得 ＝，
∴BC＝＝15；
在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝BCtan60°＝15×＝15；
则建筑物高AB为15m．
故选：B．
7．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝1，AA1＝2，D是BB1的中点，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值等于（　　）

A． B． C． D．
解：以C为坐标原点，在平面ABC中，过C作CB的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立空间直角坐标系，
因为AB＝1，AA1＝2，
则有，
故，
设平面AA1C1C的法向量为，
则有，
取x＝1，则，
设直线AD与平面AA1C1C所成的角为θ，
则．
故选：B．

8．已知平面向量满足：，，，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
解：⇒，所以可建立平面直角坐标系如图所示，
使＝﹣＝（﹣1，0），＝＝（1，0），＝＝（0，1），＝＝（x，y），
⇒由椭圆定义知，P点轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，
2a＝4⇒a＝2，c＝1，b＝，
所以＝|BP|+|PF2|＝|BP|+4﹣|PF1|＝4﹣（|PF1|﹣|BP|）≥4﹣|BF1|＝4﹣，
当P运动到P′时等号成立，所以 的最小值为4﹣．
故选：A．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．已知向量，则下列结论不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：∵向量，
∴＝（10，﹣5，﹣2），故A正确；
＝（﹣2，1，﹣6），故B错误；
＝24+6﹣8＝22，故C错误；
||＝＝6，故D正确．
故选：BC．
10．下列式子，可以是x2＜1的一个充分不必要条件的有（　　）
A．x＜1 B．0＜x＜1 C．﹣1＜x＜1 D．﹣1＜x＜0
解：对于A，x＜1时，x2有可能大于1，比如﹣3＜1，（﹣3）2＞1，故A错误；
对于B，0＜x＜1⇒x2＜1，故B正确；
对于C，﹣1＜x＜1⇔x2＜1，故C错误．
对于D，﹣1＜x＜0⇒x2＜1，故D正确；故选：BD．
11．设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论正确的是（　　）
A．d＜0 B．S6与S7是Sn的最大值
C．S9＞S5 D．a7＝0
解：设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，
则由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2+…+a5+a6，即a6＞0，
又∵S6＝S7，∴a1+a2+…+a6＝a1+a2+…+a6+a7，
∴a7＝0，故D正确；
同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d＝a7﹣a6＜0，故A正确；
而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7＝0，a8＜0，显然C是错误的．
∵S5＜S6，S6＝S7＞S8，∴S6与S7均为Sn的最大值，故B正确；
故选：ABD．
12．下列函数中，最小值为的有（　　）
A． B．
C．y＝ex+2e﹣x D．y＝log2x+2logx2
【解答】解；对于A：y＝x+≥2＝2，
当且仅当x＝时，即x＝取等号，此时取得最小值2，故A成立；
对于B：由0＜x＜π可得0＜sinx≤1，
令t＝sinx∈（0，1]，y＝t+在（0，1]上单调递减，
当t＝1时取得最小值3，故B不成立；
对于C：令t＝ex，则t＞0，则y＝t+≥2＝2，
当且仅当t＝时，即t＝取等号，此时取得最小值2，C成立；
对于D，由于log2x∈R，所以设log2x＝t，
当t＞0时，y＝log2x+2logx2＝log2x+＝t+≥2，
当且仅当t＝时，即t＝取等号，此时取得最小值2；
当t＜0时，y＝log2x+2logx2＝﹣[﹣t+（﹣）]≤﹣2，
当且仅当t＝时，即t＝﹣取等号，此时取得最大值﹣2．
综上述y≤﹣2或y≥2，故D不成立．
故选：AC．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13．命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤0的否定为　∃x∈R，x2﹣2x+4＞0　．
解：根据全称命题的否定是特称命题，
∴命题∀x∈R，x2﹣2x+4≤4的否定是：∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．
故答案是∃x∈R，x2﹣2x+4＞4．
14．抛物线y＝x2的准线方程是　y＝﹣1　．
解：由题意，抛物线的标准方程为x2＝4y，
∴p＝2，开口朝上，
∴准线方程为y＝﹣1，
故答案为：y＝﹣1．
15．已知关于x的不等式（mx﹣m2﹣6）（x+4）＜0（其中m∈R）的解集为A，若满足A∩Z＝B（其中Z为整数集），则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是　[2，3]　．
解：对m分类讨论：若m＝0，不等式化为：x+4＞0，解得x＞﹣4．∴A＝（﹣4，+∞）．此时满足A∩Z＝B的B有无数个元素．
若m＜0，不等式化为：（x﹣）（x+4）＞0，无论与﹣4的大小关系如何，此时满足A∩Z＝B的B有无数个元素．
若m＞0，不等式化为：（x﹣）（x+4）＜0，解得﹣4＜x＜，此时满足A∩Z＝B的B有有限个元素．由f（m）＝，f′（m）＝1﹣＝，
可得m＝时，f（m）取得极小值即最小值，此时B中只含有8个元素，令＝5，解得m＝2，3．∴2≤m≤3．
综上可得：使得集合B中元素个数最少时m取值范围是[2，3]．
故答案为：[2，3]．
16．把半椭圆：和圆弧：（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0）合成的曲线称为“曲圆”，其中点F（1，0）是半椭圆的右焦点，A1，A2分别是“曲圆”与x轴的左、右交点，B1，B2分别是“曲圆”与y轴的上、下交点，已知∠B1FB2＝120°，过点F的直线与“曲圆”交于P，Q两点，则半椭圆方程为　　（x≥0），△A1PQ的周长的取值范围是　（6，8]　．
解：由（x﹣1）2+y2＝a2（x＜0），令y＝0，可得x＝1﹣a以及A1（﹣1﹣a，0），
再由椭圆的方程及题意可得A2（a，0），B2（0，b），B1（0，﹣b），
由∠B1FB2＝120°，可得，
由F（1，0）可得，
所以a＝2，
所以半椭圆及圆弧的方程分别为（x≥0），（x﹣1）2+y2＝4（x＜0），
所以，
可得A1相当于椭圆的左焦点，
△A1PQ的周长为PF+PA1+A1Q+QF，
当P从A2（不包括A2）向B2运动时，PA+PF＝2a＝4，
当Q在y轴右侧时，A1Q+QF＝2a＝4，所以这时三角形的周长为8，
当P从B2向A1运动时，Q在第四象限，则A1Q+QF＝2a＝4，PF+PA1≤2r+A1B2＝2+a＝4，
这时三角形的周长小于8，
当P运动到A1时，Q在A2处，不构成三角形，三角形的周长接近2A1A2＝6，
由曲圆的对称性可得P运动到x轴下方时，与前面的一样，
综上所述，△A1PQ的周长的取值范围为（6，8]．
故答案为：；（6，8]．

四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．
（1）当m＝1时，解不等式f（x）＞0；
（2）若不等式f（x）＜0的解集为R，求实数m的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝mx2﹣mx﹣12．
当m＝1时，解不等式f（x）＞0；即x2﹣x﹣12＞0
因式分解得：（x﹣4）（x+3）＞0
解得：﹣3＞x或x＞4．
∴不等式的解集为{x|﹣3＞x或x＞4}．
（2）当m＝0时，此时f（x）＝﹣12，不等式f（x）＜0的解集为R，恒成立．
当m≠0时，要使不等式f（x）＜0的解集为R，
则m＜0，△＝b2﹣4ac＝m2+48m＜0，
解得：﹣48＜m＜0．
综上可得，实数m的取值范围是（﹣48，0]
18．已知点P（2，m）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝4，直线l：y＝k（x﹣2）与抛物线C相交于不同的两点A，B．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若|AB|＝16，求k的值．
解：（1）由抛物线的定义知，|PF|＝2+＝4，
∴p＝4，
∴抛物线C的方程为y2＝8x．
（2）∵抛物线C的方程为y2＝8x，
∴F（2，0），
∴直线l过点F，
设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，
联立，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，
∴x1+x2＝＝4+，
∴|AB|＝x1+x2+4＝4++4＝16，
解得k＝±1．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足．{bn}为等差数列，其前n项和为Tn，如图___，Tn的图象经过A，B两个点．

（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an•bn}的前n项和Rn.从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
解：（1）由，可得n＝1时，a1＝S1＝2，
n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n+1﹣2﹣（2n﹣2）＝2n，
上式对n＝1也成立，
所以数列{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*；
（2）设等差数列{bn}的公差为d，
选图①，可得T1＝1，T3＝﹣3，
即有b1＝1，3×1+×3×2d＝﹣3，解得d＝﹣2，
则bn＝1﹣2（n﹣1）＝3﹣2n，
anbn＝（3﹣2n）•2n，
Rn＝1•2+（﹣1）•22+（﹣3）•23+…+（3﹣2n）•2n，
2Rn＝1•22+（﹣1）•23+（﹣3）•24+…+（3﹣2n）•2n+1，
两式相减可得﹣Rn＝2﹣2（22+23+…+2n）﹣（3﹣2n）•2n+1
＝2﹣2•﹣（3﹣2n）•2n+1，
化简可得Rn＝（5﹣2n）•2n+1﹣10；
选图②，可得T1＝1，T3＝6，
即有b1＝1，3×1+×3×2d＝6，解得d＝1，
则bn＝1+（n﹣1）＝n，
anbn＝n•2n，
Rn＝1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Rn＝1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
两式相减可得﹣Rn＝2+22+23+…+2n﹣n•2n+1
＝﹣n•2n+1，
化简可得Rn＝（n﹣1）•2n+1+2；
选图③，可得T1＝﹣3，T3＝0，
即有b1＝﹣3，3×（﹣3）+×3×2d＝0，解得d＝3，
则bn＝﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，
anbn＝（3n﹣6）•2n，
Rn＝（﹣3）•2+0•22+3•23+…+（3n﹣6）•2n，
2Rn＝（﹣3）•22+0•23+3•24+…+（3n﹣6）•2n+1，
两式相减可得﹣Rn＝﹣6+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣6）•2n+1
＝﹣6+3•﹣（3n﹣6）•2n+1，
化简可得Rn＝（3n﹣9）•2n+1+18．
20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）若a，b，c成等差数列，求cosB的值；
（2）是否存在△ABC满足B为直角？若存在，求sinA的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）若a，b，c成等差数列，
所以a+c＝2b，
由于．
所以cosB＝＝，
由于，
所以．
（2）假设B为直角，
则sinB＝1，
sinC＝cosA，
由于，
根据正弦定理（sinA+sinC）sinB＝，
即sinA+cosA＝，
上式两边平方得：，
所以（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0，
由于0＜sin2A≤1，
所以9sin2A+5＞0，4sin2A﹣5＜0，
与（9sin2A+5）（4sin2A﹣5）＝0矛盾，
故不存在△ABC满足B为直角．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是正三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝2，AB＝AD＝2．
（1）若PB＝3BE，求证：AE∥平面PCD；
（2）若PC＝4，求二面角A﹣PC﹣B的正弦值．

【解答】（1）证明：如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF．

因为PB＝3BE，所以E是PB的三等分点，可得．
因为AB＝AD＝2，，AC＝AC，所以△ABC≌△ADC，
因为BC⊥AB，所以∠ABC＝90°，
因为，所以∠ACB＝∠ACD＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为，所以∠AFB＝60°，所以AF∥CD，
因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD．
又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．
因为AF∩EF＝F，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD，所以AE∥平面PCD．
（2）解：因为△PAB是等边三角形，AB＝2，所以PB＝2．
又因为PC＝4，，所以PC2＝PB2+BC2，所以BC⊥PB．
又BC⊥AB，AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB＝B，所以BC⊥平面PAB．
因为BC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD．在平面PAB内作Bz⊥平面ABCD．
以B点为坐标原点，分别以BC，BA，Bz所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，
则，A（0，2，0），，
所以，，，．
设＝（x1，y1，z1）为平面BPC的法向量，则，即，
令z1＝﹣1，可得．
设＝（x2，y2，z2）为平面APC的法向量，则，即，
令z2＝1，可得．
所以．
则，所以二面角A﹣PC﹣B的正弦值为．
22．已知数列{an}满足：anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0，（n≥2，n∈N），a1＝1，前n项和为Sn的数列{bn}满足：b1＝1，bn＝（n≥2，n∈N），又cn＝（n≥2，n∈N）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：（n≥2，n∈N）．
解：（1）由条件得anan﹣1+2an﹣an﹣1＝0⇒an﹣1＝2an+anan﹣1，易知an≠0，两边同除以anan﹣1得，
又，故（n∈N*），
（2）因为：（n≥2，n∈N），
所以＝＝，
故只需证，
由条件＝＜＜＝（n≥2，n∈N）
一方面：当n＝2时
当n≥3，n∈N时，Sn＝b1+b2+…+bn＝，
另一方面：当n≥2，n∈N时，bn＞0所以Sn＝b1+b2+…+bn≥1+1＝2
所以当n≥2，n∈N时．