2021长沙望城区高二上学期期末考试数学试题含解析

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2020年下期普通高中期末质量调研检测高二数学班级：______ 姓名：_______ 准考证号：_________（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 2. 等差数列中，，，则公差等于( )A. 2 B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 4. 若双曲线实轴长为2，则其渐近线方程为( )A. B. C. D. 5. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 6. 设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件、C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 若对，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 椭圆（）上一点关于原点的对称点为，为椭圆的一个焦点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. D. 10. 已知函数，则（ ）A. 的最小值为4 B. 当时，有C. 当时，有 D. 当时，最小值是411. 已知曲线．则下列结论正确的是：（ ）A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上B. 若，则圆，其半径为C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为D. 若，则是两条直线12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B. x=1是函数g(x)的极小值点C 函数g(x)至多有两个零点 D. 当x≤0时，不等式 恒成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 抛物线上一点到点的距离等于3，则_________．14. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为__________.15. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________16. 已知为正实数，直线与曲线 相切，则的最小值为________.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数．（1）求在点处的切线；（2）求在区间上最大值和最小值．18. 条件①：设数列的前项之和为，且．条件②：对，有（为常数），，并且成等差数列．在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．在数列中，_____________．（1）求数列的通项公式；（2）记，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．19. 如图所示，在矩形中，，，是的中点，为的中点，以为折痕将向上折起，使点折到点，且.（1）求证: 面；（2）求与面所成角的正弦值.20. 某商家耗资4500万元购进一批（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.(1)求盈利额（万元）与使用年数之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？21. 已知四点中恰有三点在椭圆上，其中．（1）求的值；（2）若直线过定点且与椭圆交于两点（与轴不重合），点关于轴的对称点为点．探究：直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．22. 已知函数．（1）讨论函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高二数学（解析版）班级：______ 姓名：_______ 准考证号：_________（全卷满分：150分，考试用时：120分钟）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过反例、不等式的性质可依次判断各个选项即可.【详解】选项A. 当时，，故选项A不正确.由，则，所以成立，故选项B正确. 选项C不正确.选项D 当时，，所以，故选项D不正确.故选：B2. 等差数列中，，，则公差等于( )A. 2 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由等差数列的性质，构建方程，解得答案.【详解】由等差数列的性质可知：所以.故选：A【点睛】本题考查等差数列的基本性质，属于基础题.3. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论【详解】解：命题“”的否定为“”，故选：C4. 若双曲线的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线性质得a，表示双曲线标准方程，表示渐近线方程即可.【详解】因为实轴长为2，所以，所以双曲线为所以渐近线方程为.故选：D【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及实轴和求渐近线方程，属于基础题.5. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解法，求得集合，，结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，根据集合交集概念与运算，可得.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合，结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查运算求解能力，属于基础题.6. 设｛an｝是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件、C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】【详解】或，所以数列｛an｝是递增数列若数列{an}是递增数列，则“a1＜a2＜a3”，因此“a1＜a2＜a3”是数列｛an｝是递增数列的充分必要条件，选C7. 若对，都有成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先利用基本不等式得到，再根据题意得到，解不等式即可.【详解】令，，，因为，所以，当即时取等号，又因为，都有，所以即可.由得，即，，所以，解得或.故选：B.【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8. 椭圆（）上一点关于原点的对称点为，为椭圆的一个焦点，若，且，则该椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】是另一个焦点，由对称性知是平行四边形，从而得是矩形．，在直角三角形中用表示出两直角边，再上椭圆定义得的等式，求得离心率．【详解】如图，是另一个焦点，由对称性知是平行四边形，∵，∴，∴是矩形．，∴，∴，，∴，∴．故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点后形成一个平行四边形，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出的关系．求出离心率．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 在公比为等比数列中，是数列前n项和，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. 数列是等比数列C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.【详解】因为，所以有，因此选项A正确；因为，所以，因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；，因为当时，，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.10. 已知函数，则（ ）A. 的最小值为4 B. 当时，有C. 当时，有 D. 当时，的最小值是4【答案】BC【解析】【分析】由均值不等式以及以能取等的条件对每一选项进行逐一判断即可.【详解】选项A. 当时，,则的最小值不为4，所以选项A不正确.选项B. 当时, 当且仅当，即时取得等号，所以，故选项B正确.选项C. 当时, 当且仅当，即时取得等号，所以，故选项C正确.选项D. 当时, 当且仅当，即时取得等号，所以等号不成立，即，故选项D错误.故选：BC【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.11. 已知曲线．则下列结论正确的是：（ ）A. 若，则是椭圆，其焦点在轴上B. 若，则是圆，其半径为C. 若，则是双曲线，其渐近线方程为D. 若，则是两条直线【答案】ACD【解析】【分析】选项A. 当时，曲线，则表示焦点在轴上的椭圆；选项B.当时，曲线可判断；选项C.若，则是双曲线,由，可得可判断. 选项D. .当，时，曲线可判断；【详解】选项A. 当时，曲线，可化为，由，则，则表示焦点在轴上的椭圆，故A正确.选项B. 当时，曲线，表示半径为的圆，故B不正确选项C. 若，则是双曲线,由，可得所以渐近线方程为，故C正确选项D. 当，时，曲线，即，表示两条直线，故D正确故选：ACD12. 已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=1，其导函数满足，对于函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数g(x)在(1，+∞)上为单调递增函数 B. x=1是函数g(x)的极小值点C. 函数g(x)至多有两个零点 D. 当x≤0时，不等式 恒成立【答案】ABC【解析】【分析】对函数求导,利用可得的正负，即函数的单调性，判断出选项AB；讨论的符号，结合单调性得出函数的零点个数，判断出选项C；利用在的单调性和最值，判断出选项D．【详解】函数，则，当时，，故在单调递增，A正确；当时，，故在单调递减，故x=1是函数g(x)的极小值点，B正确；若，则有两个零点，若，则有一个零点，若，则没有零点，故C正确；在单调递减，则在单调递减，，可知时，，故，即，D错误；故选：ABC【点睛】本题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性和极值，判断函数的零点个数，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 抛物线上一点到点的距离等于3，则_________．【答案】2【解析】【分析】由抛物线的定义可得，从而可得答案.【详解】14. 十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年（公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为__________.【答案】【解析】【分析】根据等比数列的通项公式即可先求出公比的关系式，再根据等比数列的通项公式可知即可求出．【详解】由题意设这13个数组成依次递增的等比数列为，满足，，即有．故答案为：．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于容易题．15. 已知是直线的方向向量，是平面的法向量，如果，则________________【答案】6【解析】【分析】由平面法向量与平面垂线的方向向量平行可得．【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：6．16. 已知为正实数，直线与曲线 相切，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】直线与曲线相切，则切点在直线与曲线上，且切点处的导数相等，求出，的关系，再利用基本不等式求所求分式的最值．【详解】解：由得；由得；因为直线与曲线相切，令，则可得，代入得；所以切点为．则，所以．故，当且仅当时等号成立，此时取得最小值2．故答案为：．【点睛】本题主要考查导数的意义及基本不等式的综合应用．关于直线与曲线相切，求未知参数的问题，一般有以下几步：1、分别求直线与曲线的导函数；2、令两导数相等，求切点横坐标；3、代入两方程求参数关系或值，属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 已知函数．（1）求在点处的切线；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）18，．【解析】【分析】（1）求出导函数，再求出，用点斜式方程写出直线方程即可.（2）求出的极大值和极小值，跟端点值进行比较，得出最大值和最小值.【详解】（1），则则，故切线为，即 （2）当时，当时，在上单调递减，在上单调递增在区间上的最大值和最小值分别是18，．【点睛】求函数最值和值域的常用方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．18. 条件①：设数列的前项之和为，且．条件②：对，有（为常数），，并且成等差数列．在以上两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．在数列中，_____________．（1）求数列的通项公式；（2）记，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．【答案】（1）条件性选择见解析，；（2）【解析】【分析】（1）若选条件①，则得，，再利用可求得；若选条件②，则数列是公比为的等比数列，再由已知条件可得，，可求出，进而可求出 ；（2）利用错位相减法求和即可【详解】选条件①，由得 当时，， 又 ∴数列的通项公式为 选条件②，（1）知数列是公比为的等比数列， 且由已知可得：即: 解得（舍去） （2） （或）19. 如图所示，在矩形中，，，是的中点，为的中点，以为折痕将向上折起，使点折到点，且.（1）求证: 面；（2）求与面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到，进而证得面；（2）分别以、、为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）由题意，可得，，则，取的中点，连，，可得，所以，因为，，且，所以平面，又因为平面，所以.又由与为相交直线，所以平面.（2）作交于，可知，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，可得，，，设平面的法向量为，则，令，可得平面的一个法向量为，又由，所以与面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 某商家耗资4500万元购进一批（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元.(1)求盈利额（万元）与使用年数之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？【答案】（1）；（2）15年；2020万元.【解析】【分析】（1）由等差数列求和公式表示总保养费，再由盈利额等于总收入减去总保养费再减去购买设备的资金构建关系式；（2）表示年平均盈利额的表达式，利用基本不等式求最值，得答案.【详解】（1）由题可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列形式，所以年的总保养费万元，年的总收入为万元，所以盈利额故关系式为；（2）由（1）可知年平均盈利额由基本不等式可知，当且仅当时取等号，所以故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元.【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据实际构建函数模型，其中涉及等差数列求和，基本不等式求最值，属于较难题.21. 已知四点中恰有三点在椭圆上，其中．（1）求的值；（2）若直线过定点且与椭圆交于两点（与轴不重合），点关于轴的对称点为点．探究：直线是否过定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）直线过定点．【解析】【分析】（1）由于关于原点对称，从而可得和在椭圆上，然后将这些点的坐标代入椭圆方程中可求出的值；（2）由题意可知直线的斜率存在，则设直线为，与椭圆方程联立成方程组，消去，得，再由根与系数的关系得，而直线方程为，代入化简可得答案【详解】因为关于原点对称，由题意得和在椭圆上，将的坐标代入得：解得： （2）显然，与轴不垂直，设的方程为： 设，则且 直线方程为 令，得，故直线过定点．【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出直线的方程为：，与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得，进而可得方程为化简可得答案，属于中档题22. 已知函数．（1）讨论函数的单调区间及极值；（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．【答案】（1）函数在上为增函数，在为减函数，有极小值，无极大值；（2）2.【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数求导得，然后分和判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值；（2）恒成立，转化为恒成立，然后构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可【详解】解：（1）由得的定义域为，且 ①当时，恒成立，∴在上是减函数，无极值；②当时，令，得，令，得所以函数在上为增函数，在为减函数，且当时，有极小值，无极大值． （2）恒成立，即恒成立， 令，则 令显然是增函数，且 ，使即且当时，时， 在上是增函数，在上是减函数∴当时，有最大值 所以整数的最小值为2【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的单调区间和极值，利用导数解决恒成立问题，第2问解题的关键是恒成立，转化为恒成立，然后构造函数，再利用导数求函数的最值，此题考查数学转化思想，属于较难题