2021汕头达濠华侨中学高二上学期期末考试数学试题含答案

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广东省汕头市达濠华侨中学2020至2021学年度第一学期高二期末考试试卷数学本试卷满分150分，考试用时120分钟单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分1．已知集合，集合，则（ ）A． B． C． D．2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱3．双曲线：的顶点到其渐近线的距离等于( )。A、 B、 C、 D、4．已知、、、成等差数列，、、、、成等比数列，则（ ）A． B． C． D．5.已知过点的直线l与圆C：相切，且与直线垂直，则实数的值为（ ）A．4 B．2 C． D．6．已知椭圆的两个焦点分别为，，点在椭圆上且，则的面积是（ ）A． B． C． D．17．如图所示是一个正方体的表面展开图，，，均为棱的中点，是顶点，则在正方体中异面直线和所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．8．已知点是双曲线：(，)的左焦点，点是右顶点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则双曲线的离心率的的取值范围是( )。A、 B、 C、 D、多选题（本题共4小题，每小题全选对5分，选错不得分，选漏可得3分）9．点P在圆：上，点Q在圆：上，则（　　）A．|PQ|的最小值为0 B．|PQ|的最大值为7 C．两个圆心所在的直线斜率为 D．两个圆相交弦所在直线的方程为已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么11．若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中错误的是（ ）A．若，则C为椭圆B．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则C．曲线C可能是圆D．若C为双曲线，则12.如图，线段为圆的直径，点在圆上，，矩形，和圆所在平面垂直，且，则下述正确的是（ ）A．B．C．点到平面的距离为D．三棱锥外接球的体积为填空题（本题共4小题，每小题5分，其中13题答对一空得3分，全对得5分）13．设直线，直线．当 时，；当 　时，．14. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数关系，则______.15．矩形中，,沿将矩形折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的体积为_____________.16．已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点 在椭圆上运动时，的最大值为__________．三、解答题（本题共6小题）17．（本题满分10分）在中，．（1）求；（2）若，求的面积。18．（本题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.19．（本题满分12分）如图，在三棱柱中，，是的中点．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角为45°？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）已知圆经过点，且圆心在直线上，直线与圆相切．（1）求圆的方程；（2）已知斜率为的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．21．（本题满分12分)如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.（本题满分12分）椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，右焦点的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线，与椭圆交于两点，若，求的取值范围．广东省汕头市达濠华侨中学2020至2021学年度第一学期高二期末联考试卷数学本试卷满分150分，考试用时120分钟单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分多选题填空题13．　﹣1　；　 14. 15. 16.10四、解答题17．（12分）在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，…………2分因为sinA≠0，所以，…………3分所以tanB，因为0＜B＜π，所以，…………5分（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，…………8分所以．…………10分18、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝24，S7＝63.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)∵{an}为等差数列，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(S4＝4a1＋\f(4×3,2)d＝24，,S7＝7a1＋\f(7×6,2)d＝63，))…………3分解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1＝3，,d＝2，))…………5分∴an＝2n＋1…………6分.(2)∵bn＝＋an＝22n＋1＋(2n＋1)＝2×4n＋(2n＋1)，…………7分 ∴Tn＝2×(4＋42＋…＋4n)＋(3＋5＋…＋2n＋1)…………8分 ＝2×eq \f(41－4n,1－4)＋eq \f(n3＋2n＋1,2)…………11分 ＝eq \f(8,3)(4n－1)＋n2＋2n.…………12分19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E是CC1的中点．（1）求直线AB与平面A1BE所成角的正弦值；（2）在棱CC1上是否存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（4，0，0），B（0，4，0），E（0，0，2），A1（4，0，4），……1分∴＝（﹣4，4，0），＝（4，0，2），＝（0，4，﹣2），……2分设平面A1BE的法向量＝（x，y，z），则，即，令x＝1，得＝（1，﹣1，﹣2），…………4分∴cos＜，＞＝＝＝﹣，∴直线AB与平面A1BE所成角的正弦值为．…………6分（2）假设在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°，设P（0，0，c），0≤c≤4，…………7分则＝（4，0，﹣c），设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则，即，取x＝c，则＝（c，c，4），…………8分由（1）知平面A1BE的法向量为＝（1，﹣1，﹣2），∴|cos＜，＞|＝＝＝，解得c＝＜4，…………11分∴在棱CC1上存在一点P，使得平面PAB与平面A1BE所成二面角为45°，P点坐标为（0，0，）．…………12分20.已知圆经过点，且圆心在直线上，直线与圆相切．（1）求圆的方程；（2）已知斜率为的直线经过原点，求直线被圆截得的弦长．解：（1）设圆心的坐标为，…………1分则 …………2分化简，得，解得，所以，…………4分半径， …………6分所以圆的方程为…………7分（2）直线的方程为，设圆心到直线的距离为，…………8分则，…………10分 设弦长为，得，………………11分所以直线被圆截得的弦长为．…………12分21．如图，四棱锥中，，，，是中点，平面.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【详解】（1）证明：∵，，∴，即，，∵，∴，∵，∴，∴，…………3分∵平面，∴，…………4分∵，，平面，…………5分∴平面，∵平面，…………6分∴平面平面.…………7分（2）以为坐标原点，以过点且平行于的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由，，知，…………8分则，，，，设平面的法向量为，则，即，令，可得，…………9分设平面的法向量为，则，即，令，可得，…………10分∴，…………11分则二面角的正弦值为.…………12分22．椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围．21．解：（I）由已知，；,故椭圆C的方程为…………3分（II）设…………4分则A、B坐标是方程组的解．消去，…………6分则， …………7分…………9分…………11分所以k的取值范围是 …………12分题号12345678答案CBCDDDBA题号9101112答案BCABADABC