专题08 绝对值-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题08 绝对值

1.能说出一个数的绝对值的意义.
2.会求已知数的绝对值.
3.知道的含义.

1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．

【题型一】 绝对值的概念与意义
【解题技巧】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
【典题1】（2022·四川遂宁·七年级期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（       ）
A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零
【答案】D
【分析】直接根据绝对值的意义求解．
【详解】解：∵一个数的绝对值等于这个数的相反数，∴这个数为零或负数．故选：D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，解决本题的关键是熟记负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0．
【典题2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）的绝对值为（       ）
A．2022 B．2022或 C． D．
【答案】A
【分析】数轴上表示数a的点与原点的距离是数a的绝对值，根据定义直接求解即可.
【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A正确．故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键．
【变式练习】
1．（2022·湖北襄阳·七年级期末）已知|a|＝8，|a|>a，则a等于_________．
【答案】－8
【分析】根据|a|＝8得到a=±8，再由|a|>a，知道a < 0，即可得解．
【详解】解：∵|a|＝8∴a=±8 又∵|a|>a∴a < 0∴a=－8故答案为：－8
【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的求法是解答本题的关键．
2.（2021•郯城县期中）下列说法错误的个数是（　　）
①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；
③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】①一个数的绝对值的相反数一定是负数．反例：当这个数是0时，结果还是0不是负数，所以错误；②只有负数的绝对值是它的相反数．反例：当这个数是0时，结果还是0也是0的相反数，所以错误；③正数和零的绝对值都等于它本身．由绝对值性质可知，正确；④互为相反数的两个数的绝对值相等．正确．所以错误的有2个．
【解答】解：根据绝对值的性质和相反数的概念，得①，②错误；③，④正确．故选：B．
【点评】主要考查了绝对值，相反数的性质和定义．本题中要特别注意一些特殊的数字，如0，有时该数是最后的反例．

【题型二】 绝对值方程
【解题技巧】根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
【典题1】（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解是或．
(1)利用上述方法解方程：．
(2)当满足什么条件时，关于的方程，①无解；②只有一个解；③有两个解．
【答案】(1)或 (2)①当无解时，；②当只有一个解时，；当有两个解时，
【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；
（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．
(1)当3x-2≥0时，原方程可化为：3x-2=4，解得x=2；
当3x-2＜0时，原方程可化为：3x-2=-4，解得．
所以原方程的解是x=2或；
(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；
②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；
③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．
【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
【典题2】（2021·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）已知|2x-1|=7，则x的值为（　　　）
A．x=4或x=-3 B．x=4 C．x=3或-4 D．x=-3
【答案】A
【分析】根据题意得2x-1=±7，从而解方程即可得出x的值．
【详解】解：∵|2x-1|=7，∴2x-1=±7，
∴当2x-1=7时，x=4; 当2x-1=﹣7时，x=-3．∴x=4或﹣3故选：A．
【点睛】此题考查了解含有绝对值的方程，解题的关键是掌握对绝对值的意义．当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零．
【变式练习】
1. （2021·江苏镇江市·七年级期末）若，则 x的值为_______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义计算．
【详解】解：∵|−x|=5，∴|x|=5，∴x=±5，故答案为±5 ．　
【点睛】本题考查绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．　　　
2．（2021·内蒙古自治区初一期末）已知，则的值为( )
A．6 B．-4 C．6或-4 D．-6或4
【答案】C
【分析】本题根据绝对值的定义,由已知,可得a-1= ±5,解这个关于a的方程即可求得a的值.
【解析】因为，
当a-1大于0时，则a-1=5，则a=6，
当a-1小于0时，则a-1= -5，则a= -4, 故选C.
【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等．

【题型三】 绝对值的化简求值
【解题技巧】绝对值化简步骤：
①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
【典题1】（2021·江西宜春市·七年级期末）已知有理数，在数轴上对应的点如图所示．

（1）当，时，求的值；
（2）化简：．
【答案】（1）1；（2）1
【分析】（1）先代入数值，再根据绝对值的代数意义化简求解即可；
（2）根据绝对值的代数意义、去括号、合并即可得到结果．
【详解】（1）当，时
原式
（2）根据如图所示数轴上点的位置可知：，
∴，，，，
原式
【点睛】此题考查了整式的加减、数轴、以及绝对值，解题的关键是熟练掌握各自的定义．
【典题2】（2021·泰州市姜堰区中学初一期中）已知化简：=__________．
【答案】-a-3b-c
【分析】先确定a、b、c的正负，然后再去绝对值，最后化简求值即可.
【解析】∵ ∴a≤0，b＜0，c≥0 ∴a+2b＜0，c-a＞0，-b-a＞0
∴=-（a+2b）-（c-a）+（-b-a）=-a-2b-c+a-b-a=-a-3b-c
故答案为-a-3b-c.
【点睛】本题考查了绝对值的相关知识，牢记非负数得绝对值是它本身，负数的绝对值为其相反数，是解答本题的关键.
【变式练习】
1.（2021•成都校级期中）化简|π﹣4|+|3﹣π|＝　 　．
【分析】因为π≈3.414，所以π﹣4＜0，3﹣π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π﹣4|+|3﹣π|．
【解答】解：∵π≈3.414，∴π﹣4＜0，3﹣π＜0，
∴|π﹣4|+|3﹣π|＝4﹣π+π﹣3＝1．故答案为1．
【点评】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，比较简单．
2.（2022•澧县校级期中）若﹣1＜x＜4，化简|x+1|+|4﹣x|．
【分析】利用绝对值的非负性解答即可．
【解答】解：∵﹣1＜x＜4，∴|x+1|+|4﹣x|＝1+x+4﹣x＝5．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，利用绝对值的非负性去掉绝对值符号是解此题的关键．

【题型四】 绝对值的非负性
【解题技巧】根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若a+b=0，则a=0且b=0．
【典题1】（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后相加即可的解．
【详解】解：∵与互为相反数，∴+＝0，
∴，，解得：，，∴ 故选：B
【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
【典题2】（2022·浙江初一课时练习）若|x＋1|＋|y－2|＝0，则x－y＝________．
【答案】－3
【解析】由|x+1|+|y﹣2|=0，得
x+1=0，y﹣2=0，解得x=﹣1，y=2．
x﹣y=﹣1﹣2=﹣1+（﹣2）=﹣3，故答案为﹣3．
点睛：本题利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．
【变式练习】
1.（2022•达孜区期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则12（x+y）的值为 　．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣4＝0，5﹣y＝0，解得x＝4，y＝5，
所以，12（x+y）=12×（4+5）=92，故答案为：92．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2.（2021•江岸区校级月考）若|2x﹣4|与|y﹣3|互为相反数，求3x﹣y的值．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，|2x﹣4|+|y﹣3|＝0，所以，2x﹣4＝0，y﹣3＝0，解得x＝2，y＝3，
则3x﹣y＝3×2﹣3＝3．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．

【题型五】 有理数大小比较
【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
【典题1】（2021·临沂七年级月考）比较大小：+_________-； _________
【答案】
【分析】分别对第一组中的两个数化简，然后进行比较即可；第二组数据利用负数的大小的比较的方法进行比较即可．
【详解】，
， ，即；
， ，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，掌握负数的大小的比较方法是关键．
【典题2】（2021·山东潍坊市·九年级一模）如图，数轴上的，，三点所表示的数分别为，，，且原点为，根据图中各点位置，下列数值最大的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴，确定a,b,c的属性，进行绝对值的化简，利用实数大小比较原则判断即可．
【详解】根据题意，得b＜c＜0＜a，且|b|＞|c|＞|a|＞c＞b，
∵b＜0∴|b|=-b，|a|=a,∴-b＞|c|＞a＞c＞b，∴-b最大，故选D．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，绝对值的化简，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值及其化简，灵活运用有理数大小比较的基本原则是解题的关键．
【变式练习】
1．（2022·山东临沂·七年级期末）已知，，，那么下列关系正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，，，可得，，，据此判定即可得到答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，，∴．故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较法则：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数大小比较的法则是关键．
2．（2022·河南周口·七年级期末）下列四个有理数中，最小的数是(     )
A． B．-0.2 C．-20 D．0
【答案】C
【分析】根据有理数大小比较法则解答．
【详解】解：∵，，，
∵正数＞零＞负数，且，∴．∴最小的数是．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数大小比较法则：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小．

【题型六】 绝对值的几何意义
【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
【典题1】（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离
【分析】利用绝对值的意义即可求解．
【详解】解：因为，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，
所以式子在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
【典题2】（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：

（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则

（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则

（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则

回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．
【答案】(1)(2)8(3)，(4)7
【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可；
（3）根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可．
(1)解：综上所述，数轴上两点A和B之间的距离；故答案为：；
(2)解：数轴上表示3和的两点A和B之间的距离；故答案为：8；
(3)解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离
如果，∴，∴或，
解得或，则的值为-2或-8；故答案为；-2或-8；
(4)解若代数式有最小值，的值即为-5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2−（−5）|＝7，则最小值为7．故答案为7．
【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【变式练习】
1.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
【答案】4
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于-1和3之间时，|x-3|+|x+1|取得最小值，即为数轴上-1和3之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-3|+|x+1|表示数轴上数x与3和数x与-1对应的点之间的距离之和，
∴当-1≤x≤3时，代数式|x-3|+|x+1|有最小值，最小值为3-x+x+1=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．
2.（2021•随州校级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是　 　．
【分析】（1）3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4；
（2）利用数轴解决：把|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，然后根据数轴可写出满足条件的整数x．
【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝4；
（2）式子|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，所以满足条件的整数x可为﹣1，0，1，2，3．
故答案为4；﹣1，0，1，2，3．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了数轴．


















1．（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，则最接近标准质量的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可．
【详解】解：∵|−0.7|