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人教版数学小升初暑假衔接 专题08 绝对值（原卷版+解析版）
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这是一份人教版数学小升初暑假衔接 专题08 绝对值（原卷版+解析版），文件包含人教版数学小升初暑假衔接专题08绝对值解析版docx、人教版数学小升初暑假衔接专题08绝对值原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共57页， 欢迎下载使用。
专题08 绝对值
1.理解并掌握绝对值的代数意义和几何意义；
2.会求已知数的绝对值；能解含绝对值的方程；
3.能利用绝对值的意义求最值。
【思考2】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？
【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系?
1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．
考点1、绝对值的概念与意义
【解题技巧】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
例1．（2023·江苏南通·统考二模）（ ）
A． B． C． D．2
例2．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（ ）
A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边
例3．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数
C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数
变式1．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的绝对值是( )；绝对值等于8的数是( )．
变式2．（2023·四川广安·统考二模）的绝对值的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
变式3．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
变式4．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（ ）
A． B．0 C．1 D．取任何负数
考点2、绝对值方程
【解题技巧】根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
例1．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知，则_____．
例2．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得；
所以原方程的解是或．
(1)解方程：．
(2)当为何值时，关于的方程．①无解；②只有一个解；③有两个解．
变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）若，则的值为_____．
变式2．（2022春·河北承德·七年级统考期中）数轴上，表示与2的点之间的距离是，表示与的点之间的距离是，即数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差，若不知道数轴上两数的大小，则表示数与的点之间的距离可以表示为，利用上述结论解决如下问题．
若，求的值．
考点3、绝对值的化简求值
【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
例1．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（ ）
A． B． C．4 D．-2
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______；
(2)化简：．
变式1．（2023·河南焦作·七年级校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且
(1)若，求a的值．(2)用“”把a，，b，c连按越来．
变式2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；(2)化简：．
考点4、绝对值的非负性
【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．（2）。
例1.（2023·绵阳市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
例2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）代数式的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023秋·甘肃酒泉·七年级统考期末）若，则 _______．
考点5、有理数大小比较
【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
例1．（2023·山东聊城·统考二模）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·重庆九龙坡·一模）在，，0，8，这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．8
变式2．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点B与C之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A D．点A与B之间，靠近点B
考点6、绝对值的实际应用
【解题技巧】常见三种应用：
1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；
2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；
3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河南·商丘市七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：
下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
变式1．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为mm，第三个为mm，第四个为0.15mm，则质量最好的零件为（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
变式2．（2022·浙江·七年级专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
考点7、绝对值的几何意义
【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：
（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则
（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则
（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则
回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．
变式1.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
变式2.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是 ．
变式3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________.
A级（基础过关）
1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）的相反数（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）、、、四个点在数轴上的位置如图所示，则这四个点表示的四个数中绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·四川眉山·七年级校考期中）下列说法正确的有（ ）
①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数比较，绝对值大的反而小．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·重庆初三模拟）下列命题正确的是（ ）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
6．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_____．
7．（2022秋·新疆阿克苏·七年级统考期中）的最小值是______．
8．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知有理数、、，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是 ______ ．
9．（2022秋·广东揭阳·七年级统考期末）若，则______．
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如果，那么_____．
11．（2023秋·广东云浮·七年级校考期末）比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
12．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．(2)化简：．
13．（2022秋·浙江台州·七年级统考期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
14．（2022秋·山西·七年级统考期末）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对距离”为d，例如，，则2和3关于1的“相对距离”为3．
(1)和4关于1的“相对距离”为________．(2)若a和5关于2的“相对距离”为6，求a的值．
B级（能力提升）
1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）若，则a的值可以是（ ）
A．5 B．3 C．1 D．
2．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）若，则和的关系为（ ）
A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对
3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）若是有理数，则的值（ ）
A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定
4．（2023·广东广州·统考一模）已知，则下列结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020秋·河南郑州·七年级校考期中）当______时，有最值，最值是__________________．
6．（2022·四川达州·七年级校考期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则______．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 ．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
8．（2022春·山东七年级期中）阅读以下例题：解方程：，
解：①当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；
②当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；
③当，即时，原方程可化为，不成立，此时方程无解．
所以原方程的解是或．
(1)仿照例题解方程：．
(2)探究：当b为何值时，方程满足：①无解；②只有一个解；③有两个解．
9．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c
给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．
(1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点 是点A，C的双倍绝对点；(2)点B为点A，C的双倍绝对点①，，求b的值；②，，求c的值．
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）小张、小潘、小王和小昊住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去．
(1)从数轴看，点C表示的数是 ，点D表示的数是 ．
(2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小昊后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来．
(3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？
(4)触类旁通：的最小值是 ．（直接写出答案）
11．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使成立的的值为或；②若，则；
③式子的最小值是；④式子的最大值是．
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）若a为有理数，则表示的数是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
3．（2023春·浙江·七年级期末）方程的整数解共有（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．2022
4．（2022秋·重庆江津·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为_________．
6．（2022秋·福建泉州·七年级校联考期中）已知，则的最大值是________．最小值是________．
7．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：
(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②
8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________；(2)①若，则x=___________；
②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________；
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
(3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合；
(4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和 ___________表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________；
【拓展】(5)若，则x=___________．
9．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________；(2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________；
(3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________．
(4)拓展：的最小值是：___________．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；(2)的最大值是 ．（请直接写出结果）
11．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是______，点C表示的数是______．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字______重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则的最小值＝______．
②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______．
③当x＝______时，取最小值．
④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围______．
⑤若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：______，N：______．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上有两个点A,B,分别用a，b表示，那么A,B两点间的距离为，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和﹣1的两点A．B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x的值为 ；
(3)求|x﹣3|+|x+5|的最小值是： ．(4)若|x﹣3|＝|x+5|，则x＝ ．若|x﹣3|＝3|x+5|，则x＝ ．
专题08 绝对值
1.理解并掌握绝对值的代数意义和几何意义；
2.会求已知数的绝对值；能解含绝对值的方程；
3.能利用绝对值的意义求最值。
【思考2】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？
【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系?
1.绝对值
1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．
2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离．
3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么．
可整理为：，或，或
4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：
2.有理数的比较大小
1）两个负数，绝对值大的反而小．
2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．
3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ；
③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；
⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．
考点1、绝对值的概念与意义
【解题技巧】一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作a.
例1．（2023·江苏南通·统考二模）（ ）
A． B． C． D．2
例2．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（ ）
A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边
例3．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（ ）
A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数
C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数
变式1．（2023·四川遂宁·七年级校考阶段练习）的绝对值是( )；绝对值等于8的数是( )．
变式2．（2023·四川广安·统考二模）的绝对值的相反数是（ ）
A．2023 B． C． D．
变式3．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
变式4．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（ ）
A． B．0 C．1 D．取任何负数
考点2、绝对值方程
【解题技巧】根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。
例1．（2022秋·广东东莞·七年级校考阶段练习）已知，则_____．
例2．（2022秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：．
解：当时，原方程可化为，解得；
当时，原方程可化为，解得；
所以原方程的解是或．
(1)解方程：．
(2)当为何值时，关于的方程．①无解；②只有一个解；③有两个解．
变式1．（2022秋·广东广州·七年级校考阶段练习）若，则的值为_____．
变式2．（2022春·河北承德·七年级统考期中）数轴上，表示与2的点之间的距离是，表示与的点之间的距离是，即数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差，若不知道数轴上两数的大小，则表示数与的点之间的距离可以表示为，利用上述结论解决如下问题．
若，求的值．
考点3、绝对值的化简求值
【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）.③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号.④化简.
注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。
例1．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（ ）
A． B． C．4 D．-2
例2．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图：
(1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______；
(2)化简：．
变式1．（2023·河南焦作·七年级校考期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且
(1)若，求a的值．(2)用“”把a，，b，c连按越来．
变式2．（2023秋·海南·七年级统考期末）已知有理数，，，且．
(1)在如图所示的数轴上将a，b，c三个数表示出来；(2)化简：．
考点4、绝对值的非负性
【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且b=0．（2）。
例1.（2023·绵阳市·九年级一模）若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
例2．（2022秋·云南楚雄·七年级校考阶段练习）对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023秋·贵州安顺·九年级统考期末）代数式的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．（2023秋·甘肃酒泉·七年级统考期末）若，则 _______．
考点5、有理数大小比较
【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小．
例1．（2023·山东聊城·统考二模）有理数，，0，中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．
例2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2023·重庆九龙坡·一模）在，，0，8，这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C．0 D．8
变式2．（2022秋·浙江·七年级统考开学考试）下列两数比较大小，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2022秋·安徽蚌埠·七年级校考阶段练习）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，其中A，B两点间的距离与B，C两点间的距离相等，如果，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点B与C之间，靠近点B
C．点A与B之间，靠近点A D．点A与B之间，靠近点B
考点6、绝对值的实际应用
【解题技巧】常见三种应用：
1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准；
2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关；
3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。
例1．（2023秋·河北廊坊·七年级校考期末）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2022·河南·商丘市七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：
下午，小明到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？
变式1．（2022秋·山东青岛·七年级校考阶段练习）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个，结果如下：第一个为0.13mm，第二个为mm，第三个为mm，第四个为0.15mm，则质量最好的零件为（ ）
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
变式2．（2022·浙江·七年级专题练习）一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻?
考点7、绝对值的几何意义
【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离
（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。
注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。
例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______．
例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时：
（1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则
（2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则
（3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则
回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________．
(2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________．
(3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________．
(4)若代数式有最小值，则最小值为_______________．
变式1.（2022·河南安阳·七年级期末）若x为任意有理数，表示在数轴上x表示的点到原点的距离，表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则的最小值为________．
变式2.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝ ．
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是 ．
变式3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________.
A级（基础过关）
1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广东深圳·七年级校考期末）的相反数（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）、、、四个点在数轴上的位置如图所示，则这四个点表示的四个数中绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·四川眉山·七年级校考期中）下列说法正确的有（ ）
①0是绝对值最小的有理数；②相反数大于本身的数是负数；③数轴上原点两侧的数互为相反数；④两个数比较，绝对值大的反而小．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2022·重庆初三模拟）下列命题正确的是（ ）
A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数
C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数
6．（2023秋·湖南株洲·七年级统考期末）已知有理数，在数轴上的位置如图所示，则将有理数，1，按从小到大的顺序用“＜”连接起来是_____．
7．（2022秋·新疆阿克苏·七年级统考期中）的最小值是______．
8．（2023秋·四川成都·七年级统考期末）已知有理数、、，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简后的结果是 ______ ．
9．（2022秋·广东揭阳·七年级统考期末）若，则______．
10．（2023·湖南长沙·校联考二模）如果，那么_____．
11．（2023秋·广东云浮·七年级校考期末）比较大小：_________．（填“>”“<”或“=”）
12．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，所对应的点分别为，，．
(1)填空：，之间的距离为______，，之间的距离为______．(2)化简：．
13．（2022秋·浙江台州·七年级统考期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，，
（2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示：
①在数轴上分别表示出数， ，②把，，，这四个数从小到大用“”号连接．
14．（2022秋·山西·七年级统考期末）对于有理数a，b，n，d，若，则称a和b关于n的“相对距离”为d，例如，，则2和3关于1的“相对距离”为3．
(1)和4关于1的“相对距离”为________．(2)若a和5关于2的“相对距离”为6，求a的值．
B级（能力提升）
1．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）若，则a的值可以是（ ）
A．5 B．3 C．1 D．
2．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）若，则和的关系为（ ）
A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对
3．（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）若是有理数，则的值（ ）
A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定
4．（2023·广东广州·统考一模）已知，则下列结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020秋·河南郑州·七年级校考期中）当______时，有最值，最值是__________________．
6．（2022·四川达州·七年级校考期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则______．
7．（2022秋·浙江·七年级专题练习）问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究：
（1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 ；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 ．
问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值．
问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？
8．（2022春·山东七年级期中）阅读以下例题：解方程：，
解：①当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；
②当时，原方程可化为一元一次方程，解这个方程得；
③当，即时，原方程可化为，不成立，此时方程无解．
所以原方程的解是或．
(1)仿照例题解方程：．
(2)探究：当b为何值时，方程满足：①无解；②只有一个解；③有两个解．
9．（2022秋·辽宁抚顺·七年级统考期中）阅读材料：小兰在学习数轴时发现：若点M，N表示的数分别为，3，则线段的长度可以这样计算或，那么当点M，N表示的数分别为m，n时，线段的长度可以表示为或．请你参考小兰的发现，解决下面的问题．
在数轴上，点A，B，C分别表示数a，b，c
给出如下定义：若，则称点B为点A，C的双倍绝对点．
(1)如图1， ，，点D，E，F在数轴上分别表示数，5，6，在这三个点中，点 是点A，C的双倍绝对点；(2)点B为点A，C的双倍绝对点①，，求b的值；②，，求c的值．
10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）小张、小潘、小王和小昊住在同一条东西走向的街上，分别记为A、B、C和D四点，规定向东为正，以B为原点画成如下图所示的数轴．“十一”假期，他们准备结伴去温州乐园，现有网约车来载他们去．
(1)从数轴看，点C表示的数是 ，点D表示的数是 ．
(2)如果网约车从原点出发，依次接上小潘、小王和小昊后，再向西行驶2000个单位长度接到小张．请问小张家的位置在数轴上表示的数是多少？并将其在数轴上表示出来．
(3)如果网约车先接小张、小潘和小王，车应停在哪里使他们三人走的路程之和最小？最小路程是多少？
(4)触类旁通：的最小值是 ．（直接写出答案）
11．（2022秋·江苏·七年级期末）如图，数轴上有点a，b，c三点．
（1）用“<”将a，b，c连接起来．（2）b－a______0（填“<”“>”，“＝”）；
（3）化简|c－b|－|c－a|＋|a－1|；（4）用含a，b的式子表示下列的最小值．
①|x－a|＋|x－b|的最小值为_______；②|x－a|＋|x－b|＋|x－c|的最小值为_______．
C级（培优拓展）
1．（2022秋·江苏无锡·七年级校考期中）规定：，．例如，．下列结论中，正确的个数是（ ）
①能使成立的的值为或；②若，则；
③式子的最小值是；④式子的最大值是．
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南南阳·七年级统考期中）若a为有理数，则表示的数是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
3．（2023春·浙江·七年级期末）方程的整数解共有（ ）
A．1010 B．1011 C．1012 D．2022
4．（2022秋·重庆江津·七年级统考期末）在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离，的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点的距离．结合以上知识，下列说法中正确的个数是（ ）
①若，则或；②若，则；
③若，则；④关于的方程有无数个解．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）对于有理数a，b，c，d，给出如下定义：如果．那么称a和b关于c的相对距离为d，如果m和3关于1的相对距离为5，那么m的值为_________．
6．（2022秋·福建泉州·七年级校联考期中）已知，则的最大值是________．最小值是________．
7．（2023秋·辽宁鞍山·七年级统考期末）阅读材料并回答问题：
的含义是数轴上表示数的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数与数0对应的点之间的距离；因此可以推断表示在数轴上数与数1对应的点之间的距离．例如，，就是在数轴上到1的距离为2的点对应的数，即为或；回答问题：
(1)若，则的值是______；(2)利用上述方法解下列方程：①；②
8．（2022秋·河南商丘·七年级统考期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探索】(1)数轴上表示5与的两点之间的距离是 ___________；(2)①若，则x=___________；
②若使x所表示的点到表示2和的点的距离之和为5，所有符合条件的整数的和为 ___________；
【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
(3)折叠纸面，若1表示的点和表示的点重合，则4表示的点和 ___________表示的点重合；
(4)折叠纸面，若3表示的点和表示的点重合，①则表示的点和 ___________表示的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数是 ___________，点B表示的数是 ___________；
【拓展】(5)若，则x=___________．
9．（2022秋·河南平顶山·七年级统考期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础．我们知道绝对值的几何含义为数轴上一点到原点的距离．如意义为表示5的点到原点的距离，也可理解为，即5到0点的距离．又如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是___________，数轴上表示和的两点之间的距离是___________，数轴上表示1和的两点之间的距离是___________；(2)利用上面的知识回答：数轴上表示x和-1的两点A、B之间的距离是___________，如果，那么x的值为___________；
(3)应用： 小明妈妈要租房，使小明到学校与妈妈到上班地点距离和最小，若把租房地记作x，妈妈上班地点记作1，小明学校记作2，那么距离和|的最小值是：___________．
(4)拓展：的最小值是：___________．
10．（2022秋·全国·七年级专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
④当时，原式；
⑤当时，原式．
综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题：
(1)化简代数式；(2)的最大值是 ．（请直接写出结果）
11．（2022秋·河南南阳·七年级校考阶段练习）如图，请回答问题：
(1)点B表示的数是______，点C表示的数是______．
(2)折叠数轴，使数轴上的点B和点C重合，则点A与数字______重合．
(3)m、n两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如5与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示5与两点之间的距离是7．
①若x表示一个有理数，则的最小值＝______．
②若x表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数x的和是______．
③当x＝______时，取最小值．
④若x表示一个有理数，且，则有理数x的取值范围______．
⑤若将数轴折叠，使得1表示的点与表示的点重合，此时M、N两点也互相重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），则M、N两点表示的数分别是：M：______，N：______．
12．（2022秋·浙江·七年级专题练习）我们知道，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上有两个点A,B,分别用a，b表示，那么A,B两点间的距离为，利用此结论，回答以下问题：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；
(2)数轴上表示x和﹣1的两点A．B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x的值为 ；
(3)求|x﹣3|+|x+5|的最小值是： ．(4)若|x﹣3|＝|x+5|，则x＝ ．若|x﹣3|＝3|x+5|，则x＝ ．
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