专题06 有理数的分类与数轴-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

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专题06 有理数的分类与数轴

1.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；
2.会对有理数进行分类。
3.能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
4.能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；
5.会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想．

1.有理数的相关概念
1）整数：正整数、、负整数统称为整数．
所有的正整数组成正整数集合，所有的负整数组成负整数集合．
2）分数：正分数、负分数统称为分数．
有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以我们也把它们看成分数．
3）有理数：整数和分数统称为有理数．
4）有理数的分类：
（1）（2）
注意：1）会对整数和分数进行简单分类；
2）整数与分数都是有理数的范畴，有限小数、无限循环小数是有理数；
5）常用数学概念的含义
1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数
3）正分数：既是整数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数
5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0
7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0
2.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．


【题型一】有理数的概念辨析
【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数．
【典题1】（2021•天津期末）下列说法正确的有（　　）
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典题2】（2021·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数

【变式练习】
1.（2021•长乐区校级月考）下列说法错误的是（　　）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数 B．一个有理数不是整数就是分数
C．0既不是正数，也不是负数 D．负整数、负分数统称为负有理数
2.（2021•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（　　）
①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【题型二】有理数的分类
【解题技巧】
正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数；
正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数；
整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数；
有理数：整数和分数统称为有理数。
【典题1】（2021·重庆市璧山区正则中学七年级月考）把下列各数填在相应的集合里：
1，，，0.5，，，，0，2014，20%，
正数集合： 负数集合：
整数集合： 正分数集合：
有理数集合：

【典题2】（2021•郫都区校级月考）把下列各数的序号填到相应的括号中：
①﹣0.3⋅；②3.1415；③﹣10；④0.28；⑤−27；⑥18；⑦0；⑧﹣2.3；⑨213．
（1）整数集合：{　 　…}； （2）负数集合：{　 　…}；
（3）非正数集合：{　 　…}；（4）分数集合：{　 　…}；
（5）非负整数集合：{　 　…}．

【变式练习】
1.（2021•合川区月考）将下列各数填在相应的集合内．
5，14，﹣3，−312，0，2010，﹣35，6.2，﹣1．
正数集合{　 　 …}；负数集合{　 　 …}；
自然数集合{　 　 …}；整数集合{　 　 …}；
分数集合{　 　 …}；负分数集合{　 　 …}；
非负数集合{　 　 …}；非正整数集合{　 　 …}；

2.（2021•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，134，﹣12，5分类．



【题型三】有理数中的新定义集合
【解题技巧】
【典题1】（2021•江阴市期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．
（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？
（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．
（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．


【典题2】（2021•硚口区期中）把几个不同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}；{1，4，7}；…我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素．规定：当整数x是集合的一个元素时，100﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合又称为黄金集合，例如{﹣1，101}就是一个黄金集合．若一个黄金集合所有元素之和为整数m，且1180＜m＜1260，则该黄金集的元素的个数是（　　）
A．23 B．24 C．24或25 D．26
【变式练习】
1.（2021•滨江区期末）把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　）
A．22 B．23 C．24 D．25
2.（2021•山西月考）阅读下面文字，根据所给信息解答下面问题：把几个数用大括号括起来，中间用逗号隔开，如：{3，4}，{﹣3，6，8，18}，其中大括号内的数称其为集合的元素，如果一个集合满足：只要其中有一个元素a，使得a+12也是这个集合的元素，这样的集合就称为对偶集合．
例如：{13，1}，因为1+12＝13，13恰好是这个集合的元素，所以{13，1}是对偶集合，例如：{12，3，0}，因为12+0＝12，12恰好是这个集合的元素，所以{12，3，0}是对偶集合．在对偶集合中，若所有元素的和为0，则称这个集合为完美对偶集合，例如：{﹣2，0，2}，因为﹣2+2＝0，0恰好是这个集合的元素，所以{﹣2，0，2}是对偶集合，又因为﹣2+0+2＝0，所以这个集合是完美对偶集合．
（1）集合{﹣4，8}　 　（填“是”或“不是”）对偶集合．
（2）集合{−112，1012，2}是否是完美对偶集合？请说明理由.



【题型四】数轴的三要素及其画法
【解题技巧】数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
数轴的画法：①在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点，②通常规定直线上从原点向右为正方向，从原点向左为负方向；③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，……；从原点向左用类似的方法依次表示-1，-2，-3，…….
【典题1】（2021·菏泽市牡丹区第二十一初级中学初一月考）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
【典题2】（2021春•金华月考）下列关于数轴的图示，画法不正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式练习】
1.（2021•凉山州）下列数轴表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
2.（2020秋•红花岗区校级月考）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．
﹣3，212，﹣1.5，0，+3.5，4



【题型五】用数轴上的点与有理数的关系
【解题技巧】数轴上的点与有理数之间的关系
①每个有理数都可以用数轴上的一点来表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一点；
②一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.
【典题1】（2021•喀喇沁旗期末）在如图的数轴上，点A、B在2的左面，小巧在做作业时不小心在作业本上染了一滴墨水，现在知道A点表示123，那么B点表示　 　．


【典题2】（2021•昆明期末）如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使﹣3表示的点与1表示的点重合，则与﹣5表示的点对应的点表示的数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．﹣1
【变式练习】
1.（2021•门头沟区期末）如图，将一刻度尺放在数轴上．

①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；
②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；
③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；
④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数﹣0.5．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④
2.（2021•正定县期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与　 　表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为11（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示的数是　 　．



【题型六】利用数轴比较有理数的大小
【解题技巧】
1）正方向上，离原点越远，数越大；
2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）.
注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
【典题1】（2021·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）

A． B． C． D．
【典题2】（2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．



【变式练习】
1．（2022·天津河北初一期中）下列叙述中，不正确的是（　　）
A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示
B．在数轴上，表示互为相反数的两个点与原点距离相等
C．在数轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越大
D．在数轴上，右边的点所表示的数比左边的点所表示的数大
2．（2021·河北初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a

【题型七】数轴上两点之间的距离
【解题技巧】
【典题1】（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣413点距离为312的点所表示的数为　 　．
【典题2】（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．






【变式练习】
1.（2021满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（　　）

A．﹣5 B．0 C．1 D．2

2.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）

A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为

















1．（2021·青海中考真题）若，则实数在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2021·广东云浮市·七年级期末）下列各项中，所画数轴正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（2021·绵阳市七年级期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（ ）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．
A．整体 B．方程 C．转化 D．数形结合
4．（2021·河南南阳市·七年级期中）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3，．．．；为了表示“没有”引入了数0古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，那里就有美”．数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感．正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性的使用数．一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，这个数字是（ ）
A．10 B．100 C．1 D．9
5．（2021·浙江温州市·）在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在点的左边 B．在点和原点之间
C．由点1向左平移4个单位得到 D．和原点的距离是
6.（2022·邹平七年级月考）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条15厘米的线段AB，则AB盖住的整数点的个数共有（ ）个
A．13或14个 B．14或15个 C．15或16个 D．16或17个
7．（2020·浙江七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上表示“”“”的刻度分别对应数轴上的是和x所表示的点，那么x等于（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8
8.下列说法中，错误的是（　　　）
A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示 B．数轴上的原点表示0
C．在数轴上表示的点与表示的点的距离是 D．数轴上表示的点在原点左边3个单位
9．（2021·湖南常德市·七年级期中）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它第一次向右爬行了一个单位长度，第二次接着向左爬行了2个单位长度，第三次接着向右爬行了3个单位长度，第四次接着向左爬行了4个单位长度，如此进行了2020次，问蚂蚁最后在数轴上什么位置？（ ）
A．-1010 B．-1009 C．1009 D．1010
10. （2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期末）在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
11.（2021春•海淀区校级月考）直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达O'点，点O'对应的数是（　　）

A．3 B．3.1 C．π D．3.2
12.（2021•东至县期末）下列说法中：
①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；⑤−π2不仅是有理数，而且是分数；⑥237是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
13.（2021•下城区校级期中）数轴上点M表示有理数﹣3，将点M向右平移5个单位长度到达点N，点E到点N的距离为6，则点E表示的有理数为　 　．
14. （2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．

15. （2021·江西·七年级期末）动点分别从数轴上表示和的两点同时出发，以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度沿数轴向负方向匀速运动，_______秒后，点间的距离为个单位长度.
16．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．
17.（2021•罗庄区期末）点A在数轴上距离原点3个单位长度，将A向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A表示的数是　 　．
18.（2021•宁波期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？


19.（2021•袁州区校级期中）把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内：
﹣11，−35，﹣9，0，+12，﹣6.4，﹣π，﹣4%．
（1）整数集合：{　 　…}；
（2）分数集合：{　 　　…}；
（3）非负整数集合：{　 　…}；
（4）负有理数集合：{　 　…}．

20. （2021·绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：
100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…

21．（2021·江苏七年级月考）如图，每个椭圆表示一个数集，请在每个椭圆内填上6个数，其中三个写在重叠部分，

22. （2022·浙江·七年级期中）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4．

（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______；
数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；
（Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．



23．（2021·山西省初一期中）如图，数轴上有A、B两点.

⑴分别写出A、B两点表示的数 、 ；⑵若点C表示，请你把点C表示在如图所示的数轴上；
⑶若点D与点A表示的两个数互为相反数，则点D表示的数是 ；
⑷将A、B、C、D四个点所表示的数用“>”连接起来；⑸C、D两点之间的距离是 ；
⑹上述问题体现了 的数学思想．