专题01 运算技巧-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

专题01  运算技巧  

算术数和有理数的衔接

在小学阶段，学生基本接触的是算术数(正整数、分数、小数、负数)，这些数都是随学生的年龄特点从现实生活中得出的。

进了初中后，把数的范围扩大到了有理数域，同时数的运算也相应的从小学中的加、减、乘、除四则运算上升到了乘方、开方运算。这是对数的认识的一个飞跃。对于算术方法的四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。

近年来上小升初衔接班发现很多同学基本的简便运算都会，但是稍微有点灵活就下不了笔，究其原因不难发现这些同学都有“为了简便而简便”（老师要求要简便，本来小学的简便运算也就那几种，就算掌握得不是很好也基本能解决绝大部分问题）。通过本专题希望大家能多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，在我们的头脑里形成简算的数学思想。

1．运算定律

1）加法交换律：                加法结合律：

3）乘法交换律：       乘法结合律：  

4）乘法分配律：      乘法分配律的逆用：

2．运算性质

1）减法的性质：   

2）除法的性质：   

3）商的“不变性”，即若，则，；

【题型一】 活用运算定律（凑整思想）

【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。

 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律达到凑整的目的。

【典题1】（2022·全国·六年级专题练习）计算：

(1)9+99+999+9999        (2)71+73 + 69+74 + 68+70+69     （3）999999×999999+1999999

【典题2】（2021·四川成都·六年级期末）计算题。

（1）                    （2）

（3）125×32×25                          （4）×2000－

【变式练习】

1．（2021·江苏宿迁·六年级期末）计算下面各题，怎样简便就怎样算。

18.6－3.89＋2.4－6.11                    ÷9＋×                    （）×23＋

0.4×（2.5×12.5）                         ×[1÷（－）]                 

2．（2022·全国·小升初模拟）简便计算:39×＋148×＋48×

3．（2021·全国·六年级专题练习）下面各题怎样算简便就怎样算。

4．（2022·山东·德州六年级期中）用你喜欢的方法计算。（能简算的一定要简算）

【题型二】活用运算定律和性质（凑整思想）

【解题技巧】灵活掌握减法的性质、除法的性质及商的不变性

【典题1】（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算下面各题。

（1）900－245－155                         （2）249－（93＋49）                 （3）569－72－69

（4）811－23－77                            （5）403－174－26                      （6）577－（177＋58）

【典题2】（2022··成都高新区六年级期中）用简便方法计算。

（1）5000÷125÷8                     （2）           

（3）（＋7）÷（＋）            （4）(96×48×91）÷(32×24×13）

【变式练习】

1．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。

3000÷125÷8

2．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算下列各题。

600÷24                         400÷16

3．（2022·全国·四年级专题练习）简便计算。

328－（284－172）

4．（2022·全国五年级期末）计算下面各题，能简算的要简算。

＋（－）        2－－        －＋－

【题型三】换元法

【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。

【典题1】（2022·全国六年级培优）（－＋…－＋）×（1－＋－＋－…＋）－（1－＋－＋－…＋－）×（－＋…－）=_____．

【典题2】（2022·四川·成都市实验外国语学校附属小学小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。

【变式练习】

1．（2022·全国·六年级竞赛）= ______

2．（2022·全国·六年级）计算题。

（1＋）×（）－（1＋＋＋）×（）

3.计算题:

【题型四】巧分组法

【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。

【典题1】（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。

（1）(100＋99－98－97＋96＋95－94－93…＋4＋3－2－1

（2）100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2

【典题2】（2022·全国六年级月考）计算：

【变式练习】

1．（2022·全国·四年级专题练习）用简便方法计算。

50－49＋48－47＋…＋4－3＋2－1

2．计算：____________________．

3．（2022全国·六年级竞赛）=________．

【题型五】应用公式

【解题技巧】平方差公式：

完全平方公式：，

【典题1】（1）（2021·四川青羊·树德中学八年级开学考试）计算：＝___．

（2）（2021·湖南汉寿·七年级期中）计算：799×801﹣8002＝_____．

【典题2】（2022·河南·七年级期末）用简便方法计算下列各式：

(1)；(2)．

【变式练习】

1．（2022·全国·六年级竞赛）=________．

2．（2022·全国六年级竞赛）简算：202﹣192+182﹣172+…+22﹣12 ．

3．（2022·广东河源·七年级期中）利用乘法公式进行简便计算：(1)；(2)

4．（2022·广东·梅州市梅江区芹洋学校七年级阶段练习）简便计算：(1)20022     (2)

【题型六】分数裂项计算

【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算

第一类（“裂差”型运算）：或

裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

第二类（“裂和”型运算）： 或

裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【典题1】（2021·辽宁·六年级专题练习）计算。

【典题2】（2021·全国·六年级专题练习）怎样算简便就怎样算。

【变式练习】

1．（2021·全国·六年级专题练习）计算：＋＋＋＋＋＋

2．（2021·成都外国语学校附属小学小升初模拟）计算：

3．（2022·全国·小升初模拟）简便计算  （提示，……）

4.（2022·全国小升初模拟）简便计算：+++++

【题型七】数列求和

【解题技巧】

等差数列求和

等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2

等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1   

等比数列求和

等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1）

【典题1】（2021·成都外国语学校附属小学小升初模拟）计算：

【典题2】（2022·全国六年级竞赛）计算：

【变式练习】

1．（2021·山东青岛·五年级期末）数学王子高斯八岁时，用如下的方法计算自然数1到100的和：

利用高斯发现的规律，尝试计算下列各题：

（1）     （2）

2．（2022·江苏小升初模拟）________

3．（2022·全国·六年级竞赛）计算：1.8＋2.8＋3.8＋……＋50.8

1．（2021·广西象州·七年级期中）利用平方差公式计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

2．（2022·山东临沂·一模）下列等式成立的是（       ）

A．6692＋2×669×31＋312＝7002 B．6692﹣669×69﹣692＝6002

C．6692＋669×31＋312＝7002 D．6692﹣2×669×69﹣692＝6002

3．（2021·全国六年级竞赛）=________．

4．（2021·全国·六年级竞赛）________

5．（2021·四川·五年级课时练习）填分数

（1）=________       （2）=________

6．（2021·全国·四年级课时练习）用凑整法计算下面各题。

499999＋49999＋4999＋499＋49＋5          1998＋1997＋1996＋1995＋1994＋20

7．（2021·四川成都·四年级期末）仔细观察，简便计算。

99×99＋199              100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2

8．（2022·全国五年级竞赛）用简便方法计算下面各题

（1）3.68+7.56﹣2.68    （2）15.48﹣（9.4﹣0.52）      （3）4.8×100.1      （4）56.5×9.9

（5）42.5﹣（6.7﹣7.5）  （6）17.8÷（1.78×4）     （7）8.54÷2.5÷0.4        （8）1.25×32×2.5．

9．（2021·全国六年级竞赛）怎样简便就怎样算．

（1）9999×7778＋3333×6666     （2）765×64×0.5×2.5×0.125

10．（2022·全国六年级竞赛）用简便方法计算．99＋99×99＋99×99×99

11．（2021·全国六年级竞赛）计算

（1）0.11＋0.13＋0.15＋……＋0.97＋0.99    （2）8.9×0.2＋8.8×0.2＋8.7×0.2＋……＋8.1×0.2

12．（2021·全国小升初真题）计算：（123456+234561+345612+456123+561234+612345）÷7．

13．（2021·辽宁·六年级专题练习）计算题。

15．（2021·辽宁·六年级专题练习）计算题。

16．（2021·辽宁·六年级专题练习）能简算的要简算。

                 （）×25×36          25×＋×25－25      

   9.6÷1＋2.4÷1               2003÷                           

17．（2021·全国·六年级专题练习）计算。

18．（2021·辽宁·六年级专题练习）算一算。

19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1                    19.98×37－199.8×1.9＋1998×0.82

19．（2021·辽宁·六年级专题练习）计算题。

    19.98×68＋199.8×4.2－1998×0.1

20．（2022·全国·五年级专题练习）计算：。

21．（2021·四川成都·小升初模拟）

22．（2022·陕西咸阳·七年级期中）利用乘法公式计算：．

23．（2022·甘肃省兰州市教育局七年级期中）利用公式（平方差公式或完全平方公式）计算下列各题：

(1)       (2)

24．（2021·全国·六年级专题练习）用你喜欢的方法计算：