专题03 列方程解应用题-2022年小升初数学无忧衔接（通用版）

这是一份专题03 列方程解应用题-2022年小升初数学无忧衔接（通用版），文件包含专题03列方程解应用题解析版docx、专题03列方程解应用题原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共65页， 欢迎下载使用。
专题03 列方程解应用题

由算术法则到方程解应用题
小学生所接触的方程比较简单，加上受算术思维的影响，列出的这些方程，思维方式实质上还是算术的。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的方程。

1．列方程解应用题
（1）列方程解应用题的优点。
先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。
（2）列方程解应用题一般步骤。
列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类
题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．
要点诠释：
（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系；
（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；
（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；
（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．
（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．
2．常见的数量关系
1）公式形数量关系
生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长
2）约定型数量关系
利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系
在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数
3．分析数量关系的常用方法
1）直译法分析数量关系
将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。
2）列表分析数量关系
当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。
3）图解法分析数量关系
用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。

【题型一】 行程问题（相遇与追击问题）
【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间
Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．
②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间
Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．
【典题1】（2021·广东七年级期末）已知A、B两站间的距离为480千米，一列慢车从A站出发，一列快车从B站出发，慢车的平均速度为60千米/时，快车的平均速度为100千米/时，如果两车同时出发，慢车在前，快车在后，同向而行，那么出发后________小时两车相距80千米．
【答案】10或14
【分析】可设出发后x小时两车相距80千米，分两种情况：两车相距80千米时慢车在前；两车相距80千米时快车在前列方程，解方程即可求解．
【详解】解：设出发后x小时两车相距80千米，当慢车在前时，
100x﹣60x＝480﹣80，解得x＝10，
当快车在前时，100x﹣60x＝480+80，解得x＝14，
答：出发后10小时或14小时两车相距80千米，故答案为：10或14．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，涉及路程问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
【典题2】（2021·江苏扬州·中考真题）扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马_______天追上慢马．
【答案】20
【分析】设良马行x日追上驽马，根据路程=速度×时间结合两马的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设快马行x天追上慢马，则此时慢马行了（x+12）日，
依题意，得：240x=150（x+12），解得：x=20，
∴快马20天追上慢马，故答案为：20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【变式练习】
1．（2021·全国七年级课时练习）《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲仍发长安，几何日相逢?
译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问甲乙经过多少日相逢?设甲乙经过x日相逢，可列 方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设甲经过x日与乙相逢，则乙已出发（x+2）日，根据甲行驶的路程+乙行驶的路程=齐国到长安的距离（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】根据题意设甲乙经过x日相逢，则甲､乙分别所走路程占总路程的和，可列方程．故选B．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2021·天津和平·七年级期末）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（　　）
A．150 米 B．215米 C．265 米 D．310米
【答案】C
【分析】先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．
【详解】解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，
设火车长x千米，根据题意得：×(4.5+120)＝x+0.15，
解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．
答：火车长265米．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，找到正确的等量关系．
3．（2021·四川内江·）2020年12月30日，连云港市图书馆新馆正式开馆．小明同学从家步行去图书馆，他以的速度行进后，爸爸骑自行车以的速度按原路追赶小明．设爸爸出发后与小明会合，那么所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，利用路程=速度×时间，结合会合时两人行走（或骑行）的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，即可．
【详解】解：设爸爸出发后与小明会合，则此时小明出发了h，
依据题意得：，故选：A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
4．（2021·陕西西安）一队学生去校外进行军事野营训练，他们以6千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，以10千米/时的速度按原路追上去，用了15分钟追上了学生队伍，问通讯员出发前，学生走了多少时间？
【答案】
【分析】设通讯员出发前，学生走x小时，根据等量关系，列出一元一次方程，即可求解．
【解析】设通讯员出发前，学生走x小时，
根据题意得：10×＝6×（x+）解得：x＝．答：学生走了小时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系，列出方程，是解题的关键．

【题型二】航行问题与火车过桥问题
【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：
航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度， 顺水速度－逆水速度＝2×水速；
Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．
【典题1】（2022·河北邯郸市·小升初模拟）一条小河经过A，B，C三镇，A，B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米，B，C两镇之间有木船摆渡，A、C两地之间的距离为50千米，木船在静水中的速度为每小时3.5千米，水流速度为1.5千米每小时。某人从A镇上汽船顺流而下到B镇，接着乘木船又顺流而下到C镇。全程共用7小时，那么A，B两镇间的距离是________。
【答案】25千米
【分析】根据题意，汽船在顺水中的速度为12.5千米/小时，木船在顺水中的速度为5千米/小时，可以设A到B地的距离为x千米，则B地到C地的距离为（50－x）千米。根据：路程÷速度＝时间，可知A到B用时为，B到C用时为，总共用时7小时。据此列出方程即可求解。
【详解】解：设A到B地的距离为x千米，则B地到C地的距离为（50－x）千米。








所以，从A地到B地的距离为25千米。
【点睛】此题考查分段路程问题，根据：路程÷速度＝时间，找准题目中的等量关系式即可解答。
【典题2】某桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义．
【解析】解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
，解得：x＝300，所以．
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下(注：A点表示火车头)：

(1)火车从上桥到完全过桥如图(1)所示，此时火车走的路程是桥长+车长．
(2)火车完全在桥上如图(2)所示，此时火车走的路程是桥长－车长．由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度＝整个火车在桥上的速度．
【变式练习】
1．（2021·湖北七年级期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距x km．根据题意，列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为： ，变形为：，据此选择．
【详解】解：设A港和B港相距x千米，，
变形为：∴方程为：故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
2．（2021·杭州市公益中学七年级期末）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需4h，逆水航行需6h，水流速度是2km/h，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为xkm，得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用速度=路程÷时间结合船在静水中的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：依题意得：，故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3、一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离．
【解析】
解法1：设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为(x+4)千米/时，逆水航行的速度为(x－4)千米/时，由两码头的距离不变得方程：3(x+4)＝5(x－4)，解得：x=16，
（16+4）×3=60（千米）
答：两码头之间的距离为60千米．
解法2：设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为千米/时，逆水航行时速度为千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：，解得：
答：两码头之间的距离为60千米．
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度－水流速度，根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程．
4．（2022·浙江宁波·五年级期末）一列火车全长400米，以每小时40千米的速度通过一条长2.8千米的隧道，从火车头进隧道到火车尾离开隧道，共需多少时间？（1）请你用图画一画，从火车头进隧道到火车尾离开隧道的过程。（2）请你列方程解答。
【答案】（1）见详解；（2）0.08小时
【分析】从火车头进隧道到火车尾离开隧道，行驶的路程是火车长度加上隧道长度，根据路程＝速度×时间列出方程解决问题即可。
【详解】（1）
（2）解：设共需要小时。
400米千米



答：共需0.08小时。
【点睛】本题考查行程问题、列方程解决问题，解答本题的关键是掌握列方程解决问题的方法。

【题型三】工程问题
【解题技巧】
我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。
工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。
【典题1】（2021·重庆实验外国语学校）一项工程，甲单独做需要6天完成，乙单独做需要8天完成，若甲先做1天，然后由甲、乙合作完成此项工程．求甲一共做了多少天？若设甲一共做了x天，则所列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析得到甲的效率为每天完成，乙的效率为每天完成，再利用各部分的工作量之和等于，列方程即可.
【详解】解：设甲一共做了x天，则所列方程为故选：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，考查的是工程问题，掌握工作效率乘以工作时间等于工作量是解题的关键.
【典题2】（2021·湖北襄阳·九年级一模）为改善生态环境，避免水土流失，某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则植树总任务___棵．
【答案】960
【分析】设计划植树x棵，计划需要的时间是天，实际时间是天，根据实际时间比计划时间少4天建立方程求出其解即可．
【详解】解：设计划植树x棵，计划需要的时间是天，实际时间是天，
根据题意列式：-=4，解得x=960，故答案为：960．
【点睛】本题考查了工程问题在实际生活中的运用，工作总量÷工作效率=工作时间的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据时间之间的数量关系建立方程是关键．
【变式练习】
1．（2022·深圳市高级中学初一期末）一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成.若甲先做1天,然后甲、乙合作完成此项工作的.若设甲一共做了x天，则所列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目默认总工程为1，设甲一共做x天，由于甲先做了1天，所以和乙合作做了（x-1）天，根据甲的工作量+乙的工作量=总工作量的四分之三，代入即可.
【解析】由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为
设甲一共做了x天，乙做了（x-1）天∴列出方程： 故选B
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，工程问题的关键在于利用公式：工程量=工作时间×工作效率.
2．（2021·河北七年级期末）某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】由中国结的数量为定值，可得中国结的数量的两种表示，从而可列方程再由小组人数为定值，可得小组人数的两种表示，从而可得方程于是可得答案．
【详解】解：由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；
可得：中国结的数量为：个，若每人做4个，则将比计划少做15个，
可得：中国结的数量为：个， 故④符合题意，①不符合题意；
由某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；
可得：某小组有人，若每人做4个，则将比计划少做15个，
可得：某小组有人， 故②不符合题意，③符合题意；故选：
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握列方程需要的代数式的表示方法是解题的关键．
3．（2021·山西七年级期末）数学课堂上，老师出示了如下例题：
整理一批图书，由一个人做要40h完成．现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？设安排x人先做4h．小亮列的方程是：，其中，“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加2人后，（x+2）人再做8小时完成的工作量”．小宇列的方程是：，其中，“”表示的意思是（ ）
A．先工作的x人前4小时和后8小时一共完成的工作量
B．增加2人后，（x+2）人再做8小时完成的工作量
C．增加2人后，新增加的2人完成的工作量
D．x人先做4小时完成的工作量
【答案】A
【分析】根据先工作的x人共做了(4+8)小时的工作量+后来2人8小时的工作量=1，解答即可．
【详解】解：∵设安排x人先做4h，然后增加2人与他们一起做8小时，完成这项工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+8)小时，∴列式为：先工作的x人共做了(4+8)小时的工作量+后来2人8小时的工作量=1，而x人1小时的工作量为，∴x人(4+8)小时的工作量为，
∴表示先工作的x人前4h和后8h一共完成的工作量，故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要40小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．
4．（2021·全国·六年级专题练习）快递公司搬运一批货物，张叔叔单独搬运要8小时才能搬完，李伯伯单独搬运要6小时才能搬完。他们一起搬运一段时间后，张叔叔又独自一人搬运了1小时才全部搬完，他们两人一起搬运了( )小时。
【答案】3
【分析】将这批货物看作单位1，据此将张叔叔和李伯伯的工作效率先表示出来。将两人一起搬运的时间设为x，据此将两人一起搬的货物计算出来，再加上张叔叔一小时搬运的货物，得到这批货物的总量即可。
【详解】解：设两人一起搬运了x小时。
（＋）x＋＝1 解得，x＝3
所以，他们两人一起搬运了3小时。
【点睛】本题考查了工程问题，熟练运用“工作效率×工作时间＝工作总量”是解题的关键。

【题型四】分段计费问题
【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。
常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等
【典题1】（2021·安徽临泉·初一期末）滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目
里程费
时长费
远途费
单价
1.8元/公里
0.3元/分钟
0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【答案】D
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据计价规则计算出小王的车费和小张的车费，建立方程求解.
【解析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5-7）,
10.8+0.3x=16.5+0.3y,0.3（x-y）=5.7,x-y=19,故答案为D.
【点睛】本题考查列方程解应用题，读懂表格中的计价规则是解题的关键.
【典题2】（2021·浙江杭州·七年级期末）为了鼓励市民节约用水，某区居民生活用水按阶梯式水价计费．居民在一年内用水在不同的定额范围内，执行不同的水价，其中水价＝供水价格＋污水处理费．具体价格如表：
类别
户年用水量（立方米）
水价（立方米）
供水价格（元/立方米）
污水处理费（元/立方米）
居民生活用水
一户一表
阶梯一
0--216（含）
1.90
1.00
阶梯二
216—300（含）
2.85
阶梯三
300以上
5.70
该区一居民家发现2020年7月份比6月份多用10立方米水，7月份水费为86.4元，比6月份多了55.6元，则该居民家7月份属阶梯二的用水量为（ ）
A．22立方米 B．18立方米 C．13立方米 D．12立方米
【答案】D
【分析】根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价，分别计算6、7月份用水量同在第一、二、三阶段时10方水的价格，得到7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，从而得到6月份用水量为8立方米，7月份用水量为18立方米，设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．根据题意列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，阶梯一、二、三阶段的水价分别为：2.90/立方米、3.85/立方米、6.70元/立方米；
若6、7月份用水量同在第一阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第二阶段，则两月水费差应为元；
若6、7月份用水量同在第三阶段，则两月水费差应为元；
由于两实际水费差为55.6元，38.5＜55.6＜67，由题意可知，7月份用水量跨二、三阶段，而六月份用水量在第二阶段，易算出6月份用水量为立方米，则7月份用水量则为18立方米．
设7月份第二阶段用水量为立方米，则第三阶段用水量为立方米．
列出方程：；解得：．故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意确定6、7月份用水量所在阶梯，进而得到两个月的用水量是解题关键．
【变式练习】
1．（2021·重庆八中）某市实行水费的阶梯收费方式：每月每户用水量20立方米及其以内的部分按1.2元/立方米收费，超过20立方米的部分按2元/立方米收费．如果某户居民在某月所交水费30元，那么这个月共用多少立方米的水？设这个月共用x立方米的水，下列方程正确的是（　　）
A．1.2x＝30 B．1.2×20+2（x﹣20）＝30
C．2x＝30 D．2×20+1.2（x﹣20）＝30
【答案】B
【分析】求出用水量为20立方米时应缴费用，将其与30比较后可得出x>20，由该户居民在某月所交水费30元，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解
【详解】1.2×20=24（元），2420.依题意得：1.2×20+2(x-20)=30.故选：B.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·全国七年级课时练习）某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A．5公里 B．6.9公里 C．7.5公里 D．8.1公里
【答案】B
【分析】设小明坐车可行驶的路程最远是，根据题意列方程运算即可．
【详解】设小明坐车可行驶的路程最远是，
根据题意得：，解得，根据题意6.9km最接近．故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，属于基础题，比较简单，根据题意列出合适的方程是解题的关键．
3．（2021·浙江杭州·）为提高公民的社会责任感，保证每个纳税人公平纳税，调节不同阶层贫富差距，营造“纳税光荣”社会氛围，2019年我国实行新的《个人收入所得税征收办法》，将个人收入所得税的起征点提高至5000元（即全月个人收入所得不超过5000元的，免征个人所得税）：个人收入超过5000元的，其超出部分称为“应纳税所得额”，国家对纳税人的“应纳税所得额”实行“七级超额累进个人所得税制度”该制度的前三级纳税标准如下：
全民应纳税所得额
税率
不超过3000的部分
3%
超过3000元至12000元部分
10%
超过12000元至25000元部分
20%
……
……
（1）若某人1月份应纳税所得额为2900元，应纳税______元．
（2）若甲1月份应纳税所得额为x元且时，则甲应纳税__________元（用含x的代数式表示并化简）．
（3）若小明的爸爸1月份应纳税1390元，应纳税所得额为多少元？
【答案】（1）87；（2）0.1x-210；（3）14000元
【分析】（1）直接用应纳税所得额乘以3%即可；（2）根据x的范围得到应在第二级标准，据此列出代数式并化简即可；（3）根据1390元判断出应纳税所得额处于第三级标准，据此列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）由题意可得：2900＜3000，∴2900×3%=87元，∴应纳税87元；
（2）由题意可得：3000×3%+（x-3000）×10%=0.1x-210，
∴甲应纳税（0.1x-210）元；
（3）设纳税所得额为y元，
∵3000×3%+（12000-3000）×10%=990＜1390，∴12000＜y≤25000，
∴3000×3%+（12000-3000）×10%+（y-12000）×20%=1390，
解得：y=14000，∴应纳税所得额为14000元．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意掌握纳税的计算方式是解题关键．
4．（2021·浙江杭州·七年级期末）某电信公司推出一款移动话费套餐，缴费标准见下表：
套餐月租费/元
套餐内容
套餐外缴费
主叫限定时间/分钟
被叫
主叫超时费（元/分钟）
58
50
免费
0.25
88
150
0.2
118
350
0.15
已知小文办理的是月租费为88元的套餐，亮亮办理的是月租费为118元的套餐．
（1）若小文当月的主叫时间为220分钟，则该月他的话费为多少元？
（2）某月小文和亮亮的主叫时间都为分钟，试用含m的代数式表示该月他们的话费差；
（3）某月小文和亮亮的话费相同，但主叫时间比亮亮少100分钟，求小文和亮亮的主叫时间分别为多少分钟？
【答案】（1）102元；（2）0.05m-7.5；（3）小文主叫时间是450分钟，亮亮主叫时间是550分钟
【分析】（1）用“根据话费=套餐费+主叫超时费”求出总话费；（2）因为m＞350分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字列出式子即可；（3）这里分亮亮主叫时间不超过350分钟和超过350分钟两种情况，分别利用“两人话费相同”列出方程求解即可．
【详解】解：（1）话费为88+（220-150）×0.2=102元；
（2）∵小文话费为88+0.2（m-150）=0.2m+58（元），
亮亮的话费为118+0.15（m-350）=65.5+0.15m（元），
∴他们的话费差为（0.2m+58）-（0.15m+65.5）=0.05m-7.5（元）．
（3）①若小文主叫时间超过150分钟，亮亮主叫时间没有超过350分钟，
设小文主叫时间为x，依题意得，88+0.2（x-150）=118，解得，x=300，
∵x+100=400＞350，∴此种情况不存在；
②若小文主叫时间超过150分钟，亮亮主叫时间超过350分钟，依题意得
88+0.2（x-150）=118+0.15（x+100-350）
解得，x=450，∴x+100=550分钟，
∴小文主叫时间是450分钟，亮亮主叫时间是550分钟．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．

【题型五】销售问题
【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。
实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率
标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)
注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．
【典题1】（2021·湖北七年级期末）某商店有大、小两种书包，小书包比大书包的进价少20元，它们的利润相同．其中，小书包的盈利率为30%，大书包的盈利率为20%，大书包的进价是_________元．
【答案】60
【分析】设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+20）元，根据利润＝进价×盈利率结合两种书包的售后利润额相同，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设每个小书包的进价为x元，则每个大书包的进价为（x+20）元，
依题意得：30%x＝20%（x+20），解得：x＝40，
则x+20＝40+20＝60．故答案为：60．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【典题2】（2021·全国七年级课时练习）小王去早市为餐馆选购蔬菜，他指着标价为每千克6元的豆角问摊主：“这豆角能便宜吗?”摊主：“多买按八折，你要多少?”小王报了数量后摊主同意按八折卖给小王，并说：“之前一人只比你少买2.5kg就是按标价，还比你多花了3元呢!”小王购买豆角的数量是（ ）
A．12.5kg B．10 kg C．15 kg D．7.5 kg
【答案】C
【分析】设小王购买豆角的数量是，依据“之前一人只比你少买2．5kg就是按标价，还比你多花了3元”列出方程并解答．
【详解】设小王购买豆角的数量是，则，
解得，即小王购买豆角的数量是．故选：C.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【变式练习】
1．（2021·重庆七年级期中）某冰箱每台的进价为元，要使其在销售的过程中获利，则它每台售价为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【分析】设售价为元，根据获利，列一元一次方程，求解即可．
【详解】解：设售价为元，根据获利，可得解得故答案为C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，理解题意找到等量关系，列方程即可．
2．（2021·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个
①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元，
依题意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正确；
设赔钱的衣服的进价为y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正确；
∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2021·四川省成都市七中育才学校七年级开学考试）大学生小刘正在出售一批衬衫，每件提价25%后发现销路不是很好，欲恢复原价，则每件衬衫应降价（ ）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【答案】B
【分析】设每件衬衫原价为1，欲恢复原价，则每件衬衫应降价x%，由于每件提价25%后销售为1•（1＋25%），然后把它降价x%得到销售价为1，所以1•（1＋25%）•（1−x%）＝1，然后解此方程即可．
【详解】设每件衬衫原价为1，欲恢复原价，则每件衬衫应降价%，
根据题意得，，解得，．即欲恢复原价，则每件衬衫应降价20%．故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是读懂题意，找出题中的等量关系，列出方程并解答．注意：提价25%是在原价的基础上提价，欲恢复原价，则应降价是在提价之后的基础上进行的，要弄清题意．
4．（2021·重庆市天星桥中学七年级月考）（选自《课堂导报》29期）某种商品每件的进价为250元，按标价的九折销售时，利润率为15.2%，这种商品每件的标价是（ ）
A．38元 B．250元 C．288元 D．320元
【答案】D
【分析】等量关系为：标价×9折=进价×（1+利润率），把相关数值代入计算即可．
【详解】解：设这种商品每件的标价是x元，依题意有
x×90%=250×（1+15.2%），解得x=320．
故这种商品每件的标价是320元．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，得到售价的等量关系是解决本题的关键．
5．（2021·河北饶阳·初一期末）一件夹克衫先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，若设这件夹克衫的成本是x元，根据题意，可得到的方程是 ( )
A．(1＋50%)x×80%＝x－28 B．(1＋50%)x×80%＝x＋28
C．(1＋50%x)×80%＝x－28 D．(1＋50%x)×80%＝x＋28
【答案】B
分析：根据售价的两种表示方法解答，关系式为：标价×80%=进价+28，把相关数值代入即可．
【解析】标价为：x（1+50%），八折出售的价格为：（1+50%）x×80%；
∴可列方程为：（1+50%）x×80%=x+28，故选B．
考点：由实际问题抽象出一元一次方程．

【题型六】数字与日历问题
【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
【典题1】（2022·内蒙古海勃湾·初一期末）一个两位数十位数字是个位数字的2倍，把这两个数字对换位置后，所得两位数比原数小18，那么原数是（ ）
A．21 B．42 C．24 D．48
【答案】B
【分析】设原两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,原来的两位数是：20x+x,把十位上的数字与个位上的数字交换后,十位上数字是x,个位上数字是2x,交换位置后这个数是：10x+2x,然后根据原数=新数+18,列方程解答即可．
【解析】解：设原两位数的个位数字为x,则十位数字为2x,
由题意得：20x+x=10x+2x+18,解得x=2,则20x+x=20×2+2=42答：这个两位数为42．故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,解答本题的关键是：根据十位数字是个位数字的2倍,表示出这个两位数．
【典题2】（2021·焦作市实验中学七年级期中）如图，是由一些奇数排成的数阵．
（1）设框中的第一个数为x，则框中这四个数和为　 ，若这样框出的四个数的和200，求这四个数；
（2）是否存在这样的四个数，使它们的和为8096？请说明理由．

【答案】（1）4x+20，这四个数是45，47，53，55；（2）不存在这样的四个数，使它们的和为8096，理由见解析．
【分析】（1）根据图形中的数据，可以写出框中这四个数的和，然后令这四个数的和200，即可求得这四个数；（2）先判断是否存在这样的四个数，使它们的和为8096，然后计算出说明理由即可．
【详解】解：（1）设框中的第一个数为x，则其它三个数为x+2，x+8，x+10，
则框中这四个数和为x+（x+2）+（x+8）+（x+10）＝4x+20，
当4x+20＝200时，解得：x＝45，
故x+2＝47，x+8＝53，x+10＝55，故答案为：4x+20，
若这样框出的四个数的和200，这四个数是45，47，53，55；
（2）不存在这样的四个数，使它们的和为8096，理由如下：
由题意可得：4x+20＝8096，解得：x＝2019，
∵（2019+1）÷2＝1010，∴2019是第1010个奇数，
∵图中每行5个奇数，∴1010个奇数在第202行最后一个数字，
∴不存在这样的四个数，使它们的和为8096．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出相应的数字，也考查了解一元一次方程．
【变式练习】
1．（2020·浙江）如图，表中给出的是2021年1月份的月历，任意选取“工”型框中的7个数（如阴影部分所示）．请你运用所学的数学知识来研究，则这7个数的和不可能是（ ）

A．77 B．91 C．140 D．161
【答案】A
【分析】设最中间的数为x，根据题意列出方程即可求出判断．
【详解】解：设最中间的数为x，∴这7个数分别为x-8、x-7、x-6、x、x+6、x+7、x+8，
∴这7个数的和为：x-8+x-7+x-6+x+x+6+x+7+x+8=7x，
当7x=77时，此时x=11，当7x=91时，此时x=13，当7x=140时，此时x=20，
当7x=161时，此时x=23，由图可知：11的左上角没有数字．故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
2．（2021·南昌市心远中学七年级期末）一个两位数的个位数字与十位数字都是，如果将个位数字和十位数字分别加2和1，所得新数比原数大12，则可列方程是__________________．
【答案】
【分析】根据两位数的表示方法：十位上的数字乘以10加上个位上的数字，表示出新旧两个两位数，列出方程即可．
【详解】解：一个两位数的个位数字与十位数字都是，这个两位数为：，
将个位数字和十位数字分别加2和1，所得新数为：，
根据题意列方程得，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是明确两位数的表示方法，根据题意列出方程．
3．（2021·北京二中七年级期末）小明计划和爸爸一起自驾游，如表是这月份的日历，用如图框住5个日期，他们的和是50，图中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号，这天能出行吗？（ ）（注：北京市限行政策：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，每周三限行尾号为3和8，每周四限行尾号为4和9，每周五限行尾号为0和5）
周日
周一
周二
周三
周四
周五
周六

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31




A．11，不能 B．11，能 C．10，能 D．10，不能
【答案】A
【分析】根据日历表示出其它几个数字，根据数字之和等于50列出方程，求得x，再根据日历和限行标准即可得出结论．
【详解】解：其它几个数为：，
根据题意，解得，
由日历可知，11号是周四，周四限行尾号为4和9，故出行的日期是11号，这天不能出行，故选：A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，求出x的值．
4.（2020·南通市启秀中学初一期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：（1）它的千位数字为2；（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．
【答案】2315
【分析】设除去千位上的数字之外的三位数为x，根据题意列出方程，解方程即可求出答案．
【解析】设除去千位上的数字之外的三位数为x，根据题意有
解得 小明的考场座位号为2315
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

【题型七】和、差、倍、分问题
【解题技巧】
（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．
（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．
【典题1】（2021·上海市民办新竹园中学八年级月考）某汽车制造厂1月份生产汽车25000辆，由于销售市场的原因，2月份产量比一月份减少了20%，若三月份要使产量达26000辆，则3月份应比2月份增长_______%．
【答案】30%
【分析】设3月份应比2月份增长x，根据三月份要使产量达26000辆，列出方程，解之即可．
【详解】解：设3月份应比2月份增长x，
由题意可得：25000（1-20%）（1+x）=26000，
解得：x=0.3=30%，故答案为：30%．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据百分数的意义，找到等量关系．
【典题2】（2021·浙江六年级期中）12年前父亲的年龄是儿子年龄的10倍，从现在起12年以后父亲的年龄是儿子年龄的2倍，现在父亲的年龄是（________）岁。
【答案】42
【分析】根据题目可以设儿子12年前的年龄是x岁，即12年前父亲年龄是10x岁，从现在起12年以后，即相当于从12年前到今年，从今年到12年后，经过了12＋12＝24年，那么此时儿子年龄是x＋24，父亲年龄是10x＋24，此时父亲年龄是儿子的2倍，即儿子×2＝父亲年龄，列出方程求解即可。
【详解】解：设12年前儿子年龄是x岁，父亲年龄是10x岁。
2×（x＋24）＝10x＋24
2x＋48＝10x＋24
48－24＝10x－2x
24＝8x
x＝24÷8
x＝3
现在父亲的年龄：3×10＋12＝30＋12＝42（岁）
【点睛】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子表示，然后列方程解答。
【变式练习】
1．（2021·内蒙古九年级期中）程大位《直指算法统宗》趣题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各多少人？设小和尚有x人，依题意列方程得（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设小和尚有x人，根据共100个和尚可知大和尚有（100－x）人，根据100个和尚分100个馒头正好分完．可以得到一个等量关系：大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数＝100，依此列出方程即可．
【详解】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100－x）人，
根据题意得：．故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
2．（2022·北京市昌平区第四中学期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”
译文：“有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？设有x个人共同买鸡，根据题意列一元一次方程．_____

【答案】9x﹣11=6x+16．
【分析】设有x个人共同买鸡，据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】解：设有x个人共同买鸡，根据题意得：9x﹣11=6x+16．
故答案为9x﹣11=6x+16．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
3．（2021·南昌市心远中学七年级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．
【答案】壶中原有升酒．
【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得，解得．答：壶中原有升酒．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.
4．（2021·全国七年级课时练习）某中学的社团活动深受学生和家长的欢迎，社团种类多达十几种，极大地丰富了学生的业余文化生活．其中初一书法社团中女生占全社团人数的，又有10名女生申请加入，那么女生就占全社团人数的，求现在初一书法社团的人数．
【答案】100人
【分析】设原有女生x人, 原来初一书法社团人数为3x人，利用10名女生申请加入后，女生就占全社团人数的的等量关系列出方程运算即可．
【详解】解：设原有女生x人，则原来初一书法社团人数为3x人，
根据题意得：，解得，则．
答：现在初一书法社团的人数有100人．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，仔细审题从中获取相关等量关系列出方程是解题的关键．


1．（2021·浙江七年级月考）某校教师举行茶话会．若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就坐．设该校准备的桌子数为x，则可列方程为（　　）
A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6
C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6
【答案】B
【分析】设该校准备的桌子数为x，根据“若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就坐”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设该校准备的桌子数为x，依题意得：10（x-1）=8x+6．故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
2．（2021·四川绵阳·）近年来，网购的蓬勃发展方便了人们的生活．某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，那么该分派站现有包裹（ ）
A．60件 B．66件 C．68件 D．72件
【答案】B
【分析】设该分派站有x个快递员，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10x＋6）中即可求出该分派站现有包裹数．
【详解】解：设该分派站有x个快递员，
依题意得：10x＋6＝12x−6，解得：x＝6，∴10x＋6＝10×6＋6＝66，
即该分派站现有包裹66件．故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
3．（2022·广西平桂·期中）某新华书店暑假期间推出售书优惠方案：①一次性购书不超过200元，不享受优惠；②一次性购书超过200元但不超过400元一律打九折；③一次性购书400元以上一律打八折．如果黄聪同学一次性购书共付款324元，那么黄聪所购书的原价是（ ）
A．360元 B．405元 C．360元或400元 D．360元或405元
【答案】D
【分析】设所购书的原价是x元，因为付款已经超过200元，所以第一种情况不用考虑，然后根据后两种情况进行分类讨论，列式求解，并看是否符合条件，选出正确选项．
【解析】解：设所购书的原价是x元，
∵一次性购书共付款324元，∴原价一定大于324元，则①不用考虑，
根据②，，列式：，解得，在范围内符合题意，
根据③，，列式：，解得，在范围内符合题意，
∴购书原价是360元或405元．故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找等量关系列方程求解，需要注意进行分类讨论，把情况考虑全面．
4．（2021·河北饶阳·初一期末）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，求A港和B港相距多少千米．设A港和B港相距x千米．根据题意，可列出的方程是：( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】轮船沿江从A港顺流行驶到B港，则由B港返回A港就是逆水行驶，由于船速为26千米/时，水速为2千米/时，则其顺流行驶的速度为26+2=28千米/时，逆流行驶的速度为：26-2=24千米/时．根据“轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用3小时”，得出等量关系：轮船从A港顺流行驶到B港所用的时间=它从B港返回A港的时间-3小时，据此列出方程即可．
【解析】解：设A港和B港相距x千米，由题意可得方程：，故选A.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．
5．（2021·山西临汾市·七年级期中）在数学活动课上，兴趣小组的同学们用4块大小不同的长方形纸板和一块小正方形纸板拼成了一个大正方形，有关数据如图所示，则拼成的大正方形的面积是（　　）

A．20 B．25 C．36 D．49
【答案】C
【分析】设小正方形的边长为，根据大正方形的边长相等可得方程，解得，进而求得大正方形的边长及面积
【详解】设小正方形的边长为，根据大正方形的边长相等可得：
解得
大正方形的边长为
大正方形面积为故选C
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列方程是解题的关键．
6．（2021·全国六年级课时练习）初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人．则同时参加这两个小组的人数是（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】设同时参加这两个小组的人数为x人，根据参加这两个小组的人数与不参加这两个小组的人数之和等于60列方程即可求解，注意不能重复加同时参加这两个小组的人数．
【详解】解：设同时参加这两个小组的人数为x人，
则这两个小组都不参加的人数为人，
由题意得：，解得．故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意准确列出一元一次方程．
7．（2020·全国初一课时练习）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能的是( )

A．70 B．78 C．84 D．
【答案】B
【分析】设“U”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x−15，x−13，x−8，x-6，x-1，x＋1，表示出这7个数之和，然后分别列出方程解答即可．
【解析】设“U”型框中的正中间的数为x，则其他6个数分别为x−15，x−13，x−8，x-6，x-1，x＋1，
这7个数之和为：x−15+x−13+x−8+x-6+x-1+x＋1+x＝7x-42．
由题意得A、7x-42＝70，解得：x＝16，能求得这7个数；
B、7x-42＝78，解得：x＝，不能求得这7个数；
C、7x-42＝84，解得：x＝18，能求得这7个数；
D、7x-42＝105，解得：x＝21，能求得这7个数．故选：B．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握“U”型框中的7个数的数字的排列规律是解决问题的关键．
8．（2021·河北七年级期末）一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成．如果甲先单独做4天，然后两人合作天完成这项工程，则可列的方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意一项工程甲单独做要40天完成，乙单独做需要50天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分=1．
【详解】解：设整个工程为1，根据关系式甲完成的部分+两人共同完成的部分=1列出方程式为：
，故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程式的运用，解决这类问题关键是找到等量关系．
9.（2021·浙江）如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为，容器内水的高度为，把一根半径为的玻璃棒垂直插入水中，水不会溢出，则容器内的水将升高________cm．

【答案】0.5
【分析】根据题意，得等量关系为：容器的底面积×容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积×（容器中水的高度+水增加的高度）=容器的底面积×（容器中水原来的高度+水增加的高度）．
【详解】解：设容器内的水将升高x cm，
依题意有：π×102×12+π×22（12+x）=π×102（12+x），
1200+4（12+x）=100（12+x），
1200+48+4x=1200+100x，
96x=48，
x=0.5．
故容器内的水将升高0.5cm．故答案为：0.5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．（2020·江苏如东·初三二模）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程为__________.
【答案】5x+45=7x+3．
【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解析】设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45=7x+3．故答案为：5x+45=7x+3．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题关键．
11．（2021·福建省福州外国语学校九年级三模）中国古代重要的数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有妇人河上荡杯，津吏问曰：杯何以多？妇人曰：家有客．津吏曰：客几何？妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五，不知客几何？”其大意为：一位妇人在河边洗碗．津吏问道：“为什么要洗这么多碗？”妇人回答：“家里来客人了”津吏问：“有多少客人？”妇人回答：“每二人合用一只饭碗，每三人合用一只汤碗，每四人合用一只肉碗，共用65只碗．”来了多少位客人．根据题意，妇人家中访客的人数是____________人．
【答案】60
【分析】设来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，根据共用了65只碗，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设来了位客人，则共使用只饭碗，只汤碗，只肉碗，
依题意得：，
解得：．故答案为：60．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
12．（2021·黑龙江七年级期末）父子二人今年的年龄和为44岁，已知两年前父亲的年龄是儿子的4倍，那么今年儿子的年龄是______．
【答案】10
【分析】设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，根据两年前父亲的年龄是儿子的4倍，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年儿子x岁，则今年父亲（44-x）岁，
依题意，得：44-x-2=4（x-2），解得：x=10．故答案为：10．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（2021·山西七年级期中）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍小3，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小9，原来的两位数是______．
【答案】21
【分析】设原来的两位数的十位上的数为a，则个位上数为（2a-3），根据“如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么得到的两位数就比原两位数小9，”可列出关于a的方程，解出a即可．
【详解】解：设原来的两位数的十位上的数为a，则个位上数为（2a-3），
根据题意得：10a+2a-3=10(2a-3)+a+9，解得：a=2，
∴2a-3=1，∴原来的两位数是21．故答案为：21．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，理解题意．准确找到等量关系是解题的关键．
14．（2021·湖南湘潭·）（古代数学问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，则根据题意列出方程__．
【答案】8x﹣3＝7x＋4
【分析】可设有x个人，根据所花总钱数不变列出方程即可．
【详解】解：设有x人，根据题意，可得：8x﹣3＝7x＋4，
故答案是：8x﹣3＝7x＋4．
【点睛】本题考查一次方程及其应用，解题的关键是正确理解题意，会由实际问题抽象出一元一次方程．
15．（2021·全国七年级课时练习）六一儿童节期间，某眼镜店开展优惠学生配镜活动，某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌补上原价．
原价：________元
六一节八折优惠，现价：160元
【答案】200
【分析】设广告牌上的原价为x元，根据原价的八折等于160元，列出方程，再求解即可．
【详解】解：设广告牌上的原价为x元，根据题意，得0.8x=160，解得x=200．
答：广告牌上的原价为200元．故答案为200．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．关键是读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，求解．
16．（2021·仪征市实验初中七年级月考）挖一条水渠，甲、乙两队单独做分别需要20天、15天完成．现在两队合作若干天后，乙队另有任务离开，甲队接着又单独挖6天完成，则挖这条水渠共要用_________天．
【答案】12
【分析】由题意设挖这条水渠共要用天，甲队挖了全程，乙队挖了天，进而根据总工程量为‘1’建立方程求解即可.
【详解】解：设挖这条水渠共要用天，
由题意得：，解得：，
所以挖这条水渠共要用12天.故答案为：12.
【点睛】本题考查一元一次方程的工程问题，注意掌握并根据总工程量为‘1’建立方程是解题的关键.
17．（2021·全国·小升初模拟）某人以匀速行走在一条公路上,公路的前后两端每隔相同的时间发一辆公共汽车.他发现每隔15分钟有一辆公共汽车追上他;每隔10分钟有一辆公共汽车迎面驶来擦身而过.问公共汽车每隔多少分钟发车一辆?
【答案】12分钟
【详解】解：设公共汽车每隔x分钟发车一次．
15：（15﹣x）=10：（x﹣10）．
15（x﹣10）=10（15﹣x）
15x﹣150=150﹣10x
25x=300
x=12，
答：公共汽车每12分钟发一次
18．（2022·江苏·六年级期末）A、B两地相距10千米，甲从A地出发步行45分钟后，乙骑自行车也从A地出发，最后甲乙两人同时到达B地。甲开始步行的速度为每分钟104米，途中某时刻后减速为每分钟84米，乙骑自行车的速度始终是每分钟210米，但途中休息5分钟，问：甲出发后多少时间开始减速的？
【答案】90分钟
【分析】由题可设甲出发x分钟后开始减速，由减速前行驶的路程＋减速后行驶的路程＝A、B两地相距的10千米，列出方程即可求解。
【详解】解：设甲出发x分钟后开始减速。
10km＝10000m
104x＋84×（10000÷210＋5＋45－x）＝10000
104x＋84×（＋50－x）＝10000
104x＋4000＋4200－84x＝10000
20x＋8200＝10000
20x＝1800
x＝90
答：甲出发后90分钟开始减速。
【点睛】本题主要考查行程应用题，解题的关键是得到等量关系，本题易错点是单位的换算。
19．（2022·福建宁德·五年级期中）小军和小虎在学校操场的环形跑道上跑步，跑道一圈长400米，已知小军每秒跑6米。
（1）如果他们同时从跑道的同地点出发向相反的方向跑，经过40秒第一次相遇，小虎平均每秒跑多少米？（用方程解）
（2）如果他们同时从跑道的同地点出发同向而行，几秒后他们第一次相遇？（在（1）题的基础上完成）（用方程解）
（3）如果小虎先跑10秒，小军向同方向追小虎，几秒才追上小虎？（在（1）题的基础上完成）（选择适当的方法）
【答案】（1）4米；（2）200秒；（3）20秒
【分析】（1）把小虎的跑步速度设为未知数，等量关系式：（小虎的跑步速度＋小军的跑步速度）×相遇时间＝总路程；（2）由（1）可知小军的跑步速度大于小虎的跑步速度，两人同地点出发同向而行，第一次相遇时小军比小虎多跑一整圈，等量关系式：（小军的跑步速度－小虎的跑步速度）×相遇时间＝小军比小虎多跑的路程；（3）小虎先跑10秒，小军向同方向追小虎，则小虎和小军的路程差为小虎跑10秒的路程，利用“追及时间＝路程差÷速度差”即可求得。
【详解】（1）解：设小虎平均每秒跑x米。
（6＋x）×40＝400
6＋x＝400÷40
6＋x＝10
x＝10－6
x＝4
答：小虎平均每秒跑4米。
（2）解：设x秒后他们第一次相遇。
（6－4）x＝400
2x＝400
x＝400÷2
x＝200
答：200秒后他们第一次相遇。
（3）（4×10）÷（6－4）
＝40÷2
＝20（秒）
答：20秒才追上小虎。
【点睛】熟练掌握相遇问题和追及问题的计算公式是解答题目的关键。
20．（2022·湖北武汉·五年级期末）一天，小明和小玲兄妹俩吃完早饭同时离家去上学，小明每分钟走90m，小玲每分钟走60m。小明走到学校门口发现忘记带语文书，立即沿原路回家去取，行至离学校180m处与小玲相遇。他们家离学校有多远？
【答案】900米
【解析】
【分析】把小明与小玲相遇时小玲走的时间设为未知数，小玲行驶的路程加上180米等于从家到学校的路程，小明行驶的路程减去180米也等于从家到学校的路程，等量关系式：小玲行驶的路程＋180米＝小明行驶的路程－180米，据此列方程解答。
【详解】解：设从出发到两人相遇小玲走了x分钟。
60x＋180＝90x－180
90x－60x＝180＋180
30x＝360
x＝360÷30
x＝12
60×12＋180＝720＋180＝900（米）
答：他们家离学校900米。
【点睛】分析题意找出等量关系式是解答题目的关键。
21．（2022·全国·五年级竞赛）甲乙两人比赛400米跑，甲离终点100米时，乙刚好跑到中点，照这样的速度，乙跑到终点时，比甲正好慢25秒，甲平均每秒跑多少米？
【答案】8米
【分析】要求甲的速度，可先求甲跑全程用了多少时间；设甲跑全程用了x秒，则乙用了（x＋25）秒，由“甲乙两人比赛400米跑，甲离终点100米时，乙刚好跑到中点”可知：甲跑300米，则乙跑200米，二者的速度比是3∶ 2，所以与跑完全程的时间成反比，据此可列比例求解。
【详解】设甲跑全程用了x秒，则乙用了（x＋25）秒，
因速度比为：（400﹣100）∶200＝300∶200＝3∶2，
则时间比为2∶3，
2∶3＝x∶（x＋25）
3x＝2x＋50
x＝50
甲的速度：400÷50＝8（米/秒）
答：甲平均每秒跑8米。
【点睛】此题主要考查路程、速度、时间之间的关系，路程－定，时间和速度成反比。
22．（2021·河北石家庄·小升初真题）一列匀速行驶的火车通过一架长1000米的桥梁用了30秒，穿越长1920米的隧道用了50秒，这列火车每秒行多少米？车身长多少米？
【答案】46米；380米
【解析】
【分析】设车身长x米，根据路程÷时间＝速度（一定），列出正比例算式，求出x的值是车身长，（桥梁长＋车身长）÷通过时间＝火车速度，据此分析。
【详解】解：设车身长x米。
（1000＋x）∶30＝（1920＋x）∶50
30×（1920＋x）＝（1000＋x）×50
57600＋30x＝50000＋50x
20x÷20＝7600÷20
x＝380
（1000＋380）÷30＝1380÷30＝46（米）
答：这列火车每秒行46米，车身长380米。
【点睛】关键是确定比例关系，比值一定是正比例关系。
23．（2022·山东·六年级期末）公园里新建了一个“花鸟乐园”。如图，冬冬和小刚站在点A处，打算绕“花鸟乐园”外围步行一圈。小刚说：“冬冬，我们背向而行，看看待会儿会在哪个地方相遇。”说完小刚就出发了。而冬冬观赏了一会儿小鸟，等小刚走到B点，他才出发。已知小刚和冬冬的速度比是5∶6，当他俩相遇时，小刚和冬冬所走的路程比是5∶4。这个“花鸟乐园”一周的长度是多少米？（冬冬和小刚的速度不变）

【答案】378米
【分析】将这个乐园的周长设为未知数，两人相遇时，两人恰好走完这个乐园的一周。同时，两人的速度比恰好等于小刚的路程减去70米比上冬冬的路程，据此列比例解比例即可。
【详解】解：设这个“花鸟乐园”一周的长度是x米。
5∶6＝∶x 解得，x＝378
答：这个“花鸟乐园”一周的长度是378米。
【点睛】本题考查了比例的应用，相遇问题中，时间一定时，两人的速度比就是两人所走的路程比。
24．（2021·全国·五年级期末）上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？
【答案】8点32分
【分析】小明爸爸在追小明，但是小明一直在走，由题得，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，设他爸爸用x分钟第一次追上小明走了4千米；第二次追上小明时，他爸爸又用了3x分钟，共走了（4＋8）千米；对小明来说，（8＋x）分钟走了4千米，然后他爸爸回家后又回来追上他，小明和他爸爸用的时间相同都是3x分钟，小明走的路程是8千米－4千米．根据小明的速度一定，由公式路程＝速度×时间 变形列式求解。

【详解】解：设他爸爸用x分钟第一次追上小明走了4千米，
因为小明的速度一定，所以，路程和时间成正比例，即：
4÷（8＋x）＝（8－4）÷3x
8＋x＝3x
2x＝8
x＝4
小明共走的时间为：8＋x＋3x＝8＋4x＝8＋4×4＝8＋16＝24（分钟）
这时是：8时8分＋24分＝8时32分
答：这时是8时32分。
【点睛】此题考查了追及问题，解答此题关键是当速度一定，所以，路程和时间成正比例。
25．（2022·全国·六年级）早上水缸注满了水，白天用去了其中的20%，傍晚又用去27升，晚上用去剩下水的10%，最后剩下的水是半水缸多1升。问早上注入多少升水？
【答案】115升
【分析】可用列方程的方法，利用的等量关系为：最后剩下的水比半水缸多1升。设早上注入x升水，白天用去其中的20%后还剩（1－20%）x；傍晚又用去27升后还剩下（1－20%）x－27；晚上用去剩下水的10%后还剩下[（1－20%）x－27]×（1－10%）。
【详解】解：设早上注入x升水。
[（1－20%）x－27]×（1－10%）－50%x＝1
[0.8x－27]×0.9－0.5x＝1
0.72x－27×0.9－0.5x＝1
0.72x－24.3－0.5x＝1
0.72x－0.5x＝25.3
0.22x＝25.3
x＝115
答：早上注入115升水。
【点睛】找出等量关系式是列出方程的关键。
26．（2022·全国·六年级竞赛）甲、乙二人原有钱数相同，存入银行，第一年的利息为4%，存入一年后利息降至2%，甲将本钱和利息继续存入银行，而乙将一半本钱投资股市及房地产，获利20%，一年后，甲比乙赚到的钱的一半还少144元，则甲原来有多少元？
【答案】10000元
【分析】本题为利息问题，本金×（1＋利息×期数）＝本息
【详解】详解过程：设甲和乙原有钱数都是x．
甲在银行存了两年，第一年利息为4%，钱变成了x（1+4%），接着再存了一年，第二年利息是2%，本息和为x（1+4%）（1+2%），两年赚的钱为：x（1+4%）（1+2%）－x＝0.0608x；
乙先将所有的钱在银行存了一年，本息和为x（1+4%），第二年将一半本息接着存入银行，一半本钱投入股市，存入银行的一年后本息和为x（1+4%）（1+2%），投入股市的钱一年后收入为x（1+20%），乙两年赚的钱为：
x（1+4%）＋x（1+4%）（1+2%）＋x（1+20%）－x=0.1504x．
已知甲赚的比乙的一半还少144元，于是得到（144＋0.0608x）×2=0.1504 x，
解得x=10000元．
答：甲原来有10000元．
【点睛】本题考察的是利息问题和利润问题的综合求解．在计算本息和时最好写成x（1+4%），这样后面的也可以直接写为x（1+4%）（1+2%）了，比较简单明了方便计算．推而广之，在计算所有增加或者减少分率时都可以这样处理，一般公式为单位“1”×（1±增加或减少分率）．
27．（2020·湖南天心·长郡中学期末）列方程解应用题
某车间有24名工人，每人毎天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？
【答案】应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套；
【分析】根据一元一次方程解决配套问题的步骤，设出未知数，并选择“两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套”为等量关系，最后根据等量关系列出方程．
【解析】（1）设可设分配名工人生产螺栓，名工人生产螺母．
由题意得：，解得：，（人）．
答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，找实际问题的等量关系是解决问题的关键点．
28．（2021·重庆九龙坡·）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．
【答案】（1）4元；（2）6.5元
【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解；（2）设售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．
【详解】解：（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，
由题意可得：，即解得
答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；
（2）设每千克西瓜的售价为元，则第一次的销售额为元，第二次的销售额为元，总成本为4400元，
则，即解得
答：每千克西瓜的售价为6.5元
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．
29．（2021·江苏南京·南师附中宿迁分校初一期末）列方程解应用题：
用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完．
【答案】６小时，过程见详解．
【分析】设还需小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答即可．
【解析】解：设还需小时可以抽完，由题意得：
，解得：，答：还需6小时可以抽完．
【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决问题的关键．
30．（2021·浙江温州市·七年级期末）一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表：
套餐月租费（元/月
套餐内容
套餐外资费

主叫限定时间（分钟）
被叫
主叫超时费（元/分钟）
58
50
免费
0.25
88
150
0.20
118
360
0.15
说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话．
②若办理的是月租费为58元的套餐：主叫时间不超过50分钟时，当月话费即为58元；若主叫时间为60分钟，则当月话费为元．其它套餐计费方法类似．
（1）已知小聪办理的是月租费为88元的套餐，小明办理的是月租费为118元的套餐．他们某一月的主叫时间都为分钟（）．
①请用含的代数式分别表示该月他们的话费，化简后填空：
小聪该月的话费为________元；小明该月的话费为________元．
②若该月小聪比小明的话费还要多14元，求他们的通话时间．
（2）若小慧的两个手机号码分别办理了58元、88元套餐．该月她的两个号码主叫时间一共为220分钟，总话费为152元，求她两个号码的主叫时间分别可能是多少分钟．
【答案】（1）①0.2m+58，64+0.15m；②400分钟；（2）40分钟和180分钟或74分钟和146分钟
【分析】（1）①因为m＞360分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字列出式子即可；②根据①中式子，结合小聪比小明的话费还要多14元列出方程，解之即可；
（2）分当x≤50时，当50＜x＜70时，当x≥70时，三种情况分别列出方程，解之即可．
【详解】解：（1）①由题意可得：小聪该月的话费为88+0.2（m-150）=0.2m+58（元），
小明该月的话费为118+0.15（m-360）=64+0.15m（元），
②由题意可得：0.2m+58=64+0.15m+14，解得：m=400，∴他们的通话时间为400分钟；
（2）设办理了58元套餐的手机号码主叫时间为x分钟，
当x≤50时，220-x≥170，则58+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=40，220-40=180分钟；
当50＜x＜70时，则58+0.25（x-50）+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=90，不符合，舍去；
当x≥70时，则58+0.25（x-50）+88=152，解得：x=74，220-74=146分钟，
综上：两个号码的主叫时间分别是40分钟和180分钟或74分钟和146分钟．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．
31.（2021·湖北房县·初一期末）“十房”天然气正在紧张施工中，从2018年1月1日起居民生活用气阶梯价格制度将正式实施，一般生活用气收费标准如下表所示，比如6口以下的户年天然气用量在第二档时，其中350立方米按2.28元/m3收费，超过350立方米的部分按2.5元/m3收费．小冬一家有五口人，他想帮父母计算一下实行阶梯价后，家里天然气费的支出情况．
（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？
（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然气，那么需要交多少元天然气费？
（3）如果他家2018年需要交1563元天然气费，他家2018年用了多少立方米天然气？

【答案】（1）684；（2）1173；（3）600
【分析】（1）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费2.28×300，计算即可；
（2）根据一般生活用气收费标准，可得小冬一家需要交天然气费2.28×350＋2.5×（500−350），计算即可；
（3）设小冬家2018年用了x立方米天然气．首先判断出小冬家2018年所用天然气超过了500立方米，然后根据他家2018年需要交1563元天然气费建立方程，求解即可．
【解析】（1）如果他家2018年全年使用300立方米天然气，那么需要交天然气费2.28×300＝684（元）；
（2）如果他家2018年全年使用500立方米天然气，那么需要交天然气费
2.28×350＋2.5×（500−350）＝798＋375＝1173（元）；
（3）设小冬家2018年用了x立方米天然气．
∵1563＞1173，∴小冬家2018年所用天然气超过了500立方米．
根据题意得 2.28×350＋2.5×（500−350）＋3.9（x−500）＝1563，解得x＝600．
答：小冬家2018年用了600立方米天然气．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．