2021-2022学年江苏省盐城市盐都区第一共同体八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省盐城市盐都区第一共同体八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

2. 若分式有意义，则的取值应满足

A.  B.  C.  D.

3. 平行四边形不一定具备的性质是

A. 对角互补 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分

4. 四边形是平行四边形，下列结论中正确的是

A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形 D. 当时，它是正方形

5. 一个不透明的盒子中装有个红球，个黄球和个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是

A.  B.  C.  D.

6. 下列各式中，从左到右的变形正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 下列说法正确的是

A. “清明时节雨纷纷”是必然事件
B. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上
C. 为了解某校学生身高情况，从中抽取了名学生进行调查，这名学生是总体的一个样本
D. 为了解一批医用口罩的过滤性能，适合采用抽样调查的方式进行

8. 如图，在中，，，点为外一点，连接、，点、分别为、的中点，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 如图，▱的对角线、相交于点，且，则的周长为______．

10. 将分式化为最简分式，所得结果是______．
11. 分式，的最简公分母是______．
12. 边长为的菱形，一条对角线长是，则菱形的面积是______ ．
13. 如图，在矩形中，，对角线的长为，作的垂直平分线交于点，连接，则的周长为______．
     

14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过正方形的顶点和，已知点的坐标为，则的值为______．
    
     

15. 如图，在矩形中，，，点为的中点，将沿着折叠至，延长交于点，则的长为______．
    
    
     

16. 如图，在矩形中，，，点以的速度从点出发向点运动，连接，以为边向右侧作正方形，连接、，若秒后的面积恰好为，则的值为______．

三、解答题（本大题共10小题，共72分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 化简，并从中选取合适的整数代入求值．
19. 如图，顺次连结四边形各边中点，，，，得到的四边形，求证：四边形是平行四边形．
    
     

20. 文具店购进了盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“”铅笔店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了支“”铅笔，具体数据见下表：

用等式写出，所满足的数量关系______ ；
从盒铅笔中任意选取盒：
“盒中没有混入铅笔”是______ 事件填“必然”、“不可能”或“随机”；
若“盒中混入支铅笔”的概率为，求和的值．

21. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，，．
    求证：四边形是矩形；
    连接，若，，求的长．
    
     

22. 年月日，“天空课堂”第二课开讲，神舟十三号飞行乘组航天员在中国空间站进行太空授课．某校为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：
    
    补全图条形统计图；
    扇形统计图中，“关注”对应扇形的圆心角为______；
    该校共有人，根据调查结果估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共多少人？
23. 下面是学习小组关于“平移、轴对称与旋转的关系”的探究过程，请你补充完整．
    
    三角形在平面直角坐标系中的位置如图所示，简称，请在图中画出绕其直角顶点顺时针旋转得到的图形，再画出将绕点逆时针旋转得到的图形；
    在图中，若关于轴的对称图形为，将关于直线对称的图形为可以发现将图形绕点______填写点的坐标顺时针旋转______，也可以得到图形；
    在图中，图形是由图形经过平移得到的，图形还可以看作是图形经过怎样的图形变化得到？下列结论：次旋转；次旋转和次轴对称；次旋转；次轴对称．其中正确结论的序号有______．
24. 如图，已知点在直线外，点在直线上，完成下列问题：
    请用无刻度的直尺和圆规，以线段为一条对角线作菱形，使菱形的边落在直线上要求保留作图痕迹，不写作法；
    若点到直线的距离为，的长为，求这个菱形的边长．
25. 如图，是一个等腰直角三角形零件其中，，它的两个端点、分别安装在矩形框架的边、上点、可以在边上滑动，且，小明在观察运动的过程中，给出了两个结论：与一定互补；点到边、的距离一定相等．
    
    小明给出的两个结论是否都正确？若结论是正确的，请写出证明过程，若结论不正确，请说明理由；
    请思考并解决小明提出的两个问题：
    问题：、两点间距离的最大值为______；
    问题：过点分别作，，垂足为点、，连接，那么长度的最小值为多少？
26. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．
    方法提炼
    若点、分别为、的中点，猜想线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由；
    
    类比探究
    如图，将矩形绕点顺时针旋转，旋转角为连接、，点为中点，线段与线段有怎样的数量关系？并说明理由；
    操作感知
    如图，在矩形绕点旋转的过程中，连接，点为中点．若，，求面积的最大值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】

【解析】解：，
．
故选：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的性质可知：、、均是平行四边形的性质，唯有是平行四边形不一定具备的性质．
故选：．
平行四边形性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．将四个选项与之对照，可知只有不符合，故选A．
此题主要考查对平行四边形的性质的掌握，熟记各个性质是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：A、当时，它是矩形，说法错误，不符合题意；
B、当时，它是菱形，说法正确，符合题意；
C、当且时，它是正方形，说法错误，不符合题意；
D、当且时，它是正方形，说法错误，不符合题意；
故选：．
根据矩形、菱形、正方形的判定方法和各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而可以解答本题．
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法．
 

5.【答案】

【解析】解：盒子中装有个红球，个黄球和个绿球，共有个球，
从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是；
故选：．
直接根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

6.【答案】

【解析】解：分子分母没有公因式，故不能约分，故A错误．
原式，故B错误．
分子分母没有同时乘以一个因式，故D错误．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

7.【答案】

【解析】解：、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故A不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，可能有一次正面朝上，故B不符合题意；
C、为了解某校学生身高情况，从中抽取了名学生进行调查，这名学生的身高情况是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、为了解一批医用口罩的过滤性能，适合采用抽样调查的方式进行，故D符合题意；
故选：．
根据必然事件，不可能事件，随机事件，全面调查与抽样调查，总体，个体，样本，样本容量，逐一判断即可．
本题考查了随机事件，全面调查与抽样调查，总体，个体，样本，样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：点、分别为、的中点，
，
，
，
在中，，
故选：．
根据三角形中位线定理求出，再根据勾股定理计算即可．
本题的是三角形中位线定理、勾股定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
根据平行四边形对角线互相平分，求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质，三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的性质：对角线互相平分，属于中考基础题．
 

10.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可．
本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：分式与的分母分别是、，故最简公分母是．
故答案为：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母或含字母的整式为底数的幂的因式都要取最高次幂．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的面积公式以及对角线之间的关系是解题关键．根据菱形对角线垂直且互相平分，即可得出菱形的另一条对角线的长，再利用菱形的面积公式求出即可．
【解答】
解：如图所示：

设 ， ，
，
，
，
菱形的面积是：
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
的垂直平分线交于点，
，
的周长，
故答案为：．
由勾股定理可求的长，由线段垂直平分线的性质可得，可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图所示：

则有，
，
是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，，
，
将，点坐标代入，
得，
解得，
故答案为：．
过点作轴于点，过点作轴于点，易证≌，根据全等三角形的性质，求出点坐标，待定系数法求解析式即可．
本题考查了一次函数与正方形的综合，构造全等三角形求出点的坐标是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，点为的中点，
，
四边形是矩形，
，
将沿着折叠至，
，，，，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
故答案为：．
由，点为的中点，得，根据将沿着折叠至，得，，，，而，有，即得，，设，则，在中可得，即可解得．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练利用勾股定理列方程解决问题．
 

16.【答案】

【解析】解：过作交于，过作交于，过作交于，交延长线于，过作于，延长交于，如图：

四边形是正方形，
，，
，
又，
≌，
，，
同理，，
，
，
四边形是矩形，
，，
四边形是正方形，，
，
，
，
，，
，，
，
根据题意得：，
解得，
故答案为：．
过作交于，过作交于，过作交于，交延长线于，过作于，延长交于，证明≌，可得，，同理，，由，可得，，又，，用的代数式表示出，根据的面积恰好为，列方程即可解得答案．
本题考查正方形中的动点问题，解题的根据是作辅助线，用含的代数式表示的面积．
 

17.【答案】解：；

；


．

【解析】先通分，然后分母不变，分子相加减即可；
先把除法转化为乘法，然后约分即可．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
 

18.【答案】解：



，
，，
，，
为整数，且满足，
，
当时，原式．

【解析】先算括号内的加法，把除法变成乘法，算乘法，最后求出答案即可．
本题考查了分式的混合运算与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

19.【答案】证明：连结，
点、是、的中点，
是的中位线；
，；
同理：，；
，
四边形是平行四边形．

【解析】连结，根据三角形中位线定理得到，，同理得到，；根据平行四边形的判定定理证明．
本题考查的是中点四边形、平行四边形的判定，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
 

20.【答案】解：观察表格发现：，
用等式写出，所满足的数量关系为，
故答案为：；
“盒中没有混入铅笔”是随机事件，
故答案为：随机；
“盒中混入支铅笔”的概率为，
，
，．

【解析】根据表格确定，满足的数量关系即可；
根据事件的性质进行解答即可；
利用概率公式列式计算即可．
此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 

21.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
解：四边形是菱形，
，，，，
，
，
由得：四边形是矩形，
，，
．

【解析】先证四边形为平行四边形，再由菱形的性质得，即可得出结论；
由勾股定理得出的长，然后由矩形的性质和勾股定理求出的长即可．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】

【解析】解：不关注、关注、比较关注的共有人，占调查人数的比例为：，
此次调查中接受调查的人数为人，
“比较关注”人数为：人，
补全统计图如图所示：

，
故答案为：；
人，
答：估计该校“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共有人．
从统计图中可以得到不关注、关注、比较关注的共有人，占调查人数的，可求出调查人数；接受调查的人数乘以非常关注的百分比即可得到非常关注的人数，即可补全统计图；
用乘以关注”的比例即可得到“关注”对应扇形的圆心角度数；
样本估计总体，用样本中“比较关注”及“非常关注”的所占比例，乘以该校人数人即可求解．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图中，三角形，即为所求；


如图中，三角形，即为所求，可以发现将图形绕点顺时针旋转，也可以得到图形；
故答案为：，；


如图中，观察图形可知，图形还可以看作是图形经过次旋转和次轴对称或次旋转得到，
故答案为：．

利用旋转变换，的性质作出图形即可；
利用轴对称变换，旋转变换的性质作出图形即可．
利用图象法，画出图形可得结论．
本题考查作图旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形，属于中考常考题型．
 

24.【答案】解：如图，菱形为所作；

如图，设菱形的边长为，
四边形为菱形，
，，，
点到直线的距离为，的长为，
，
，
，，
在中，，
解得，
即这个菱形的边长为．

【解析】连接，作的垂直平分线交直线于，交于点，然后截取，则四边形满足条件；
设菱形的边长为，根据菱形的性质得到，，，根据菱形的面积公式得到，则，接着在中利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
 

25.【答案】

【解析】解：都正确，证明如下：
四边形是矩形，
，
又，四边形内角和是，
，故正确；
过作于，于，如图：

且，
，
又，
，即，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，即点到边、的距离一定相等，故正确；
问题：连接，过点作于，如图：

由可知，，
四边形共圆，
，
，
当最大时，最大，
在中，，
当时，最大，即最大，如图：

是一个等腰直角三角形，
，
最大值为；
故答案为：；
问题：延长交于，如图：

，，
，
由点到边、的距离一定相等可知，，
设，则，
根据勾股定理可知，，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为．
由四边形是矩形，，即得，故正确；过作于，于，证明≌，可得，即点到边、的距离一定相等，故正确；
问题：连接，过点作于，由可知，，得四边形共圆，有，即得，当最大时，最大，而在中，，从而可得当时，最大，即最大，此时，即可知最大值为；
问题：延长交于，由点到边、的距离一定相等可知，，设，则，根据勾股定理得，故的最小值为．
本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，勾股定理及应用等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

26.【答案】解：方法提炼，理由如下：
连接，，

四边形是矩形，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．
点是、的交点，点是、的交点，且，，
是的中位线，
；
类比探究，理由如下：
延长到点，使，连接，，

点为中点，，
四边形是平行四边形，
，，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
操作感知过点作于，过点作于，

，
点为中点．
是的中位线，
，
由题意可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，则过圆心时，最大，即的值最大，
此时，点、、在同一直线上，，
，
在中，，
，
，
，
面积的最大值．

【解析】方法提炼根据矩形的性质得点是、的交点，点是、的交点，且，，根据三角形中位线定理即可得出结论；
类比探究延长到点，使，则四边形是平行四边形，证明≌，可得，即可得出；
操作感知过点作于，过点作于，由题意可得点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，则过圆心时，最大，即的值最大，求出，可得的值，利用三角形的面积公式即可求解．
本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及旋转的性质是解题的关键．