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2022-2023学年江苏省盐城市盐都区第一共同体九年级（下）第一次自主练习数学试卷(含解析)
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这是一份2022-2023学年江苏省盐城市盐都区第一共同体九年级（下）第一次自主练习数学试卷(含解析)，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省盐城市盐都区第一共同体九年级（下）第一次自主练习数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算中，结果与a3•a5相等的是（ ）
A．a4+a4 B．（a3）5 C．a9÷a D．a9﹣a
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣ B．2 C．2π D．
3．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度a，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
7．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
8．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：﹣3 （用“＞”“＝”“＜”号填空）．
10．中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是 ．
11．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝34°，则∠BED的度数为 ．
12．若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是 ．
13．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝ ．
14．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
15．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC＝6，O是AB边上一点，满足CA＝CO，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO上，连结BB′，交CC′的延长线于点F，则FB的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣（）﹣1+﹣4cos45°．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中a+2b＝﹣2．
20．某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如图所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生，扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为 °．
（2）请你补全条形统计图．
（3）某项目的4位同学中有2位女生（分别用E，F表示）和2位男生（分别用G，H表示），班主任准备从中选取两名同学进行访谈，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
21．关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求出此时方程的根．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面积．
23．某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．
（1）该商品的进价是多少？
（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？
24．图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16cm，宽AD＝12cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．
（1）求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．
参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.13°≈1.33，π取3.14．
25．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
26．【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．###
27．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
（1）已知点A（4，0）、点B（3，1），则d（∠xOy，A）＝ ，d（∠xOy，B）＝ ．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）＝4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y＝x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过A（5，0），与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算中，结果与a3•a5相等的是（ ）
A．a4+a4 B．（a3）5 C．a9÷a D．a9﹣a
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：a3•a5＝a8，
A、a4+a4＝2a4，故A不符合题意；
B、（a3）5＝a15，故B不符合题意；
C、a9÷a＝a8，故C符合题意；
D、a9与﹣a不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣ B．2 C．2π D．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、＝，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、2π是无理数，符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
3．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化，
中位数一定不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
5．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
解：A、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故B符合题意；
C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．
6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度a，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【分析】根据图形间的关系可得答案．
解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72°，即旋转角是72°的倍数，
故旋转角α的值不可能是36°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．
7．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【分析】S1与S2有一公共边，根据平行四边形可得，△EFA与△GFA的公共边上的高相等，进而可得出结论．
解：如图，作EM⊥FH，GN⊥FH，
S1＝FA•EM，S2＝FA•GN
根据△EFH与△GFH的面积相等，可得EM＝GN，
∴S1＝S2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质是解决此类问题的关键．解题时注意：同底等高的三角形的面积相等．
8．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】由x＝a，代数式的值为﹣1，可得（a+1）2+＝0，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
解：∵x＝a，代数式的值为﹣1，
∴a2+2a+＝﹣1，
∴（a+1）2+＝0，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，
＝（﹣a）2﹣2a+
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据非负数的性质求出a、n的值．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：﹣3 ＞ （用“＞”“＝”“＜”号填空）．
【分析】要比较的两个数为负数，则先比较它们绝对值的大小，在比较3和的大小时，先比较它们平方值的大小．
解：∵32＝9＜＝10，
∴3，
则﹣3．
故填空答案：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，如果比较的两个数为负数，则应先比较两数的绝对值，如果比较的两数带有根号，则先比较两数的平方值．本题先取两数的绝对值，在比较两数绝对值大小时比较它们的平方值大小，最终得到这两个数的大小关系．
10．中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是 3.89×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：389000＝3.89×105．
故答案为：3.89×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝34°，则∠BED的度数为 52° ．
【分析】由平行线的性质推知∠A＝∠D＝34°，然后由三角形外角性质解答．
解：∵AB∥CD，∠D＝34°，
∴∠A＝∠D＝32°，
∵∠B＝18°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝18°+34°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
12．若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是 ﹣3 ．
【分析】直接根据根与系数的关系解答即可．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，
∴x1x2＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝ 8 ．
【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝，求出a﹣b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
解：∵点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，
∴b＝a﹣2，b＝，
即a﹣b＝2，ab＝4，
∴原式＝ab（a﹣b）＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键．
14．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
【分析】延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据正切的定义求出sinD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．
解：延长BO交⊙O于点D，连接CD，
在Rt△BCD中，sin∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BAC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、正切的定义、圆周角定理，正确作出辅助性是解题的关键．
15．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 k＞﹣2且k≠﹣1 ．
【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．
解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝﹣k，
∴x＝k+2，
∵关于x的方程的解为正数，
∴k+2＞0，且x＝k+2≠1，
∴k＞﹣2且k≠﹣1．
故答案为：k＞﹣2且k≠﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解为正数的条件，要注意分式方程的解不能让分母等于0．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC＝6，O是AB边上一点，满足CA＝CO，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO上，连结BB′，交CC′的延长线于点F，则FB的长为 ．
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD＝DO，然后根据∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根据BO＝AB﹣AO代入数据求出BO，然后根据旋转的性质可得AC＝AC′，AB＝AB′，再根据旋转角得到∠CAC′＝∠BAB′，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABB′＝∠ACC′，从而求出∠BOF＝∠BFO，根据等角对等边的性质可得BF＝BO，从而得解．
解：过C作CD⊥AB于点D，
∵CA＝CO，
∴AD＝DO，
在Rt△ACB中，
∵AB＝3AC＝6，
∴AC＝2，
∴cos∠CAB＝＝＝，
∴AD＝AC＝，
∴AO＝2AD＝，
∴BO＝AB﹣AO＝6﹣＝，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，
∵∠ACC′＝（180°﹣∠CAC′），∠ABB′＝（180°﹣∠BAB′），
∴∠ABB′＝∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO＝∠CAO，
∵CA＝CO，
∴∠COA＝∠CAO，
又∵∠COA＝∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF＝∠BFO，
∴BF＝BO＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，以及锐角三角函数的应用，求出BO的长度之后，难点在于求BF＝BO．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣（）﹣1+﹣4cos45°．
【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：﹣（）﹣1+﹣4cos45°
＝﹣2+2﹣4×
＝﹣2+2﹣2
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式x﹣1＜x，得：x＜2，
解不等式2（1+x）＞x，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．先化简，再求值：，其中a+2b＝﹣2．
【分析】先把分式的化简，再整体代入求值．
解：
＝•
＝2（a+2b），
当a+2b＝﹣2时，
原式＝﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
20．某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如图所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生，扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为 86.4 °．
（2）请你补全条形统计图．
（3）某项目的4位同学中有2位女生（分别用E，F表示）和2位男生（分别用G，H表示），班主任准备从中选取两名同学进行访谈，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）用喜欢“声乐”的人数除以其所占的百分比即可得一共抽查的人数；用360°乘以“舞蹈”所占的百分比即可．
（2）用抽查的总人数分别减去喜欢“舞蹈”、“乐器”、“声乐”、“其他活动”的人数，即可求出喜欢“戏曲”的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）抽查的人数为8÷16%＝50（人），
扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为360°×＝86.4°．
故答案为：50；86.4．
（2）喜欢“戏曲”的人数为50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人）．
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种，分别为EG，EH，FG，FH，GE，GF，HE，HF，
∴恰好选中一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求出此时方程的根．
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴，
解得：m≤且m≠0，
∴m的取值范围为m≤且m≠0；
（2）∵m≤且m≠0，m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴此时方程的根为1和3．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，根据菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC＝4，AB＝DC＝4，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝2，求出OE＝2OF＝4，求出菱形的面积即可．
解：（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝8，
∴BC＝4，
∴AB＝DC＝4，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF＝BC＝2，
∴OE＝2OF＝4，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
23．某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．
（1）该商品的进价是多少？
（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？
【分析】（1）设该商品的进价是m元，利用总价＝单价×数量，结合两次购进数量之间的关系，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设该商品的进价是m元，
依题意得：500m＝30000﹣20000，
解得：m＝20．
答：该商品的进价是20元．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40．
答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16cm，宽AD＝12cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．
（1）求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．
参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.13°≈1.33，π取3.14．
【分析】（1）如图1，连接AC，BD相交于点O，根据tan∠ADB＝可求出∠ADB的度数，则可求出答案；
（2）在这个旋转过程中扫过的面积为扇形CDC'的面积，根据扇形的面积公式可求出答案．
解：（1）如图1，连接AC，BD相交于点O，O为矩形ABCD的中心，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝16，AD＝12，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABD中，
∴＝＝20，
∴⊙O的半径长为：OD＝BD＝（cm），
tan∠ADB＝＝≈1.33．
∴∠ADB＝53.13°．
∴∠DOC＝2∠ADB＝2×53.13°≈106.3°；
（2）如图2，∵S弓形DmC＝S弓形DnC'，
∴扫过的面积：S＝（cm2）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，扇形面积的计算，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）分别连接OC，OB，通过等弧所对圆心角相等可得∠EOC＝∠COF，再根据同弧所对圆周角是圆心角一半得出∠EDC＝∠CDF，再根据OD＝OC得出∠ODC＝∠OCD，推出OC||DB，再根据切线性质可证∠ABD＝90°．
（2）根据tan∠DAB＝可得AD＝5，再由△AOC∽△ADB，即可求出半径长度．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图所示：
∵CA为⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACO＝90°，
∵点C是弧EF的中点，
∴∠EOC＝∠COF，
又∵∠EDC＝∠EOC，∠CDF＝∠COF，
∴∠ODC＝∠CDF，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CDF，
∴OC||DB，
∴∠ABD＝∠ACO＝90°．
（2）∵BD＝3，tan∠DAB＝，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝5．
由图可知△AOC∽△ADB，
设半径为x，
∴
即，
解得x＝．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，正确转化角度关系是解决此题的关键．
26．【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 5 ，AC长等于 8 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 N 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系： m＝4a ．###
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、实数与数轴、作图﹣复杂作图，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
27．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
（1）已知点A（4，0）、点B（3，1），则d（∠xOy，A）＝ 4 ，d（∠xOy，B）＝ 4 ．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）＝4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y＝x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过A（5，0），与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点A（4，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，可得d（∠xOy，A）＝0+4＝4；然后根据点B（3，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可；
（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）＝4，可得x+y＝4，据此求出点P运动所形成的图形即可；
（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF＝1，然后设直线OT对应的函数关系式为y＝x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，），进而求出CH，OH的值各是多少；最后根据相似三角形判定的方法，判断出△HEC∽△HFO，即可判断出＝，据此求出EC的值，即可求出d（∠xOT，C）的值是多少．
②首先作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，则n＝﹣m2+2m+，然后判断出点K的坐标，以及HK，OK的大小，再判断出Rt△QGK∽Rt△OHK，即可判断出＝，据此求出QG＝；最后求出d（∠xOT，Q）的值，根据二次函数最值的求法，求出当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标即可．
解：（1）∵点A（4，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，
∴d（∠xOy，A）＝0+4＝4，
∵点B（3，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，
∴d（∠xOy，B）＝1+3＝4．
综上，可得d（∠xOy，A）＝4，d（∠xOy，B）＝4．
故答案为：4；4；
（2）设点P的坐标是（x，y），
∵d（∠xOy，P）＝4，
∴x+y＝4，
∴点P运动所形成的图形是线段y＝4﹣x（0≤x≤4），如图2所示：
（3）①如图3，作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF＝1，
，
∵直线OT对应的函数关系式为y＝x（x≥0），
∴点H的坐标为H（4，），
∴CH＝﹣1＝，OH＝＝＝，
∵CE⊥OT，
∴∠OHF+∠HCE＝90°，
又∵∠OHF+∠HOF＝90°，
∴∠HCE＝∠HOF，
在△HEC和△HFO中，∠HCE＝∠HOF，∠HEC＝∠HFO，
∴△HEC∽△HFO，
∴＝，
即＝＝＝，
∴EC＝，
∴d（∠xOT，C）＝+1＝；
②如图4，作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，
，
把A（5，0）代入y＝﹣x2+2x+c，得
﹣×52+2×5+c＝0．
解得c＝．
设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，
则n＝﹣m2+2m+，
∴点K的坐标为（m，m），QK＝m﹣n，
∴HK＝m，OK＝m．
∵Rt△QGK∽Rt△OHK，
∴＝．
∴QG＝，
∴d（∠xOT，Q）＝QG+QH
＝+n
＝m+n
＝m+（﹣m2+2m+）
＝﹣m2+m+1
＝−（m﹣4）2+．
∵3≤m≤5，
∴当m＝4时，d（∠AOB，Q）取得最大值．
此时，点Q的坐标为（4，）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
2022-2023学年江苏省盐城市盐都区第一共同体九年级（下）第一次自主练习数学试卷
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算中，结果与a3•a5相等的是（ ）
A．a4+a4 B．（a3）5 C．a9÷a D．a9﹣a
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣ B．2 C．2π D．
3．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
5．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度a，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
7．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
8．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：﹣3 （用“＞”“＝”“＜”号填空）．
10．中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是 ．
11．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝34°，则∠BED的度数为 ．
12．若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是 ．
13．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝ ．
14．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
15．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC＝6，O是AB边上一点，满足CA＝CO，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO上，连结BB′，交CC′的延长线于点F，则FB的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣（）﹣1+﹣4cos45°．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中a+2b＝﹣2．
20．某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如图所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 名学生，扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为 °．
（2）请你补全条形统计图．
（3）某项目的4位同学中有2位女生（分别用E，F表示）和2位男生（分别用G，H表示），班主任准备从中选取两名同学进行访谈，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
21．关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求出此时方程的根．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面积．
23．某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．
（1）该商品的进价是多少？
（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？
24．图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16cm，宽AD＝12cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．
（1）求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．
参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.13°≈1.33，π取3.14．
25．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
26．【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 ，AC长等于 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系： ．###
27．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
（1）已知点A（4，0）、点B（3，1），则d（∠xOy，A）＝ ，d（∠xOy，B）＝ ．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）＝4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y＝x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过A（5，0），与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．
参考答案
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
1．下列计算中，结果与a3•a5相等的是（ ）
A．a4+a4 B．（a3）5 C．a9÷a D．a9﹣a
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
解：a3•a5＝a8，
A、a4+a4＝2a4，故A不符合题意；
B、（a3）5＝a15，故B不符合题意；
C、a9÷a＝a8，故C符合题意；
D、a9与﹣a不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．在下列实数中，无理数是（ ）
A．﹣ B．2 C．2π D．
【分析】根据无理数的定义解答即可．
解：A、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B、＝，是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C、2π是无理数，符合题意；
D、，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
3．在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果要去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（ ）
A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数
【分析】根据平均数、众数、方差、中位数的概念判断．
解：去掉一个最高分和一个最低分，平均分、众数、方差可能发生变化，
中位数一定不发生变化，
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数、众数、方差、中位数的概念，掌握它们的概念是解题的关键．
4．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”（如图）．“阳马”的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
解：“阳马”的俯视图是一个矩形，还有一条看得见的棱，
故选：A．
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力与及考查视图的画法，看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
5．如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据比例的性质，可得答案．
解：A、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故A不符合题意；
B、由比例的性质，得3x＝4y与3x＝4y一致，故B符合题意；
C、由比例的性质，得4x＝3y与3x＝4y不一致，故C不符合题意；
D、由比例的性质，得xy＝12与3x＝4y不一致，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键．
6．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图2中的图案是由图1所示的基本图案以点O为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角度a，依次旋转五次而组成，则旋转角的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
【分析】根据图形间的关系可得答案．
解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72°，即旋转角是72°的倍数，
故旋转角α的值不可能是36°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，正确得出旋转角的度数是解题关键．
7．如图，点A在平行四边形的对角线上，试判断S1，S2之间的大小关系（ ）
A．S1＝S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．无法确定
【分析】S1与S2有一公共边，根据平行四边形可得，△EFA与△GFA的公共边上的高相等，进而可得出结论．
解：如图，作EM⊥FH，GN⊥FH，
S1＝FA•EM，S2＝FA•GN
根据△EFH与△GFH的面积相等，可得EM＝GN，
∴S1＝S2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平行四边形的面积问题，熟练掌握平行四边形的性质是解决此类问题的关键．解题时注意：同底等高的三角形的面积相等．
8．若x＝a，代数式的值为﹣1，则当x＝﹣a时，代数式的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．2 D．3
【分析】由x＝a，代数式的值为﹣1，可得（a+1）2+＝0，即得a＝﹣1，n＝2，即可得到答案．
解：∵x＝a，代数式的值为﹣1，
∴a2+2a+＝﹣1，
∴（a+1）2+＝0，
∴a＝﹣1，n＝2，
∴当x＝﹣a时，
＝（﹣a）2﹣2a+
＝12+2+0
＝3．
故选：D．
【点评】本题考查求代数式的值，解题的关键是根据非负数的性质求出a、n的值．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．比较大小：﹣3 ＞ （用“＞”“＝”“＜”号填空）．
【分析】要比较的两个数为负数，则先比较它们绝对值的大小，在比较3和的大小时，先比较它们平方值的大小．
解：∵32＝9＜＝10，
∴3，
则﹣3．
故填空答案：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，如果比较的两个数为负数，则应先比较两数的绝对值，如果比较的两数带有根号，则先比较两数的平方值．本题先取两数的绝对值，在比较两数绝对值大小时比较它们的平方值大小，最终得到这两个数的大小关系．
10．中国空间站在轨平均高度约389000m．用科学记数法表示这个数据是 3.89×105 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：389000＝3.89×105．
故答案为：3.89×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝34°，则∠BED的度数为 52° ．
【分析】由平行线的性质推知∠A＝∠D＝34°，然后由三角形外角性质解答．
解：∵AB∥CD，∠D＝34°，
∴∠A＝∠D＝32°，
∵∠B＝18°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝18°+34°＝52°．
故答案为：52°．
【点评】本题重点考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
12．若x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，则x1x2的值是 ﹣3 ．
【分析】直接根据根与系数的关系解答即可．
解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个根，
∴x1x2＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
13．点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，则a2b﹣ab2＝ 8 ．
【分析】把点A（a，b）分别代入一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝，求出a﹣b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
解：∵点A（a，b）是一次函数y＝x﹣2与反比例函数y＝的交点，
∴b＝a﹣2，b＝，
即a﹣b＝2，ab＝4，
∴原式＝ab（a﹣b）＝4×2＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键．
14．如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则sin∠BAC的值是 ．
【分析】延长BO交⊙O于点D，连接CD，根据正切的定义求出sinD，根据圆周角定理得到∠A＝∠D，得到答案．
解：延长BO交⊙O于点D，连接CD，
在Rt△BCD中，sin∠BDC＝＝＝，
由圆周角定理得：∠BAC＝∠BDC，
∴sin∠BAC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、正切的定义、圆周角定理，正确作出辅助性是解题的关键．
15．已知关于x的方程的解为正数，则k的取值范围为 k＞﹣2且k≠﹣1 ．
【分析】首先去分母，化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后结合题目条件即可求出k的取值范围．
解：去分母得x﹣2（x﹣1）＝﹣k，
∴x＝k+2，
∵关于x的方程的解为正数，
∴k+2＞0，且x＝k+2≠1，
∴k＞﹣2且k≠﹣1．
故答案为：k＞﹣2且k≠﹣1．
【点评】本题主要考查了分式方程的解为正数的条件，要注意分式方程的解不能让分母等于0．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3AC＝6，O是AB边上一点，满足CA＝CO，将△ABC绕点A顺时针旋转至△AB′C′，使点C′落在射线CO上，连结BB′，交CC′的延长线于点F，则FB的长为 ．
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD＝DO，然后根据∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根据BO＝AB﹣AO代入数据求出BO，然后根据旋转的性质可得AC＝AC′，AB＝AB′，再根据旋转角得到∠CAC′＝∠BAB′，然后根据三角形的内角和定理求出∠ABB′＝∠ACC′，从而求出∠BOF＝∠BFO，根据等角对等边的性质可得BF＝BO，从而得解．
解：过C作CD⊥AB于点D，
∵CA＝CO，
∴AD＝DO，
在Rt△ACB中，
∵AB＝3AC＝6，
∴AC＝2，
∴cos∠CAB＝＝＝，
∴AD＝AC＝，
∴AO＝2AD＝，
∴BO＝AB﹣AO＝6﹣＝，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，
∵∠ACC′＝（180°﹣∠CAC′），∠ABB′＝（180°﹣∠BAB′），
∴∠ABB′＝∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO＝∠CAO，
∵CA＝CO，
∴∠COA＝∠CAO，
又∵∠COA＝∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF＝∠BFO，
∴BF＝BO＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定理，以及锐角三角函数的应用，求出BO的长度之后，难点在于求BF＝BO．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出说明、推理过程或演算步骤）
17．计算：﹣（）﹣1+﹣4cos45°．
【分析】首先计算负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
解：﹣（）﹣1+﹣4cos45°
＝﹣2+2﹣4×
＝﹣2+2﹣2
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式x﹣1＜x，得：x＜2，
解不等式2（1+x）＞x，得：x＞﹣2，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．先化简，再求值：，其中a+2b＝﹣2．
【分析】先把分式的化简，再整体代入求值．
解：
＝•
＝2（a+2b），
当a+2b＝﹣2时，
原式＝﹣4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
20．某校音乐组决定围绕在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动”项目中，你最喜欢哪一项活动（每人只限一项）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制如图所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽查了 50 名学生，扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为 86.4 °．
（2）请你补全条形统计图．
（3）某项目的4位同学中有2位女生（分别用E，F表示）和2位男生（分别用G，H表示），班主任准备从中选取两名同学进行访谈，请用列表或画树状图的方法求恰好选中一男一女的概率．
【分析】（1）用喜欢“声乐”的人数除以其所占的百分比即可得一共抽查的人数；用360°乘以“舞蹈”所占的百分比即可．
（2）用抽查的总人数分别减去喜欢“舞蹈”、“乐器”、“声乐”、“其他活动”的人数，即可求出喜欢“戏曲”的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数和恰好选中一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：（1）抽查的人数为8÷16%＝50（人），
扇形统计图中喜欢“舞蹈”部分扇形的圆心角为360°×＝86.4°．
故答案为：50；86.4．
（2）喜欢“戏曲”的人数为50﹣12﹣16﹣8﹣10＝4（人）．
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种，分别为EG，EH，FG，FH，GE，GF，HE，HF，
∴恰好选中一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
21．关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求出此时方程的根．
【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论，结合m为正整数，可得出m的值，再其代入原方程，解之即可得出结论．
解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，
∴，
解得：m≤且m≠0，
∴m的取值范围为m≤且m≠0；
（2）∵m≤且m≠0，m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，
即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴此时方程的根为1和3．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用二次项系数非零及根的判别式Δ≥0，找出关于m的一元一次不等式组；（2）代入m的值，求出方程的解．
22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若∠BAC＝30°，AC＝8，求菱形OCED的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据矩形的性质求出OC＝OD，根据菱形的判定得出即可．
（2）解直角三角形求出BC＝4，AB＝DC＝4，连接OE，交CD于点F，根据菱形的性质得出F为CD中点，求出OF＝BC＝2，求出OE＝2OF＝4，求出菱形的面积即可．
解：（1）证明：∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，
∴OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝8，
∴BC＝4，
∴AB＝DC＝4，
连接OE，交CD于点F，
∵四边形ABCD为菱形，
∴F为CD中点，
∵O为BD中点，
∴OF＝BC＝2，
∴OE＝2OF＝4，
∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×4×4＝8．
【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：菱形的面积等于对角线积的一半．
23．某商店分别花20000元和30000元先后两次以相同的进价购进某种商品，且第二次的数量比第一次多500千克．
（1）该商品的进价是多少？
（2）已知该商品每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣10x+500，若想销售该商品每天获利2000元，该商店需将商品的售价定为多少？
【分析】（1）设该商品的进价是m元，利用总价＝单价×数量，结合两次购进数量之间的关系，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）利用销售该商品每天获得的利润＝每千克的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
解：（1）设该商品的进价是m元，
依题意得：500m＝30000﹣20000，
解得：m＝20．
答：该商品的进价是20元．
（2）依题意得：（x﹣20）（﹣10x+500）＝2000，
整理得：x2﹣70x+1200＝0，
解得：x1＝30，x2＝40．
答：该商店需将商品的售价定为30元或40元．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
24．图1是一种纸巾盒，由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图2是其侧面简化示意图，已知矩形ABCD的长AB＝16cm，宽AD＝12cm，圆弧盖板侧面所在圆的圆心O是矩形ABCD的中心，绕点D旋转开关（所有结果保留小数点后一位）．
（1）求所在⊙O的半径长及所对的圆心角度数；
（2）如图3，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点D旋转90°时，求在这个旋转过程中扫过的面积．
参考数据：tan36.87°≈0.75，tan53.13°≈1.33，π取3.14．
【分析】（1）如图1，连接AC，BD相交于点O，根据tan∠ADB＝可求出∠ADB的度数，则可求出答案；
（2）在这个旋转过程中扫过的面积为扇形CDC'的面积，根据扇形的面积公式可求出答案．
解：（1）如图1，连接AC，BD相交于点O，O为矩形ABCD的中心，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝16，AD＝12，
∴∠A＝90°，
在Rt△ABD中，
∴＝＝20，
∴⊙O的半径长为：OD＝BD＝（cm），
tan∠ADB＝＝≈1.33．
∴∠ADB＝53.13°．
∴∠DOC＝2∠ADB＝2×53.13°≈106.3°；
（2）如图2，∵S弓形DmC＝S弓形DnC'，
∴扫过的面积：S＝（cm2）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，扇形面积的计算，锐角三角函数等知识，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．
25．如图，DE是⊙O的直径，CA为⊙O的切线，切点为C，交DE的延长线于点A，点F是⊙O上的一点，且点C是弧EF的中点，连接DF并延长交AC的延长线于点B．
（1）求证：∠ABD＝90°；
（2）若BD＝3，tan∠DAB＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）分别连接OC，OB，通过等弧所对圆心角相等可得∠EOC＝∠COF，再根据同弧所对圆周角是圆心角一半得出∠EDC＝∠CDF，再根据OD＝OC得出∠ODC＝∠OCD，推出OC||DB，再根据切线性质可证∠ABD＝90°．
（2）根据tan∠DAB＝可得AD＝5，再由△AOC∽△ADB，即可求出半径长度．
【解答】（1）证明：连接OC，OF，如图所示：
∵CA为⊙O的切线，切点为C，
∴∠ACO＝90°，
∵点C是弧EF的中点，
∴∠EOC＝∠COF，
又∵∠EDC＝∠EOC，∠CDF＝∠COF，
∴∠ODC＝∠CDF，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠OCD＝∠CDF，
∴OC||DB，
∴∠ABD＝∠ACO＝90°．
（2）∵BD＝3，tan∠DAB＝，
∴AB＝4，
在Rt△ABD中，AD＝5．
由图可知△AOC∽△ADB，
设半径为x，
∴
即，
解得x＝．
【点评】本题主要考查圆的基本性质，正确转化角度关系是解决此题的关键．
26．【算一算】
如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示﹣3，点B表示1，则点C表示的数为 5 ，AC长等于 8 ；
【找一找】
如图②，点M、N、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数﹣1、+1，Q是AB的中点，则点 N 是这个数轴的原点；
【画一画】
如图③，点A、B分别表示实数c﹣n、c+n，在这个数轴上作出表示实数n的点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【用一用】
学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生．凌老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口．如果开放3个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的学生全部进校．在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？
爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+（m+4b），用点A表示；将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作﹣8a，用点B表示．
①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+（m+2b）、﹣12a的点F、G，并写出+（m+2b）的实际意义；
②写出a、m的数量关系： m＝4a ．###
【分析】（1）根据数轴上点A对应﹣3，点B对应1，求得AB的长，进而根据AB＝BC可求得AC的长以及点C表示的数；
（2）可设原点为O，根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB＝2，可得AQ＝BQ＝1，结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点；
（3）设AB的中点为M，先求得AB的长度，得到AM＝BM＝n，根据线段垂直平分线的作法作图即可；
（4）①根据每分钟进校人数为b，每个通道每分钟进入人数为a，列方程组，根据m+2b＝OF，m+4b＝12a，即可画出F，G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②解①中的方程组，即可得到m＝4a．
解：（1）【算一算】：记原点为O，
∵AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴AB＝BC＝4，
∴OC＝OB+BC＝5，AC＝2AB＝8．
所以点C表示的数为5，AC长等于8．
故答案为：5，8；
（2）【找一找】：记原点为O，
∵AB＝+1﹣（﹣1）＝2，
∴AQ＝BQ＝1，
∴OQ＝OB﹣BQ＝+1﹣1＝，
∴N为原点．
故答案为：N．
（3）【画一画】：记原点为O，
由AB＝c+n﹣（c﹣n）＝2n，
作AB的中点M，
得AM＝BM＝n，
以点O为圆心，
AM＝n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E，
则点E即为所求；
（4）【用一用】：在数轴上画出点F，G；
∵4分钟内开放3个通道可使学生全部进校，
∴m+4b＝3×a×4，即m+4b＝12a（Ⅰ）；
∵2分钟内开放4个通道可使学生全部进校，
∴m+2b＝4×a×2，即m+2b＝8a（Ⅱ）；
①以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴的正半轴于点F，则点F即为所求．
作OB的中点E，则OE＝BE＝4a，在数轴负半轴上用圆规截取OG＝3OE＝12a，
则点G即为所求．
+（m+2b）的实际意义：2分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；
②方程（Ⅱ）×2﹣方程（Ⅰ）得：m＝4a．
故答案为：m＝4a．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、实数与数轴、作图﹣复杂作图，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
27．如图1，对于平面上小于或等于90°的∠MON，我们给出如下定义：若点P在∠MON的内部或边上，作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则将PE+PF称为点P与∠MON的“点角距”，记作d（∠MON，P）．如图2，在平面直角坐标系xOy中，x、y正半轴所组成的角记为∠xOy．
（1）已知点A（4，0）、点B（3，1），则d（∠xOy，A）＝ 4 ，d（∠xOy，B）＝ 4 ．
（2）若点P为∠xOy内部或边上的动点，且满足d（∠xOy，P）＝4，在图2中画出点P运动所形成的图形．
（3）如图3与图4，在平面直角坐标系xOy中，射线OT的函数关系式为y＝x（x≥0）．
①在图3中，点C的坐标为（4，1），试求d（∠xOT，C）的值；
②在图4中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过A（5，0），与射线OT交于点D，点Q是A，D两点之间的抛物线上的动点（点Q可与A，D两点重合），求c的值和当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点A（4，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，可得d（∠xOy，A）＝0+4＝4；然后根据点B（3，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，求出d（∠xOy，B）的值是多少即可；
（2）首先设点P的坐标是（x，y），然后根据d（∠xOy，P）＝4，可得x+y＝4，据此求出点P运动所形成的图形即可；
（3）①首先作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF＝1，然后设直线OT对应的函数关系式为y＝x（x≥0），求出点H的坐标为H（4，），进而求出CH，OH的值各是多少；最后根据相似三角形判定的方法，判断出△HEC∽△HFO，即可判断出＝，据此求出EC的值，即可求出d（∠xOT，C）的值是多少．
②首先作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，则n＝﹣m2+2m+，然后判断出点K的坐标，以及HK，OK的大小，再判断出Rt△QGK∽Rt△OHK，即可判断出＝，据此求出QG＝；最后求出d（∠xOT，Q）的值，根据二次函数最值的求法，求出当d（∠xOT，Q）取最大值时点Q 的坐标即可．
解：（1）∵点A（4，0）到x轴的距离是0，到y轴的距离是4，
∴d（∠xOy，A）＝0+4＝4，
∵点B（3，1）到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，
∴d（∠xOy，B）＝1+3＝4．
综上，可得d（∠xOy，A）＝4，d（∠xOy，B）＝4．
故答案为：4；4；
（2）设点P的坐标是（x，y），
∵d（∠xOy，P）＝4，
∴x+y＝4，
∴点P运动所形成的图形是线段y＝4﹣x（0≤x≤4），如图2所示：
（3）①如图3，作CE⊥OT于点E，CF⊥x轴于点F，延长FC交OT于点H，则CF＝1，
，
∵直线OT对应的函数关系式为y＝x（x≥0），
∴点H的坐标为H（4，），
∴CH＝﹣1＝，OH＝＝＝，
∵CE⊥OT，
∴∠OHF+∠HCE＝90°，
又∵∠OHF+∠HOF＝90°，
∴∠HCE＝∠HOF，
在△HEC和△HFO中，∠HCE＝∠HOF，∠HEC＝∠HFO，
∴△HEC∽△HFO，
∴＝，
即＝＝＝，
∴EC＝，
∴d（∠xOT，C）＝+1＝；
②如图4，作QG⊥OT于点G，QH⊥x轴于点H，交OT于点K，
，
把A（5，0）代入y＝﹣x2+2x+c，得
﹣×52+2×5+c＝0．
解得c＝．
设点Q的坐标为（m，n），其中3≤m≤5，
则n＝﹣m2+2m+，
∴点K的坐标为（m，m），QK＝m﹣n，
∴HK＝m，OK＝m．
∵Rt△QGK∽Rt△OHK，
∴＝．
∴QG＝，
∴d（∠xOT，Q）＝QG+QH
＝+n
＝m+n
＝m+（﹣m2+2m+）
＝﹣m2+m+1
＝−（m﹣4）2+．
∵3≤m≤5，
∴当m＝4时，d（∠AOB，Q）取得最大值．
此时，点Q的坐标为（4，）．
【点评】此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；还考查了相似三角形判定的方法和性质的应用，“点角距”的含义和求法以及二次函数最值的求法，要熟练掌握．
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