江苏省盐城市盐都区第一共同体2020-2021学年八年级（下）第三次学情调研数学试卷（含解析）

江苏省盐城市盐都区第一共同体2020-2021学年八年级（下）第三次学情调研数学试卷

一．选择题（本题共8小题，共24分）

1. 在中，是分式的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 已知反比例函数，下列结论不正确的是

A. 图象必经过点 B. 随的增大而增大
C. 图象在第二、四象限 D. 当时，

3. 如果把分式中的，都扩大倍，那么分式的值

A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小倍 D. 扩大倍

4. 函数与在同一坐标系中的图象可能是

A.  B.  C.  D.

5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

6. 若成立，则满足的条件是

A.  B.  C.  D.

7. 某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强与受力面积之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，平行四边形的对角线、交于点，点的坐标为，轴，若函数的图象经过平行四边形的顶点，则点的坐标为

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共24分）

9. 要使二次根式有意义，则应满足条件______．
10. 当 ______ 时，函数的图象在第二、四象限内．
11. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，则其另一个交点坐标为______ ．
12. 若分式的值为，则 ______ ．
13. 如果方程有增根，则______．
14. 化简式子______．
15. 已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是______．
16. 如图，、是双曲线上的点，点在轴上，是线段的中点，则的值为______．
    
    
    
     

三．计算题（本题共2小题，共16分）

17. 计算：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共9小题，共86分）

19. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    求的面积；
    结合图象直接写出不等式的解集．
    
     

22. 某学校为丰富同学们的课余生活，购买了一批数量相等的象棋和围棋兴趣小组使用，其中购买象棋用了元，购买围棋用了元，已知每副围棋比每副象棋贵元．
    求每副围棋和象棋各是多少元？
    若该校决定再次购买同种围棋和象棋共副，且再次购买的费用不超过元，则该校最多可再购买多少副围棋？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，、在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，．
    求反比例函数的解析式；
    在轴上是否存在一点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    连接，在线段上是否有一点，使得的面积为，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温与时间成一次函数关系；停止加热过了分钟后，水壶中水的温度与时间近似于反比例函数关系如图已知水壶中水的初始温度是，降温过程中水温不低于．
    分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量的取值范围：
    从水壶中的水烧开降到就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？
    
    
    
    
    
    
     
25. 问题背景：
    在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格每个小正方形的边长为，再在网格中画出格点即三个顶点都在小正方形的顶点处如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
    请你将的面积直接填写在横线上______；
    
    思维拓展：
    我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、，请利用图的正方形网格每个小正方形的边长为画出相应的并求出它的面积．
    探索创新：
    若三边的长分别为、、，请利用图的正方形网格每个小正方形的边长为画出相应的，并求出它的面积．
    若三边的长分别为、、，且，试运用构图法求出这个三角形的面积．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．
    ______；______；
    若点在轴上，且的面积等于，求点的坐标；
    点是线段上一点不与、重合，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图象于点，连接、、，若的面积为，求点的坐标；
    将第小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点的对应点恰好落在该反比例函数图象上如图，请直接写出点的对应点的坐标．

27. 如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上一点，作轴于点，轴于点，得正方形的面积为．
    求点的坐标及反比例函数的解析式；
    
    点是第一象限内双曲线上一点，请问：是否存在一条过点的直线与轴正半轴交于点，使得？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由；
    
    连，将直线沿轴平移，交轴正半轴于，交轴正半轴于点如图所示，轴交双曲线于点，轴于点，交于，是的中点，连接、下列结论：的值不变；的值不变．可以证明，其中有且只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：的分母中含有字母，属于分式，其他的属于整式．
故选：．
利用分式的概念：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式，进行解答即可．
此题主要考查了分式，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、图象必经过点，说法正确，不符合题意；
B、，每个象限内，随的增大而增大，说法不正确，符合题意；
C、，图象在第二、四象限内，说法正确，不符合题意；
D、若，则，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大进行分析即可．
本题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，随的增大而增大．
 

3.【答案】
 

【解析】解：

，即分式的值不变，
故选：．
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数或除以同一个不等于的数，分式的值不变．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，矛盾；
B、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，一致；
C、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，矛盾；
D、由函数的图象可知，，由函数的图象可知，矛盾；
故选：．
先根据一次函数的性质判断出取值，再根据反比例函数的性质判断出的取值，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

5.【答案】
 

【解析】解：反比例函数的解析式是，，
函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，
点，，在反比例函数的图象上，
点和在第二象限，点在第四象限，
，
故选：．
根据反比例函数的性质得出函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，即可比较，，的大小．
本题考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，
，解得．
故选：．
利用二次根式的性质得到，利用绝对值的意义得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：观察图象易知与之间的是反比例函数关系，设，
由于在此函数的图象上，
，
．
故选：．
由于压强压力受力面积，可设，由点在函数图象上，先求得的值．
考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
 

8.【答案】
 

【解析】解：轴，点的坐标为，
点纵坐标与点纵坐标相等为，
将代入中得：
，
即点坐标为，
平行四边形的对角线、交于点，
点为中点，
点坐标为，
即．
故选：．
点纵坐标与点纵坐标相等，将代入解析式可得点坐标，再根据中点坐标公式求解．
本题考查反比例函数图象上点的坐标的特点，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握坐标系中的中点坐标公式．
 

9.【答案】
 

【解析】解：根据二次根式有意义得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于，就可以求解．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数是解决问题的关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：函数的图象在第二、四象限内．
，
．
由双曲线在第二、四象限，可知即可解答．
本题考查了反比例函数图象与性质，熟记，图象位于第二、四象限是解题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
两函数的交点关于原点对称，
一个交点的坐标是，
另一个交点的坐标是．
故答案为：．
根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称进行解答即可．
本题考查的是正比例函数与反比例函数的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：由题可得，，且，
解得，且，
，
故答案为：
根据分式值为零的条件可得：，且，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

13.【答案】
 

【解析】解：方程两边同时乘以可得，
，
方程有增根，
将代入，
可得．
故答案为：．
先化简原式，再将代入求解．
本题考查分式方程增根问题，解题关键是熟练掌握增根的含义及解分式方程的方法．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，
所以，
所以．
故答案为．
先根据二次根式有意义的条件得到，然后利用二次根式的性质化简．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
 

15.【答案】且
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程的解为正数，得到且，
解得：且．
故答案为：且．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为正数求出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设，，
．，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
首先设，，根据中点坐标公式得．，再根据反比例函数定义得，
求出、关系，根据，列出算式，求出的值．
本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数的几何意义列出算式是解题的关键．
 

17.【答案】解：



；



．
 

【解析】先进行通分，再进行加减运算即可；
先通分，能分解的进行分解，把除法转化为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

18.【答案】解：原式
；
原式



．
 

【解析】根据二次根式乘除法运算法则进行计算；
根据二次根式乘除法运算法则进行计算．
本题考查二次根式的乘除法运算，掌握二次根式乘除法运算法则是解题关键．
 

19.【答案】解：方程两边同乘，得，



解得 ，
当时，，
 是原方程的解．
方程两边同乘 ，得 

解得 ，
当时，，
 是方程的增根，
原方程无解．
 

【解析】本题主要考查解分式方程，要将分式方程转化为元一次方程是解题的关键，要注意验根．
方程两边同乘，得关于的一元一次方程，解方程可求解值，最后验根即可；
方程两边同乘 ，得关于的一元一次方程，解方程可求解值，最后验根即可．
 

20.【答案】解：


，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

21.【答案】解：反比例函数的图象经过点，
，
点在反比例函数图象上，
．
，
把，的坐标代入，则，
解得，，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
如图，设直线交轴于，

则，
；
观察函数图象知，
不等式的解集为或．
 

【解析】利用待定系数法求解即可；
设直线交轴于，则，根据求解即可；
观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，本题属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设每副围棋元，则每副象棋元，
根据题意，得．
解得．
经检验是所列方程的根．
所以．
答：每副围棋元，每副象棋元；
设再次购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意，得．
解得．
因只能取整数，
故最大值是．
答：该校最多可再购买副围棋．
 

【解析】设每副围棋元，则每副象棋元，根据元购买象棋数量元购买围棋数量列出方程并解答；
设购买围棋副，则购买象棋副，根据题意列出不等式并解答．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的数量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：、在反比例函数的图象上，
，
即，
，
，
，，
点，点，
，
反比例函数的表达式为；
存在，理由如下：
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时有最小值，

设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点．
设点，
，，，，
，
，
点．
 

【解析】将点，点坐标代入可求，由，即可求解；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解；
由面积和差关系列出等式，即可求解．
本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，面积公式，最短距离等知识，灵活运用这些知识解决问题是本题的关键．
 

24.【答案】解：停止加热时，设，
由题意得：，
解得：，
，
当时，解得：，
点坐标为，
点坐标为，
当加热烧水时，设，
由题意得：点得坐标是，代入上式得，
解得：，
当加热烧水，函数关系式为；
当停止加热，得与的函数关系式为；；
把代入，得，
因此从烧水开到泡茶需要等待分钟．
 

【解析】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，难度不大．
将点的坐标代入反比例函数的一般形式利用待定系数法确定反比例函数的解析式，然后求得点和点的坐标，从而用待定系数法确定一次函数的解析式；
将代入反比例函数的解析式，从而求得答案．
 

25.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：；

如图，如图所示．

．

如图，即为所求．

．

如图，即为所求．

．
利用分割法求三角形的面积即可；
利用网格图，构造三角形，利用分割法求解即可；
利用网格图，构造三角形，利用分割法求解即可；
构造特殊四边形，利用分割法求解即可．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分割法求三角形面积．
 

26.【答案】 
 

【解析】解：在反比例函数的图象上，
，
，
过点，
，
．
故答案为：，；
直线的解析式：，当时，，
，
过作轴于，设，

，
，
，
，
或，
或；
设直线的解析式：，
，
，
，
设交于，，
，
，
，
，
；

，
直线解析式：，
，
，，
，
，轴，在上，
，
向左平移个单位，再向上平移个单位得，
向左平移个单位再向上平移个单位得，

用待定系数法即可求解；
先得点的坐标，过作轴于，设，利用三角形的面积和差关系可得答案；
先得解析式，设交于，，根据，即可求解；
根据，得直线：，联立方程求解，然后根据点的平移规律可得答案．
本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，图形的平移，面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
 

27.【答案】解：正方形的面积为，
；分
将点代入反比例函数中，得反比例函数的解析式：；分

将代入得：；
设存在点，延长交轴于点；
，，
；
而，
≌，；
而，，
直线的解析式为；
当时，，
，
故D，
直线的解析式为：

选，值为．
连，
，
，而是的斜边中点，
；
，
≌；
；
．
 

【解析】根据正方形的面积公式可以确定正方形的边长，也可以知道的坐标，代入就可以求出解析式了；
首先根据的解析式确定的坐标，设存在点，延长交轴于点，然后利用正方形的性质和已知条件可以证明≌，这样可以得到，而直线的解析式可以求出，也可以求出的长，就求出的长，也求出了的坐标，这样再用待定系数法就可以求出直线的解析式了．
因为，所以，而是的斜边中点，可以得到，还有，这样可以证明≌，最后得到，所以是正确的．
此题比较难，综合性很强，把全等三角形的性质与判定，正方形的性质，待定系数法确定函数的解析式，还有平移的知识都结合起来，综合利用它们解题．