2021-2022学年安徽省安庆外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省安庆外国语学校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 下列式子属于最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程是一元二次方程的是

A.
B.
C.
D. 、、为常数

3. 下列四组数：，，；，，；，，；，，其中勾股数的组数为

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

4. 下列变形正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 电影长津湖上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，将增长率记作，则方程可以列为

A.  B.
C.  D.

6. 已知，是方程的两根，则代数式的值等于

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在行距、列距都是的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于

A.
B.
C.
D.

8. 直角三角形的两边长分别为，，且，满足，则此三角形的第三长为

A.  B.  C.  D. 或

9. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______．
12. 用配方法解一元二次方程，可以写成的形式，则______．
13. 对于实数、，定义一种运算“”为：如果关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值______．
14. 在中，，，是的中点，是腰上一点，把沿折叠得到，
    当时，______；
    当时，的长度为______．

三、解答题（本大题共9小题，共90分）

15. 计算：
    ；
    ．
16. 用适当的方法解方程
    ；
    ．
17. 已知，求的值．
18. 年冬奥会在北京举办．冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品自亮相以来好评不断，出现了“一墩难求”的现象．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个“冰墩墩”进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个．当“冰墩墩”的销售单价定为多少元时，商家每天销售“冰墩墩”获得的利润元？
19. 如图，每个小正方形的边长都为．
    求四边形的周长及面积；
    连接，判断的形状．

20. 已知关于的方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若方程的两实数根分别为，，且，求的值．
21. 如图，利用一面墙墙最长可利用，围成一个矩形花园，与墙平行的一边上要预留宽的入口如图中所示，不用砌墙，现有砌长的墙的材料．
    当矩形的长为多少米时，矩形花园的面积为；
    能否围成面积为的矩形花园，为什么？

22. 阅读材料，回答问题：
    观察下列各式
    ；
    ；
    ．
    请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题：
    猜想：____________；
    归纳：根据你的观察、猜想，写出一个用为正整数表示的等式：______；
    应用：用上述规律计算．
23. 阅读理解：
    【问题情境】
    教材中小明用张全等的直角三角形纸片拼成图，利用此图，可以验证勾股定理吗？
    【探索新知】
    从面积的角度思考，不难发现：
    大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积
    从而得数学等式：______；用含字母、、的式子表示
    化简证得勾股定理：
    【初步运用】
    如图，若，则小正方形面积：大正方形面积______；
    现将图中上方的两直角三角形向内折叠，如图，若，此时空白部分的面积为______；
    【迁移运用】
    如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边、、之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
    知识补充：如图，含的直角三角形，对边：斜边定值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式．
 

2.【答案】

【解析】解：、，是一元二次方程，符合题意；
B、，含有两个未知数，最高次数是，不是一元二次方程，不符合题意；
C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、、、为常数，一次项系数可以为任意数，二次项系数一定不能为，此方程才为一元二次方程，但题目中并没给出这个条件，故此方程不一定是一元二次方程，不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的概念判断即可．
本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，，中，三个数不都是整数，不是勾股数，；
，，
则，
，，是一组勾股数；
，
，，是一组勾股数；
，
，，不是一组勾股数；
故选：．
根据勾股数的概念判断即可．
本题考查的是勾股数的概念，满足的三个正整数，称为勾股数．
 

4.【答案】

【解析】解：：原式，不符合题意；
：原式，不符合题意；
：原式，符合题意；
：原式，不符合题意；
故选：．
：等式右边没有意义；
：被开方数是带分数时先化为假分数，然后再开方；
：正确；
：被开方数先化为平方差的形式，然后再开方．
本题主要考查了二次根式的乘法、二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的运算法则，二次根式的化简是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
第一天为，根据增长率为得出第二天为，第三天为，根据三天累计为，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：是方程的两根，
，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
 

7.【答案】

【解析】解：，故可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；
，故不可能是“格点线”的长度，故选项D符合题意；
故选：．
根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
 

8.【答案】

【解析】解：，满足，
，，
，，
直角三角形的第三边长，或直角三角形的第三边长，
直角三角形的第三边长为或，
故选：．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

9.【答案】

【解析】解：，
，，
则



．
故选：．
直接利用二次根式有意义的条件得出，的值，进而利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确运用积的乘方运算法则是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：由题意：，，


正方形、、的面积依次为、、，
，
．
故选：．
根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

11.【答案】

【解析】解：
根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
 

12.【答案】

【解析】解：原方程可以化为：，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
配方，得．
故答案为：．
方程利用完全平方公式化简，即可得到结果．
此题考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

13.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
整理得，
根据题意得且，
．
故答案为．
利用新定义得到，再把方程化为一般式，然后根据判别式的意义得到且，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
沿折叠得到，
，，
，
，
，
，
故答案为：；
如图，

，，
，，
是的中点，
，
沿折叠得到，
，
，
，
，
，
故答案为：．
画出图形，由可得，由折叠性质可得，即可求解；
由折叠性质可得，从而可得，进而得出即可求解．
本题考查等腰直角三角形的性质，折叠的性质等知识点，解题的关键是利用折叠性质得出对应角相等，从而求出角的度数．
 

15.【答案】解：原式
；
原式

．

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式得到，然后合并同类二次根式即可；
先把各二次根式化为最简二次根式，算根据二次根式的乘除法，再合并即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的相关法则．
 

16.【答案】解：，
，
所以，；
．
，
或，
所以，．

【解析】利用公式法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．
 

17.【答案】解：，
，，
，，
原式

【解析】先将条件变形为：，，然后将结论变形，最后将化简后的条件代入变形后的式子就可以求出其值．
本题考查了二次根式的分母有理化，完全平方公式的运用和平方差公式的运用．
 

18.【答案】解：设“冰墩墩”的销售单价定为元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：当“冰墩墩”的销售单价定为元时，商家每天销售“冰墩墩”获得的利润元．

【解析】设“冰墩墩”的销售单价定为元，则每个的销售利润为元，每天可售出个，利用商家每天销售“冰墩墩”获得的利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据勾股定理得，，，，
故四边形的周长为；
面积为；
连接，
，，，
，
，
是直角三角形．

【解析】利用勾股定理求出、、和的长，即可求出四边形的周长；利用分割法即可求出四边形的面积；
连接，求出的长，利用勾股定理的逆定理即可证明出结论．
本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理以及逆定理的应用，此题难度不大．
 

20.【答案】解：关于的方程有两个实数根，
，
解得：．
方程的两实数根分别为，，
，．
，
，
，
解得：，．
又，
．

【解析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：由方程解的个数结合根的判别式找出；利用根与系数的关系找出．
根据方程的系数结合根的判别式即可得出，解之即可得出结论；
由根与系数的关系可得，、，结合即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，再由的结论即可确定值．
 

21.【答案】解：设，则 ，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又墙最长可利用，
．
答：当矩形的长为时，矩形花园的面积为．
不能围成面积为的矩形花园，理由如下：
设，则 ，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又墙最长可利用，
，均不符合题意，舍去，
不能围成面积为的矩形花园．

【解析】设，则 ，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙最长可利用，即可得出结论；
不能围成面积为的矩形花园，设，则 ，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合墙最长可利用，即可得出不能围成面积为的矩形花园．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：根据题意可得：；
故答案为：，；
根据题意可得：；
故答案为：；



．
根据题目所给的例题可知可化为，计算即可得出答案；
根据题意可知规律为，可化为，计算即可得出答案；
根据题意可化为，根据有理数加法计算即可得出答案．
本题主要考查了数字的变化类规律型及二次根式的性质与化简，根据题意理解题目所给的规律应用二次根式的性质进性计算是解决本题的关键．
 

23.【答案】  ： 

【解析】解：探索新知由题意：大正方形的面积，
，


【初步运用】由题意：，，
小正方形面积：大正方形面积：：，
故故答案为：．

空白部分的面积为．
故答案为．

迁移运用结论：．
理由：由题意：大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积
可得：，

．
【探索新知】根据大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】如图，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可．
本题考查勾股定理的证明以及运用，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．