2021-2022学年安徽省安庆四中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省安庆四中八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共40分）

1. 下列二次根式是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 关于的一元二次方程有实数根，则满足

A.  B. 且 C. 且 D.

3. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 设，在两个相邻整数之间，则这两个整数是

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

5. 一元二次方程的解为

A.  B.
C. 或 D.  且

6. 一元二次方程配方后可变形为

A.  B.  C.  D.

7. 若与互为相反数，则的值为    

A.  B.  C.  D.

8. 一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为

A.  B.  C.  D.

9. 有一个三角形两边长为和，要使三角形为直角三角形，则第三边长为

A.  B.  C. 或 D. 或

10. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，，则斜边的长是

1. 
   B.
   C.
   D.

二．填空题（本题共4小题，共20分）

11. 当时，式子的值为______．
12. 计算的结果是______．
13. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，所列方程是______．
14. 如图，四边形中，，，是的中点，若，，则四边形的面积为______ ．
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

15. 计算：．

四．解答题（本题共8小题，共82分）

16. 用配方法解方程：．
17. 关于的一元二次方程有两个实数根．
    求的取值范围；
    若为正整数，求此方程的根．
18. 如图，在的网格中，小正方形的边长为，连接三个格点得到．
    求的周长．
    边上的高是多少？
    
     

19. 先观察下列等式，再回答问题：
    ；
    ；
    ；
    
    根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
    请按照上面各等式规律，试写出用为正整数表示的等式，并用所学知识证明．
20. 如图，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求、两点的坐标．
21. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克．在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克茶叶应降价多少元？
22. 如果，是一元二次方程两根，那么，，这就是著名的韦达定理．
    已知，是方程的两根，不解方程计算：
    ；
    ．
23. 阅读理解：
    【问题情境】
    教材中小明用张全等的直角三角形纸片拼成图，利用此图，可以验证勾股定理吗？
    【探索新知】
    从面积的角度思考，不难发现：
    大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积．
    从而得数学等式：，化简证得勾股定理：．
    【初步运用】
    如图，若，则小正方形面积：大正方形面积 ______ ；
    现将图中上方的两直角三角形向内折叠，如图，若，，此时空白部分的面积为______ ；
    
    如图，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓实线的周长为，，求该风车状图案的面积．
    如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则 ______ ．
    【迁移运用】
    如果用三张含的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？
    带着这个疑问，小丽拼出图的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含的三角形三边、、之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
    知识补充：
    如图，含的直角三角形，对边：斜边定值．
    答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查的是最简二次根式的定义，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】

【解析】解：由已知得：，
解得：且．
故选：．
由方程有实数根可知根的判别式，结合二次项的系数非零，可得出关于一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
，即．
故选：．
先估算出的取值范围，再由不等式的基本性质即可得出结论．
本题考查的是估算无理数的大小，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：方程移项得：，
分解因式得：，
解得：或，
故选：．
方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，代数式的值，完全平方公式，相反数 根据相反数的定义得到 ，再根据非负数的性质得 ， ，然后利用完全平方公式变形得到 ，求出 ，再求出 ，最后计算它们的和即可．
【解答】

解：根据题意得 ，
， ，
即 ， ，
， ，
．
故选 A ．

8.【答案】

【解析】解：如图，为圆桶底面直径，是桶高，
，，
线段的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，
．
故桶内所能容下的最长木棒的长度为．
故选：．
圆桶内容下的木棒最长时，木棒、圆桶的直径、桶高三者正好构成一个直角三角形，根据勾股定理即可求解．
本题是勾股定理在实际生活中的应用，把木棒、圆桶的直径、桶高三者转化成一个直角三角形是解决问题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：当边长和是直角边长时，则第三边的长是；
当边长是斜边长时，则第三边的长是．
故选D．
要使三角形为直角三角形，则该三角形其中两边的平方和等于第三边的平方．此题考虑两种情况：第三边是直角边或斜边．
此题要能够熟练运用勾股定理的逆定理，不要漏掉一种情况．
 

10.【答案】

【解析】解：设，则，
，
，
，
，
，
，
故选：．
设，则，求得，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式
，
当时，
原式

．
故答案为：．
原式配方后，利用完全平方公式化简，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．
根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：原式 ．   

13.【答案】

【解析】解：设每次降价的百分率为，
由题意得，．
故答案为：．
设每次降价的百分率为，根据题意可得，降价的百分率，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
 

14.【答案】

【解析】解：延长、交于点．

，
，．
又，
≌．
，．
又，，
，．
．
梯形的面积为．
故答案为：．
延长、交于点根据可以证明≌，则，；根据，得，根据勾股定理，得，联立求得的值，即可求得梯形的面积．
此题综合运用了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及完全平方公式的运用．
 

15.【答案】解：原式
．

【解析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及二次根式的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
 

16.【答案】解：，
原方程化为：，
配方，得，
即，
开方，得，
解得：，．

【解析】移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．
本题考查了用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
 

17.【答案】解：根据题意得且，
解得且；
由可知且，又为正整数，
，
原方程变形为，解得，．

【解析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；
利用的范围可确定，则原方程化为，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即．
 

18.【答案】解：，，，所以的周长为；
设边上的高是，
．
，
．
边上的高是．

【解析】利用勾股定理求得三条边的长度，然后由周长公式求其周长即可；
利用分割法求得的面积，然后利用三角形的面积公式求边上的高．
本题主要考查了勾股定理，解题时，利用了分割法求得三角形的面积，利用等面积法求得边上的高，难度不大．
 

19.【答案】解：；；；里面的数值分别为、、，
．
观察，发现规律：，，，，，
．
证明：等式左边，
，
，
右边．
故成立．

【解析】根据“第一个等式内数值为，第二个等式内数值为，第三个等式内数值为”，即可猜想出第四个等式为；
根据等式的变化，找出变化规律“”，再利用开方即可证出结论成立．
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：猜测出第四个等式中变化的数值为；找出变化规律“”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
 

20.【答案】解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，，，
，
．
在中，，
又，
，
，
，
综上点坐标为、点坐标为．

【解析】先根据勾股定理求出的长，进而可得出的长，求出点坐标，在中，由及勾股定理可求出的长，进而得出点坐标．
本题主要考查了翻折变换、勾股定理等知识点，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：设每千克茶叶应降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周的销售量为千克，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每千克茶叶应降价元．

【解析】设每千克茶叶应降价元，则每千克的销售利润为元，平均每周的销售量为千克，利用每周获得的利润每千克的销售利润每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】解：，是方程的两根，
，，
原式；
，
，

，
即的值为或．

【解析】根据根与系数的关系得到，，
利用通分得到原式，然后利用整体代入的方法计算；
利用得到，再利用计算出，从而得到的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

23.【答案】：   

【解析】解：【初步运用】由题意：，，
小正方形面积：大正方形面积：：，
故答案为：：．
空白部分的面积为．
故答案为：．
，
设，依题意有
，
解得，


．
故该飞镖状图案的面积是．
将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，
正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，，
，，，
，
，
．
故答案为：．
迁移运用结论：．
理由：由题意：大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积
可得：，

．
【初步运用】如图，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可．
可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解；
根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可．
考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键．