2021-2022学年安徽省合肥四十六中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥四十六中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列根式中是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

3. 二次根式中，的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 用配方法解方程时，配方后得的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某商场第一季度的利润是万元，其中一月份的利润是万元，若利润平均每月的增长率为，则依题意列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 等边三角形的边长为，则该三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花如图，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地的面积为，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数，则有已知函数，则方程的解是(    )

A. ， B. ，
C.  D. ，

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______．
12. 已知、、是的三边长，且满足关系式，则的形状为______．
13. 在实数范围内分解因式： ______ ．
14. 关于的方程的解是，，均为常数，，则方程的解是______．
15. 在中，，，边上的高为，则的面积为______．
16. 等式在实数范围内成立，其中、、是互不相等的实数，则的值是______．

三、解答题（本题共6小题，共50分）

17. 解方程：
    ．
    ．
18. 计算：．
19. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，，求的周长与面积．

20. 如图，在四边形中，和相交于点，且．
    求证：；
    若，，，求四边形的周长．

21. 如图，某市近郊有一块长为米，宽为米的矩形荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，中间的三个矩形其中三个矩形的一边长均为米区域将铺设成塑胶地面作为运动场地．
    设通道的宽度为米，则______用含的代数式表示；
    若塑胶运动场地总占地面积为平方米．请问通道的宽度为多少米？
     

22. 某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为元的书包以元的价格出售时，平均每月售出个，并且书包的售价每提高元，某月销售量就减少个．

若售价定为元，每月可售出多少个？

若书包的月销售量为个，则每个书包的定价为多少元？

当商场每月有元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应为多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、是最简二次根式，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故是直角三角形，故A选项不符合题意；
B、，故是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、，故不是直角三角形，故C选项符合题意；
D、，故是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，属于基础题．
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】

解：由题意可知：，
，
故选A．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出，是解此题的关键．根据根与系数的关系得出，，求出即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
解得：，，
，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到
配方得．
故选：．
在本题中，把常数项移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
考查了解一元二次方程配方法，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用，首先设这个多边形的边数为，由边形的内角和等于，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，
根据题意得，
，
解得，
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为当增长时中间的“”号选“”，当降低时中间的“”号选“”．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果设利润平均每月的增长率为，根据“第一季度的利润是万元”，可得出方程．
【解答】
解：设利润平均每月的增长率为，
又知：第一季度的利润是万元，
所以，可列方程为：；
故本题选D．  

8.【答案】 

【解析】解：，如下图所示

等边三角形底边上的高即边上的中线，
，
在中，，，
，
，
故选：．
根据等边三角形三线合一的性质可得为的中点，即，在直角三角形中，已知、，根据勾股定理即可求得的长，即可求三角形的面积，即可解题．
本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程一元二次方程掌握由实际问题抽象出一元二次方程是解题的关键设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为，根据长方形的面积公式列出方程即可．
【解答】
解：设原正方形的边长为，
依题意有．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用直接开平方法解一元二次方程，同时还以新定义的形式考查了学生的阅读理解能力；注意：二次项系数要化为，根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出函数中的，再与方程组成方程得出：，用直接开平方法解方程即可．
【解答】
解：由函数得，则，
，
，
，
，，
故选B．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意知，，

答：的取值范围是．
方程有实数根即，根据建立关于的不等式，求的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

12.【答案】等腰直角三角形 

【解析】解：，
，且，
，且，
则为等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形
已知等式左边为两个非负数之和，根据两非负数之和为，两非负数同时为，可得出，且，利用勾股定理的逆定理可得出为直角，进而确定出三角形为等腰直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理，非负数的性质：绝对值及算术平方根，以及等腰直角三角形的判定，熟练掌握非负数的性质及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：
故答案是：
利用平方差公式即可分解．
本题主要考查了在实数内分解因式，正确理解平方差公式是关键．
 

14.【答案】， 

【解析】解：关于的方程的解是，，均为常数，，
方程变形为，即此方程中或，
解得或．
故答案为：，．
把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解．
此题主要考查了方程解的定义．注意由两个方程的特点进行简便计算．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当为锐角时如图，
在中，
，
在中，
，
，
；
当为钝角时如图，
在中，
，
在中，
，
，
，
故答案为：或．
此题分两种情况：为锐角或为钝角已知、的值，利用勾股定理即可求出的长，利用三角形的面积公式得结果．
本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．
 

16.【答案】解：，，，
，
则，
，；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】根据公式法求一元二次方程的步骤求解即可；
将常数项移到方程的右边，再两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】先算完全平方，二次根式除法，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
 

18.【答案】解：，，，
，，，
的周长；
，
为直角三角形，，
的面积． 

【解析】先利用勾股定理计算出、、的长，则可求出的面积，再利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，，然后根据三角形面积公式计算的面积．
 

19.【答案】解：和相交于点，
，，
；
；
，，，
，
解得．
，
四边形的周长． 

【解析】利用勾股定理可得，，即可求出，
把，，，代入求解即可得出的长，利用周长公式求解即可．
本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟记勾股定理的灵活运用．
 

20.【答案】；
根据题意得，，
                           解得，不合题意，舍去．
 答：中间通道的宽度为米． 

【解析】

【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
根据通道宽度为米，表示出即可；
根据矩形面积减去通道面积即为塑胶运动场地面积，列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】
解：设通道的宽度为米，则；
                  故答案为：；
见答案  

21.【答案】解：当售价为元时，每月可以售出的个数为个；
当书包的月销售量为个时，每个书包的价格为：元；
设销售价格应定为元，则
，
解得，，
当时，销售量为个；当时，销售量为个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为元． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量和单价表示出利润即可．
由“这种书包的售价每上涨元，其销售量就减少个”进行解答；
根据“售价月销量减少的个数”进行解答；
设销售价格应定为元，根据“这种书包的售价每上涨元，其销售量就减少个”列出方程并解答．
 

22.【答案】 

【解析】解：，，
，
又，，
，
，
把代入已知条件则，
，
原式．
根据二次根式有意义的条件得到，，则，而，，则，得到，把代入已知条件中易得，然后把代入分式计算即可．
本题考查了分式的化简求值：先根据二次根式有意义的条件得到字母的值或关系，然后代入所求的分式中进行计算．