2022-2023学年安徽省安庆外国语学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年安徽省安庆外国语学校八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年安徽省安庆外国语学校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，与 3是同类二次根式的是(    )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 45
2. 方程2x2=x的解是(    )
A. x=2 B. x=0
C. x1=0，x2=12 D. x1=0，x2= 22
3. 十边形的内角和是外角和的倍．(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是(    )
A. x2−3x−1=0 B. 2x2−5x+2=0
C. x2−4x+4=0 D. 4(x−1)(x+3)=−5
5. 下列各组数中，是勾股数的为(    )
A. 13，14，15 B. 13，14，15 C. 1，2， 3 D. 8，15，17
6. 解方程2x2−4x−1=0时，方程可变形为2(x−m)2=n，则m，n的值分别为(    )
A. 1，32 B. 1，3 C. −1，2 D. 1，2
7. 已知：△ABC中，∠C=90°，AC2=3BC2，AB=4，则AC的长为(    )
A. 2 B. 5 C. 2 2 D. 2 3
8. 如图，已知▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列判断中错误的是(    )


A. 若∠BAC=60°，则▱ABCD为菱形
B. 若OA=OB，则▱ABCD为矩形
C. 若AC平分∠BAD，则▱ABCD为菱形
D. 若∠BAC=∠ABD=45°，则▱ABCD为正方形
9. 2023年6月是第22个全国“安全生产月”，主题是“人人讲安全，个个会应急”.为加强安全宣传教育，某校在全体学生中进行了一次安全知识竞赛，随机抽取了10名学生的竞赛成绩如下(单位：分)：
得分
80
84
92
96
100
人数
1
2
2
3
2
根据表格中的信息判断，下列关于这10名学生竞赛成绩的结论中错误的是(    )
A. 平均数为92 B. 众数为96 C. 中位数为92 D. 方差为44.8
10. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC= 3，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD的平分线分别交BD，BC于点F，E.下列结论：
①△AOB为等边三角形；
②∠BOE=75°；
③BF= 3−1；
④S△AOE=S△BEF．
其中正确的是(    )
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 使 xx−1有意义的x的取值范围为______ ．
12. 已知x=2+ 3是方程x2−kx+1=0的一个根，则k= ______ ．
13. 如图，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，CD=2，若点M，N分别是AB，DE的中点，则MN的长为______ ．


14. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且BE=CF．
(1)若BE=CF=1，则AE+AF= ______ ；
(2)AE+AF的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
计算：( 12+ 6)÷ 3−( 2−1)2．
16. (本小题8.0分)
解方程：x(x−4)=5．
17. (本小题8.0分)
自2013年中国铁路售票系统12306手机APP正式上线，十年来，我们实现了互联网便捷购票，出行体验得以逐步优化提升，12306也从最初的一个简单的购票系统成长为多元化、网络化、移动化、个性化的综合铁路服务平台.已知从安庆开往A市的某趟高铁中途要停靠若干个站点，12306购票系统需为此设置21种电子客票，那么这趟高铁中途停靠的站点有多少个？
18. (本小题8.0分)
如图，将菱形ABCD沿着EF，GH折叠后，点B，D重合于对角线BD上一点M.求证：四边形AEMG是平行四边形．

19. (本小题10.0分)
已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+2=0．
(1)求证：无论m取何值，方程总有实数根；
(2)若x1，x2是方程的两根，且x12−x22=0，求m的值．
20. (本小题10.0分)
如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．
(1)请用无刻度的直尺在图中作△ABC的两边AB，AC的中点E，F(保留作图痕迹，标注字母)；
(2)线段EF的长度为______ ，线段BF的长度为______ ．

21. (本小题12.0分)
时值毕业季，某网络购物直播间一款标价60元的文化衫，五月份第一周的销售量达到了5万件，到第三周的时候增加到7.2万件．
(1)这款文化衫每周销售量的平均增长率是多少？
(2)6.18年中大促活动开始后，该直播间推出了如下促销方法：买1件单价59元，买2件每件均为58元.依此类推，即每多买一件，所买各件单价均再减1元，直至单价减至30元/件为止.小丽负责为她所在的班级女生订购这款文化衫，她对比了另一家网店同款文化衫的促销活动：一律按标价60元/件的七五折销售，发现在直播间购买要比在网店购买便宜126元.小丽准备订购多少件这种文化衫？
22. (本小题12.0分)
某市招聘教师，采取的是“笔试+专业测试”的形式，笔试成绩和专业测试成绩按6：4合成报考人员的综合成绩，最终录用则依据招聘计划按综合成绩从高到低确定．

教学设计
课堂教学
答辩
甲
90
85
90
乙
80
92
85
(注：每组含最小值，不含最大值)
(1)将笔试入围的报考人员的成绩绘制成如图所示的频数分布直方图，其中，成绩80分以上的人数占40%，则笔试入围的共有多少人？补全频数分布直方图；
(2)专业测试包括教学设计、课堂教学、答辩三项测试.已知甲、乙两人的笔试成绩分别为80分，82分，在笔试入围后，参加了专业测试，两人的成绩如表格所示：(单位：分)
根据招聘公告规定，专业测试成绩按教学设计占30%、课堂教学占50%、答辩占20%来计算.若按综合成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

23. (本小题14.0分)
如图，正方形ABCD中，AB=2，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF.(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并加以证明．
(3)设AB的延长线交BC边于点G，若点G恰为BC边的中点，求四边形AECF的周长与面积．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解： 12=2 3，
18=3 2，
24=2 6，
45=3 5，
∴与 3是同类二次根式的是 12，
故选：A．
根据同类二次根式概念解答即可．
本题考查同类二次根式，掌握同类二次根式概念是解题关键．

2.【答案】C 
【解析】解：2x2=x，
2x2−x=0，
x(2x−1)=0，
∴x=0或2x−1=0，
∴x1=0，x2=12，
故选：C．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：∵十边形的内角和为：(10−2)×180°=1440°=4×360°，
又∵十边形的外角和为：360°，
∴十边形的内角和是外角和的4倍．
故选：B．
首先求出十边形的内角和为(10−2)×180°=1440°，然后再根据十边形的外角和为360°即可得出答案．
此题主要考查了多边形的内角和和外角和，解答此题的关键是熟练掌握n的内角和等于(n−2)180°；n边形的外角和等于360°．

4.【答案】C 
【解析】解：A.∵Δ=b2−4ac=(−3)2−4×1×(−1)=13>0，
∴x2−3x−1=0有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
B.∵Δ=b2−4ac=(−5)2−4×2×2=9>0，
∴2x2−5x+2=0有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
C.∵Δ=b2−4ac=(−4)2−4×1×4=0，
∴x2−4x+4=0有两个相等实数根，故选项符合题意；
D.整理得4x2+8x−7=0，
∵Δ=b2−4ac=82−4×4×(−7)=176>0，
∴x2−2x−3=0有两个不相等实数根，故选项不符合题意．
故选：C．
分别计算Δ=b2−4ac的值，并判断结果与0的关系，即可得到答案．
此题考查了一元二次方程根的判别式，准确计算并作出判断是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：A、132+142≠152，故不是勾股数，故选项不符合题意；
B、(14)2+(15)2≠(13)2，且这三个数都不是正整数，故不是勾股数，故选项不符合题意；
C、 3不是正整数，故不是勾股数，故选项不符合题意；
D、82+152=172，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意．
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解决问题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：2x2−4x−1=0，
2x2−4x=1，
2(x2−2x+1)=1+2，
2(x−1)2=3，
∴m=1，n=3．
故选：B．
根据配方法的一般步骤将方程2x2−4x−1=0化成2(x−m)2=n的形式，即可得出答案．
本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解此题的关键．

7.【答案】D 
【解析】解：△ABC中，∠C=90°，
∴AC2+BC2=AB2，
∵AC2=3BC2，AB=4，
∴4BC2=16，
∴BC=2，
∴AC2=3×22=12，
∴AC= 12=2 3．
故选：D．
根据勾股定理得出AC2+BC2=AB2，再把AC2=3BC2，AB=4代入进行计算即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：A、∠BAC=60°，得∠ABC=60°，得AB=AC，平行四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；
B、OA=OB时，AC=BD，则平行四边形ABCD为矩形，故本选项不符合题意；
C、平行四边形ABCD的对角线互相垂直时，平行四边形ABCD为菱形，故本选项不符合题意；
D、∠BAC=45°时，∠BAD不一定是直角，则平行四边形ABCD不一定为正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
根据平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定方法即可判断．
本题考查平行四边形的判定、矩形的判定、正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

9.【答案】C 
【解析】解：平均数为110×(80+84×2+92×2+96×3+100×2)=92厘米，故A不符合题意；
因为众数是出现频数最高的数据即96，所以B不符合题意；
中位数为92+962=94，所以C符合题意；
这组数据的方差为：110[(80−92)2+2×(84−92)2+2×(92−92)2+3×(96−92)2+2×(100−92)2]=44.8，所以D不符合题意．
故选：C．
分别求出中位数、平均数、众数和方差，进而可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
本题考查方差、算术平均数、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、算术平均数、中位数、众数．

10.【答案】D 
【解析】解：①∵四边形ABCD为矩形，AB=1，BC= 3，
∴∠ABC=90°，OA=OC=OB=OD=1/2AC，
在Rt△ABC中，AB=1，BC= 3，
由勾股定理得：AC= AB2+BC2=2，
∴OA=OB=12AC=1，
∴OA=OB=AB=1，
∴△AOB为等边三角形，
∴结论①正确；
②∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠BAE=12∠DAB=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AB=1，
由①正确得：△AOB为等边三角形，
∴∠ABO=60°，OB=AB=1，
∴∠OBE=∠ABC−∠ABO=30°，OB=BE=1，
∴△OBE为等腰三角形，
∴∠BOE=1/2(180°−∠OBE)=75°，
∴结论②正确；
③过点F作FH⊥BC于点H，设FH=x，如图所示：

由②正确可知：∠OBE=30°，△ABE为等腰直角三角形，
∴∠BEA=45°，AB=BE=1，
又FH⊥BC，
∴△EHF为等腰直角三角形，
∴FH=HE=x，
∴BH=BE−HE=1−x，
在Rt△BHF中，∠FBH=30°，HF=x，则BF=2x，
由勾股定理得：BF2=FH2+BH2，
即：(2x)2=x2+(1−x)2，
解得：x= 3−12(舍去负值)，
∴BF=2x= 3−1，
∴结论③正确；
④由②正确可知：△ABE为等腰直角三角形，
∴AB=BE=1，
由③可知：FH=x= 3−12，BE=1，
∴S△BEF=12BE⋅FH= 3−14，
由结论①正确得：OA=OB=OC=1，
∴∠BCO=∠OBC=30°，CE=BC−BE= 3−1，
过点E作ET⊥AC于点T，如图所示：

∴ET=12CE= 3−12，
∴S△AOE=12OA⋅ET= 3−14，
∴S△AOE=S△BEF，
∴结论④正确．
综上所述：正确的结论为：①②③④．
故选：D．
①先利用勾股定理求出AC=2，然后根据矩形的性质得OA=OB=OC=OD=1，据此可以对结论①进行判断；
②先证△ABE为等腰直角三角形，从而得BE=AB=1，再证∠OBE=30°，由此根据三角形内角和定理可求出∠BOE的度数，进而可对结论②进行判断；
③过点F作FH⊥BC于点H，设FH=x，先证△EHF为等腰直角三角形得FH=HE=x，BH=1−x，BF=2x，然后由勾股定理求出x，进而可求出BF的长，据此可对结论③进行判断；
④由②③正确得BE=1，FH= 3−12，据此可求出S△BEF= 3−14，过点E作ET⊥AC于点T，先求出ET= 3−12，进而可求出S△AOE= 3−14，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
此题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等，解答此题的关键是熟练掌握矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理进行计算．

11.【答案】x≥0且x≠1 
【解析】解：∵ xx−1有意义，
∴x≥0且x−1≠0，
∴x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．

12.【答案】4 
【解析】解：根据题意得：(2+ 3)2−(2+ 3)k+1=0，
解得k=4．
故答案为：4．
把x=2+ 3代入方程就得到一个关于k的方程，就可以求出k的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．

13.【答案】 10 
【解析】解：连接CM，CN，如图，

∵△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，点M，N分别是AB，DE的中点，
∴∠BCM=∠ECN=45°，2CM2=AC2，2CN2=CD2，
∴∠MCN=∠BCM+∠ECN=90°，
∵AC=4，CD=2，
∴CM2=8，CN2=2，
在Rt△MCN中，MN= CM2+CN2= 8+2= 10．
故答案为： 10．
连接CM，CN，由等腰直角三角形的性质可得求得CM，CN，∠MCN=90°，利用勾股定理即可求解．
本题主要考查等腰直角三角形，勾股定理，解答的关键是熟记等腰直角三角形的性质并灵活运用．

14.【答案】 17+2 5  4 5 
【解析】解：(1)根据勾股定理得，AE= AB2+BE2= 42+12= 17，AF= AD2+DF2= 42+22=2 5，
∴AE+AF= 17+2 5；
故答案为： 17+2 5；
(2)作A点关于BC的对称点A′E，DE，A′D，

则AE=A′E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADF=∠C=90°，
∵BE=CF，
∴DF=CE，
∴△ADF≌△DCE(SAS)，
∴AF=DE，
∴AE+AF=A′E+DE，
∵当点A′，E，D三点共线时A′E+DE有最小值，
∴A′E+DE的最小值为A′D的长，
在Rt△AA′D中，AA′=8，AD=4，
∴A′D= A′A2+AD2= 82+42=4 5，
∴AE+AF的最小值为4 5．
故答案为：4 5．
(1)根据勾股定理求出AE和AF的值即可得出答案；
(2)作A点关于BC的对称点A′E，DE，A′D，证明△ADF≌△DCE(SAS)，得AF=DE，则AE+AF=A′E+DE，当点A′，E，D三点共线时A′E+DE有最小值，所以A′E+DE的最小值为A′D的长，求出A′D的长即可．
本题考查轴对称−最短路线问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及正方形的性质，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．

15.【答案】解：原式=2+ 2−2+2 2−1
=3 2−1． 
【解析】先进行完全平方的运算，二次根式的除法运算，再进行加减运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

16.【答案】解：方程整理得：x2−4x−5=0，
即(x−5)(x+1)=0，
解得：x1=5，x2=−1． 
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．

17.【答案】解：设这趟高铁中途停靠的站点有x个，
根据题意得：12x(x−1)=21，
整理得：x2−x−42=0，
解得：x1=7，x2=−6(不符合题意，舍去)．
答：这趟高铁中途停靠的站点有7个． 
【解析】设这趟高铁中途停靠的站点有x个，利用设置电子客票种数=这趟高铁中途停靠的站点数×(这趟高铁中途停靠的站点数−1)÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

18.【答案】证明：由折叠得EB=EM，
∴∠EBM=∠EMB，
∴∠AEM=∠EBM+∠EMB=2∠EBM，
在菱形ABCD中，
∠EBF=2∠EBM，AD//BC，
∴∠AEM=∠EBF，
∴EM//BF，
∴AD//EM，
同理可得AE//MG，
∴四边形AEMG是平行四边形． 
【解析】根据折叠的性质可得EB=EM，求出∠AEM=2∠EBM，根据∠EBF=2∠EBM，可得∠AEM=∠EBF，证明AD//EM，同理可得AE//MG，结论得证．
本题考查了菱形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质，证明AD//EM是解题的关键．

19.【答案】(1)证明：∵Δ=(m+3)2−4(m+2)
=(m+1)2，
∵无论m取何值，(m+1)2≥0，
∴原方程总有两个实数根；
(2)解：∵x1x2是方程的两根，x1+x2=−(m+3)，x12−x22=0，
∴(x1+x2)(x1−x2)=0，
∴x1+x2=0或x1−x2=0，当x1+x2=0时，−(m+3)=0，解得：m=−3，当x1−x2=0时，即x1=x2，
∴Δ=(m+1)2=0，解得：m=−1，
综上所述：m的值为−3或−1． 
【解析】(1)根据根的判别式即可求出答案．
(2)根据根与系数的关系以及配方法即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．

20.【答案】 10 5 22 
【解析】解：(1)如图，点E、F即为所求；

(2)∵E、F是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC，
∵BC= 22+62=2 10，
∴EF= 10，
∵AB= 12+32= 10，AC= 52+52=5 2，
∴AB2+BC2=AC2，
∴∠ABC=90°，
∵点F为AC的中点，
∴BF=12AC=5 22，
故答案为： 10，5 22．
(1)根据矩形的对角线互相平分即可画出图形；
(2)利用三角形中位线定理可得EF的长，再证明∠ABC=90°，利用直角三角形斜边上中线的性质可得答案．
本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．

21.【答案】解：(1)设这款文化衫每周销售量的平均增长率是x，
根据题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不符合题意，舍去)．
答：这款文化衫每周销售量的平均增长率是20%；
(2)设小丽准备订购y件这种文化衫．
当0 整理得：y2−15y−126=0，
解得：y1=21，y2=−6(不符合题意，舍去)；
当y>30时，60×0.75y−30y=126，
解得：y=425(不符合题意，舍去)．
答：小丽准备订购21件这种文化衫． 
【解析】(1)设这款文化衫每周销售量的平均增长率是x，利用五月份第三周的销售量=五月份第一周的销售量×(1+这款文化衫每周销售量的平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设小丽准备订购y件这种文化衫，分0 本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程(或一元一次方程)是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵(14+10)÷(1−40%)=40(人)，
∴笔试入围的共有40人，
85～90分的人数为：40−(10−14−10−2)=4(人)，
补全频数分布直方图如下：

(2)甲专业测试成绩：90×30%+85×50%+90×20%=87.5(分)，
乙专业测试成绩：80×30%+92×50%+85×20%=87(分)，
甲综合成绩：80×6+87.5×410=83(分)，
乙综合成绩：82×6+87×410=84(分)，
∵83<84，
∴按综合成绩录用乙． 
【解析】(1)将成绩80分以下的人数除以所占比例即可求出笔试入围人数；先求出85～90分的人数，再补全频数分布直方图即可；
(2)先分别算出甲、乙专业测试成绩，再分别算出综合成绩，比较后确定谁将被录用．
本题考查频数分布直方图，加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．

23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=45°．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)解：四边形AECF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABE=∠ADF=45°．
又∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
同理：△ABE≌△ADF≌△CDF≌△CBE，
∴AE=AF=CF=CE．
∴四边形AECF是菱形．
(3)解：∵AD//BC，G是BC中点，AB=2，
∴BEDE=EGAE=BGAD=12，
∴ED=2BE，
∴AE=2EG，
∴AE=23AG=23 AB2+BG2=23 22+1=2 53，
∴四边形AECF周长为4×2 53=8 53，
∵BE=DF，ED=2FD，
∴BE=EF=FD，
由勾股定理得：AC=BD= 2AB，
∴EF=13BD=23 2，
∴菱形面积为：2 2×2 23×12=43． 
【解析】(1)根据正方形的性质得出AB=AD，∠ABE=∠ADF=45°，再由BE=DF即可根据边角边定理证明△ABE≌△ADF；
(2)证明△ABE≌△ADF≌△CDF≌△CBE，得出AE=AF=CF=CE，根据四条边相等的四边形是菱形即可证明；
(3)根据平行线分线段成比例定理可知AE=23AG，EF=13BD，再根据勾股定理求AG，BD的长，从而可得AE，EF的长，根据对角线乘积的一半为菱形的面积，周长为4AE解答即可．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，菱形的判定，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形和菱形的判定定理是解题的关键．