2022-2023学年湖南省常德市澧县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省常德市澧县七年级（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.用代入法解方程组2x−y=5,y=1+x时，代入正确的是( )
A. 2x−1+x=5B. x−1+x=5C. x−1−x=5D. 2x−1−x=5
2.下列运算一定正确的是( )
A. a2023−a2022=0B. (a2022)2023=a4045
C. (a+1)2=a2+1D. a2022⋅a2023=a4045
3.已知一个二元一次方程组的解是x=−1y=−2，则这个方程组可以是( )
A. x+y=−3xy=2B. x+y=−3x−2y=1C. 2x=yy−x=−3D. x−y=12x+y=−4
4.下列各组中，没有公因式的一组是( )
A. ax−bx与by−ayB. 6xy−8x2y与−4x+3
C. ab−ac与ab−bcD. (a−b)3与(b−a)2y
5.光在真空中的速度约为3×108m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s.地球距离太阳大约有多远？( )
A. 15×1011B. 1.5×1011C. 15×1016D. 1.5×1016
6.下列因式分解正确的是( )
A. a3−a=a(a2−1)
B. 16x2+24x+9=(8x+3)2
C. 25x2−y2=(5x+y)(5x−y)
D. 2m(m+n)+6n(m+n)=(2m+6n)(m+n)(m+n)
7.《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，以下列出的方程组正确的是( )
A. y−8x=3y−7x=4B. y−8x=37x−y=4C. 8x−y=3y−7x=4D. 8x−y=37x−y=4
8.观察：(x−1)(x+1)=x2−1，(x−1)(x2+x+1)=x3−1，(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1，据此规律，当(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0时，代数式x2023−1的值为( )
A. 1B. −2C. 1或−1D. 0或−2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若3x=4，32y=27，则32y+x的值为______．
10.若关于x，y的二元一次方程3x−my=11有一个解是x=5y=2，则m=______．
11.在△ABC中，∠A−∠B=10°，∠A+∠B=140°，则∠B= ______．
12.若(x+3)(x−4)=x2+mx+n，则m+n的值为 ．
13.若x、y满足x−2y=−3x+2y=−5，则x2−4y2的值为______．
14.观察下列从左到右的变形：
(1)−6a3b3=(2a2b)(−3ab2)；
(2)ma−mb+c=m(a−b)+c；
(3)6x2+12xy+6y2=6(x+y)2；
(4)(3a+2b)(3a−2b)=9a2−4b2；
其中是因式分解的有______(填括号)．
15.已知x+y=3，xy=−4，则x2y+xy2的值是______．
16.观察下列多项式的因式分解过程：1−x−x(1−x)=(1−x)(1−x)=(1−x)2；1−x−x(1−x)−x(1−x)2=(1−x)2−x(1−x)2=(1−x)2(1−x)=(1−x)3；1−x−x(1−x)−x(1−x)2−x(1−x)3=(1−x)3−x(1−x)3=(1−x)3(1−x)=(1−x)4；…；按此规律，把多项式1−x−x(1−x)−x(1−x)2−…−x(1−x)2021−x(1−x)2022因式分解的结果是______．
三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：
(−ab2)2(−a4b3)3(−a2b)
18.(本小题6分)
解下列方程组：
(1)y=3x7x−2y=2；
(2)x2−y+13=13x+2y=40．
19.(本小题6分)
先化简，再求值：(x−2)(3x+1)−2(−1+3x)2−(2x−1)(−1−2x)，其中x=−2．
20.(本小题8分)
解方程组ax+5y=15①2x−by=−1②时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为x=−3y=−1，小龙由于看错了系数b，结果得到的解为x=5y=4，求a+b的值．
21.(本小题8分)
阅读理解题：
由多项式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，将该式从右到左使用，即可得到因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)．
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3)．
分解因式：x2−x−2=x2+[1+(−2)]x+[1×(−2)]=(x+1)(x−2)．
多项式x2+(a+b)x+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．
(1)尝试：分解因式：x2+6x+8=(x+______)(x+ ______)；
(2)应用：请用上述方法将多项式x2−5x+6进行因式分解．
22.(本小题9分)
为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．
(1)A型篮球和B型篮球的标价各是多少？
(2)该体育用品店推出了以下优惠方案：
方案一：所有商品按标价的九折销售；
方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．
学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．
23.(本小题10分)
“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a(b+c)=ab+ac；
例2：由图2，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2．

(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为______；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=10，a2+b2+c2=36.求ab+bc+ac的值．
(3)如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S.设CD=x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2x−y=5①y=1+x②，
把②代入①，得2x−(1+x)=5，
2x−1−x=5，
故选：D．
把②代入①得出2x−(1+x)=5，再去掉括号即可．
本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
2.【答案】D
【解析】解：A项，当a=−1时，a2023−a2022=−1−1=−2≠0，故本项错误，不符合题意；
B项，(a2022)2023=a2022×2023，故本项错误，不符合题意；
C项，(a+1)2=a2+2a+1，故本项错误，不符合题意；
D项，a2022⋅a2023=a4045，故本项计算正确，符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式等知识可进行排除选项．
本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方及完全平方公式是解题的关键．解答此类题时，注意灵活运用举例法、取特殊值法．
3.【答案】D
【解析】解：A、方程组不是二元一次方程组，不符合题意；
B、x+y=−3 ①x−2y=1 ②，
①−②得：3y=−4，
解得：y=−43，
把y=−43代入①得：x=−23，不符合题意；
C、2x=y ①y−x=−3 ②，
把①代入②得：2x−x=−3，
解得：x=−3，
把x=−3代入①得：y=−6，不符合题意；
D、x−y=1 ①2x+y=−4 ②，
①+②得：3x=−3，
解得：x=−1，
把x=−1代入①得：y=−2，符合题意，
故选：D．
把x与y的值代入方程组检验即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
4.【答案】C
【解析】解：A、ax−bx=x(a−b)，by−ay=−y(a−b)，有公因式(a−b)，故本选项不符合题意；
B、6xy−8x2y=−2xy(4x−3)，−4x+3=−(4x−3)，有公因式(4x−3)，故本选项不符合题意；
C、ab−ac=a(b−c)，ab−bc=b(a−c)，没有公因式，故本选项符合题意；
D、(a−b)3x与(b−a)2y有公因式(a−b)2，故本选项不符合题意．
故选：C．
将每一组因式分解，找到公因式即可得到答案．
本题考查了公因式，熟悉因式分解是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可得，地球与太阳的距离大约是：3×108×5×102=1.5×1011(m)．
故选：B．
直接利用有理数的乘法结合科学记数法表示方法得出答案．
此题主要考查了科学记数法--表示较大的数，科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
6.【答案】C
【解析】解：A、a3−a=a(a2−1)=a(a+1)(a−1)，故A不正确，不符合题意；
B、16x2+24x+9=(4x+3)2，故B不正确，不符合题意；
C、25x2−y2=(5x+y)(5x−y)，故C正确，符合题意；
D、2m(m+n)+6n(m+n)=2(m+n)(m+3n)，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
根据因式分解的方法和步骤，依次判断各个选项即可．
本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法和步骤，因式分解的方法主要有：提取公因式法，公式法．
7.【答案】C
【解析】解：设合伙人数为x人，物价为y钱，根据题意，
可列方程组为8x−y=3y−7x=4．
故选：C．
利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别列出等式即可获得答案．8x−y=3y−7x=4
本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意正确列出等式是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵(x−1)(x5+x4+x3+x2+x+1)=0．
∴x6−1=0．
∴x6=1．
∴(x3)2=1．
∴x3=±1．
∴x=±1．
当x=1时，原式=12023−1=0．
当x=−1时，原式=(−1)2023−1=−2．
故选：D．
先根据规律求x的值，再求代数式的值．
本题考查通过规律解决数学问题，发现规律，求出x的值是求解本题的关键．
9.【答案】108
【解析】解：∵3x=4，32y=27，
∴32y+x=32y×3x=27×4=108，
故答案为：108．
先将32y+x变形为32y×3x，再代入进行计算．
此题考查了同底数幂相乘运算的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
10.【答案】2
【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程3x−my=11有一个解是x=5y=2，
∴3×5−m×2=11，
∴m=2．
故答案为：2．
把x=5y=2代入二元一次方程3x−my=11，求出m的值是多少即可．
此题主要考查了二元一次方程的解，要熟练掌握，采用代入法即可．
11.【答案】65°
【解析】解：根据题意得：∠A−∠B=10∘①∠A+∠B=140∘②，
由②−①得：2∠B=130°，
解得：∠B=65°．
故答案为：65°．
根据题意列出二元一次方程组，即可求解
本题主要考查的是三角形内角和定理，解二元一次方程组，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
12.【答案】−13
【解析】解：∵(x+3)(x−4)=x2−x−12=x2+mx+n，
∴m=−1，n=−12，
∴m+n=−1−12=−13．
故答案为：−13．
根据多项式乘多项式，再利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
13.【答案】15
【解析】解：∵x、y满足x−2y=−3x+2y=−5，
∴x2−4y2=(x+2y)(x−2y)=(−5)×(−3)=15．
故答案为：15．
先根据平方差公式分解因式，再代入求出答案即可．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分解因式等知识点，能正确运用平方差公式分解因式是解此题的关键．
14.【答案】(3)
【解析】【试题解析】
【分析】
此题主要考查了因式分解．正确把握因式分解的定义是解题的关键．
因式分解就是把一个多项式化成几个整式积的形式，对各题分析判断即可．
【解答】
解：(1)是单项式变形，不是因式分解；
(2)没把一个多项式化成几个整式积的形式，不是因式分解；
(3)是因式分解；
(4)是整式的乘法，不是因式分解
所以是因式分解的有(3)．
故答案为：(3)．
15.【答案】−12
【解析】解：∵x2y+xy2=xy(x+y)，
将x+y=3，xy=−4代入，
原式=−4×3=−12．
故答案为：−12．
将代数式因式分解，然后代入x+y=3，xy=−1，即可求值．
本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
16.【答案】(1−x)2023
【解析】解：1−x−x(1−x)−x(1−x)2−…−x(1−x)2021−x(1−x)2022
=(1−x)2−x(1−x)2−…−x(1−x)2021−x(1−x)2022
=(1−x)2023．
故答案为：(1−x)2023．
根据所给的因式分解的方式，对所求的式子进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，因式分解，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与灵活运用．
17.【答案】解：(−ab2)2(−a4b3)3(−a2b)
=a2b4⋅(−a12b9)⋅(−a2b)
=a16b14．
【解析】直接利用积的乘方运算法则化简，进而结合单项式乘以单项式计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以单项式，正确掌握运算法则是解题关键．
18.【答案】解：(1)y=3x①7x−2y=2②，
将①代入②中得：7x−2⋅(3x)=2，x=2，
将x=2代入①中得：y=6，
故方程组的解集为：x=2y=6；
(2)将方程组化简得3x−2y=8①3x+2y=40②，
由①+②得：6x=48，
解得：x=8，
将x=8代入①中得：24−2y=8，
解得：y=8，
∴方程组的解集为：x=8y=8．
【解析】(1)直接运用代入消元法求解二元一次方程组即可；
(2)先将方程组化简，再用加减消元法求解二元一次方程组即可．
本题考查解二元一次方程组，能够熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
19.【答案】解：(x−2)(3x+1)−2(−1+3x)2−(2x−1)(−1−2x)
=3x2−5x−2−2(1−6x+9x2)−(1−4x2)
=3x2−5x−2−2+12x−18x2−1+4x2
=−11x2+7x−5；
当x=−2时，
原式=−11×(−2)2−14−5=−44−14−5=−63．
【解析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简的结果，再把x=−2代入化简后的代数式进行计算即可．
本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，平方差公式与完全平方公式的应用，熟练的利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算是解本题的关键．
20.【答案】解：根据题意，将x=−3，y=−1代入2x−by=−1，得：−6+b=−1，即b=5，
将x=5，y=4代入ax+5y=15，得：5a+20=15，即a=−1，
∴a+b=4．
【解析】由甲看错系数a，可将x、y的值代入第二个方程，由乙看错系数b，可将x、y值代入第一个方程，分别求出b、a的值．
本题考查了二元一次方程组的解，理解同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解是关键．
21.【答案】2 4
【解析】解：(1)x2+6x+8=x2+(2+4)x+2×4=(x+2)(x+4)，
故答案为：2，4；
(2)x2−5x+6
=x2+[(−2)+(−3)]x+[(−2)×(−3)]
=(x−2)(x−3)．
(1)根据“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”可得；
(2)利用“x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)”进行因式分解即可．
本题考查因式分解，解题的关键是理解“常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和”．
22.【答案】解：(1)设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x−30)元，
根据题意得8x+10(x−30)=1320，
解得x=90，
所以x−30=90−30=60，
答：每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元．
(2)选择方案二更合算，理由如下：
90×20+60×30=3600(元)，
所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，
选择方案一，总费用为：910×3600=3240(元)，
选择方案二，总费用为：2000+710×(3600−2000)=3120(元)，
因为3120元<3240元，
所以选择方案二更合算．
【解析】(1)设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为(x−30)元，购买A型篮球的总费用为8x元，购买B型篮球的总费用为10(x−30)元，可列方程8x+10(x−30)=1320，解方程求出x的值，再求出x−30的值即可；
(2)先求得按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，再分别求出选择方案一的总费用和选择方案二的总费用并且对两个结果比较大小，即可得到问题的答案．
此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题、方案选择型问题的求解等知识与方法，正确的用代数式表示购买A型篮球的总费用和购买B型篮球的总费用是解题的关键．
23.【答案】(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
【解析】解：(1)∵正方形面积为(a+b+c)2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
(2)由(1)可知2ab+abc+2ac=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)，
∵a+b+c=10，a2+b2+c2=36；
∴2(ab+bc+ac)=(a+b+c)2−(a2+b2+c2)=100−36=64，
∴ab+bc+ac=12×64=32．
(3)由题意知，BC=2a，DE=3a，EH=CF=b，EF=CD+CF−DE=x+b−3a，
∵S长方形ABCD−S长方形EFGH，
∴S=CD⋅BC−EH⋅EF=x⋅2a−b⋅(x+b−3a)，
即S=2ax−bx−b2+3ab=(2a−b)x−b2+3ab，
又∵S为定值，
∴2a−b=0，即b=2a．
(1)正方形面积为(a+b+c)2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，由面积相等即可求解；
(2)根据(1)中的结论，将式子的值代入计算即可求解；
(3)BC=2a，DE=3a，EH=CF=b，EF=CD+CF−DE=x+b−3a，根据S=S长方形ABCD−S长方形EFGH，即可求解．
本题主要考查多项式乘多项式，掌握整式混合运算法则是解题的关键．