2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 若是最简二次根式，则的值可能是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在▱中，，则的度数为

A.
B.
C.
D.

5. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是

A. 四个角都为直角 B. 对角线互相平分
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直

7. 已知，则代数式的值为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，垂足为，若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长到点，使，若，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，，分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形直线，交于点，过点作，交于点，过点作，与，分别交于点，则四边形的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 化简：______．
12. 如图，受台风的影响，一棵树在离地面处折断，树顶落在离树干底部处，则这棵树在折断前不包括树根长度是______
     

13. 如图，在▱两对角线，相交于点，且，，则的周长是______．
    
     

14. 如果是整数，则正整数的最小值是______．
15. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，过作的垂线，垂足为点．，连接并延长，交于点，连接交于点，则下列结论：≌；；；；，其中正确的是______填序号
16. 如图，正方形的边长为，点为边上一动点，以为直角顶点，为直角边作等腰，为边的中点，当点从点运动到点，则点运动的路径长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
18. 如图在中，，，，点是上一点，且．
    试判断的形状，并说明理由；
    求的长．
     

19. 如图，▱的对角线，相交于点，，分别是，上的点，且．
    求证：．

20. 如图，在正方形中，点为边中点．用无刻度直尺画出以下图形，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
    在边上找点使直线平分正方形的面积；
    画出边的中点；
    在边上找点使；
    在直线上找点使．
21. 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接．
    求证：四边形是矩形；
    连接，若，，求的长．

22. 如图，一架梯子斜靠在某个走廊竖直的左墙上，顶端在点处，底端在水平地面的点处．保持梯子底端的位置不变，将梯子斜靠在竖直的右墙上，此时梯子的顶端在点处．
    如图，若顶端距离地面的高度为米，为米．
    则梯子的长为______米；
    若顶端距离地面的高度比少米，求走廊的宽是多少米？
    如图，是线段上中点左侧一点，若，，则梯子的长为______米．

23. 在▱中，点是的中点，点是上一点，连接，交于点是上一点，且，连接并延长交于点．
    如图，求证：四边形是平行四边形；
    如图，连接交于点，过点作交于点．
    求证：；
    当点为中点时，若，，且，直接写出▱的面积用含，的式子表示．

24. 如图，点为平面直角坐标系内一点，且，满足，过点分别作轴于点，轴于点．
    求证：四边形是正方形；
    点为轴上一点，点为轴上一点．
    如图，若，，点为线段上一点，且，求线段的长；
    如图，若，直线与交于点，连接，则的最小值为______．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
．
故选：．
根据二次根式有意义：被开方数为非负数，可得的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式有意义：被开方数为非负数．
 

2.【答案】

【解析】解：、不能构成三角形，错误；
B、；
C、不能构成三角形，错误；
D、．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】

【解析】解：、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式、二次根式有意义的条件解答即可．
本题考查的是最简二次根式、二次根式有意义的条件，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得，进而可得答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形两组对角分别相等．
 

5.【答案】

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；
B、与不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

6.【答案】

【解析】解：正方形、矩形都具有四个角都是直角，
正方形的对角线互相垂直平分且相等，矩形的对角线互相平分且相等，
故选：．
利用正方形、矩形的性质即可判断．
本题考查正方形、矩形的性质，记住正方形和矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．
 

7.【答案】

【解析】解：原式
，
当时，
原式

，
故选：．
利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：在菱形中，，
，
，
，
．
故选：．
先根据菱形的邻角互补求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：如图，连接，
在中，，点是边的中点，
，，
，
点，分别是边，的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
故选：．
利用三角形中位线定理及已知条件证得四边形是平行四边形，得到，由三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质得到，由含度角的直角三角形的性质即可得出答案．
此题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，得出是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】解：延长至，则，如图：
 
在中，，，，
由勾股定理可得，
四边形，，都是正方形，
四边形的四个角都是，四条边平行且相等，
，，
，
四边形，都是矩形，
，，，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，
四边形是矩形，
，
同理可得，四边形是矩形，
，
四边形的面积．
故选：．
先由勾股定理得出在由正方形的性质推出四边形，都是矩形，再由矩形的性质得出，，延长至，则，可证≌，继而得出四边形是矩形，可得，同理可得，四边形是矩形，，即可求解四边形的面积．
本题考查了勾股定理、正方形的性质、矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用知识点是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
故答案为：．
先算出的值，再根据算术平方根的定义直接进行计算即可．
本题考查的是算术平方根的定义，把化为的形式是解答此题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：由题意得，，
在直角中，根据勾股定理得：米．
所以大树的高度是米．
故答案为：．
根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

13.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的周长．
故答案为：．
根据平行四边形的对角线互相平分可得出，再由平行四边形的对边相等可得，继而代入可求出的周长．
此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质．
 

14.【答案】

【解析】解：因为是整数，可得：正整数的最小值是，
故答案为：．
根据二次根式的定义解答即可．
本题考查了对二次根式的定义的应用，能根据二次根式的定义得出关于的不等式是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．
 

15.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
的平分线交于点，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
，
正确；
在和中，
，
≌，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，故正确；
，，
不是等边三角形，
，
，故错误；
过作于，

可知，，
由上知，
十，
又，，
故，，故正确；
故答案为：．
根据矩形的性质得到，，，求得，推出和是等腰直角三角形，求得，，于是得到，正确；根据全等三角形的判定定理得到≌，故正确；由全等三角形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，故正确；推出不是等边三角形，得到，于是得到，故错误；过作于，得到，，求得，推出，正确．
本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：连接，交于点，连接，过点作交的延长线于．

为等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，
与的交点即为的中点，
点移动的距离就是的长，
四边形是正方形，
，
正方形的边长为，
．
故答案为：．
证明点的运动轨迹是线段，利用正方形的性质求解即可．
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形、全等三角形的判定与性质，解题的关键是弄清动点的运动轨迹．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
．

【解析】先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：是直角三角形，
理由：，，，
，
，
是直角三角形；
在中，，，，
．

【解析】利用勾股定理逆定理即可求解；
利用勾股定理得出的长即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．

【解析】根据平行四边形的性质可得，，再判断四边形是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
 

20.【答案】解：如图，点为所作；
如图，点为所作；
如图，点为所作；
如图，点为所作．
 

【解析】连接、相交于，延长交于，则点为的中点，所以平分正方形的面积；
连接、，它们相交于点，过、的直线交于，则点平分；
直线交于，则可证明≌，从而可证明；
延长交直线于点，连接，则可证明四边形为平行四边形，则．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
 

21.【答案】证明：四边形是菱形，
且，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
四边形是菱形，
，，，
，
，
，

，
，
．

【解析】根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
关键菱形的性质得到，，，求得，得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：在中，


米，
故答案为：；
梯子的长度不变，
，
顶端距离地面的高度比少米，
，
在中，


，
米，
答：走廊的宽是米；
如图，设的中点为，连结，
设米，
，
米，
设梯子的长为米，
，的中点为
，
在中，，
在中，，
，
化简得：，
．
梯子的长为米，
故答案为：．
在中，根据勾股定理求解；
在中，根据勾股定理求出，走廊的宽即可求解；
设的中点为，连结，设米，得到米，在和中，分别求出，列出方程求解即可得出答案．
本题考查了勾股定理的应用，在和中，分别求出，列出方程是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
证明：如图，作交于点，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
≌，
，
．
解：如图，延长交的延长线于点，
，，，
≌，
，，
，
作交的延长线于点，作于点，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，且，
，
，
，
，
▱的面积为．

【解析】由四边形是平行四边形得，由，，根据三角形的中位线定理得，即可证明四边形是平行四边形；
作交于点，则四边形是平行四边形，所以，再证明≌，则，所以，再证明≌，得，所以；
延长交的延长线于点，先证明≌，则，，所以，作交的延长线于点，作于点，则四边形是平行四边形，所以，可推导出，由变形得，所以，则是直角三角形，且，于是可得，所以．
此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理的逆定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】

【解析】证明：由题意得，，
，
，
，
轴，轴，，
四边形是矩形，
，，
，
四边形是正方形；
解：连接，交于点，

，，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
在中，
，
在和中，
，
∽，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
；
，，
，，，
，
在和中，
，
≌，
取的中点为，连接交圆弧于点，的最小值为，

在中，，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据非负数的性质可得点的坐标，再根据矩形的判定与性质及正方形的判定可得结论；
连接，交于点，根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质可得，再根据相似三角形的判定与性质及勾股定理可得答案；
根据全等三角形的判定与性质可得，取的中点为，连接交圆弧于点，的最小值为，再由勾股定理可得答案．
此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．