2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第十三章 热学

专题强化十五　应用气体实验定律解决“三类模型”问题
【专题解读】 1.本专题是气体实验定律在“玻璃管液封”模型、“汽缸活塞类”模型、“变质量气体”模型中的应用，高考在选考模块中通常以计算题的形式命题。
2.学好本专题可以帮助同学们熟练地选取研究对象和状态变化过程，掌握处理“三类模型”问题的基本思路和方法。
3.本专题用到的相关知识和方法有：受力分析、压强的求解方法、气体实验定律等。
题型一　“玻璃管液封”模型
1.气体实验定律及理想气体状态方程
理想气体状态方程：＝C
＝
2.玻璃管液封模型
求液柱封闭的气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力、列平衡方程，要注意：
(1)液体因重力产生的压强为p＝ρgh(其中h为液体的竖直高度)。
(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力。
(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等。
(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷。
【真题示例1】 (2021·全国乙卷)如图1，一玻璃装置放在水平桌面上，竖直玻璃管A、B、C粗细均匀，A、B两管的上端封闭，C管上端开口，三管的下端在同一水平面内且相互连通。A、B两管的长度分别为l1＝13.5 cm，l2＝32 cm。将水银从C管缓慢注入，直至B、C两管内水银柱的高度差h＝5 cm。已知外界大气压为p0＝75 cmHg。求A、B两管内水银柱的高度差。

图1
答案　1 cm
解析　对于B中的气体，
初态：pB1＝p0，VB1＝l2S，
末态：pB2＝p0＋ph，VB2＝l2′S，
由玻意耳定律得pB1VB1＝pB2VB2，
解得l2′＝30 cm，
设B管中水银比A管中水银高x cm，
对A中气体，
初态：pA1＝p0，VA1＝l1S′，
末态：pA2＝pB2＋px，VA2＝[l1－(l2－l2′－x)]S′，
由玻意耳定律得pA1VA1＝pA2VA2，
解得x＝1 cm。

1.(2020·全国卷Ⅲ)如图2，两侧粗细均匀、横截面积相等、高度均为H＝18 cm的U形管，左管上端封闭，右管上端开口。右管中有高h0＝4 cm的水银柱，水银柱上表面离管口的距离l＝12 cm。管底水平段的体积可忽略。环境温度为T1＝283 K，大气压强p0＝76 cmHg。

图2
(1)现从右侧端口缓慢注入水银(与原水银柱之间无气隙)，恰好使水银柱下端到达右管底部。此时水银柱的高度为多少？
(2)再将左管中密封气体缓慢加热，使水银柱上表面恰与右管口平齐，此时密封气体的温度为多少？
答案　(1)12.9 cm　(2)363 K
解析　(1)设密封气体初始体积为V1，压强为p1，左、右管的截面积均为S，密封气体先经等温压缩过程体积变为V2，压强变为p2。由玻意耳定律有
p1V1＝p2V2①
设注入水银后水银柱高度为h，水银的密度为ρ，按题设条件有p1＝p0＋ρgh0②
p2＝p0＋ρgh③
V1＝(2H－l－h0)S，V2＝HS④
联立①②③④式并代入题给数据得
h＝12.9 cm。⑤
(2)密封气体再经等压膨胀过程体积变为V3，温度变为T2，由盖·吕萨克定律有
＝⑥
按题设条件有V3＝(2H－h)S⑦
联立④⑤⑥⑦式并代入题给数据得
T2＝363 K。
题型二　“汽缸活塞类”模型
1.研究对象分两类：
(1)热学研究对象(一定质量的理想气体)；
(2)力学研究对象(汽缸、活塞或某系统)。
2.分析物理过程
(1)对热学研究对象分析清楚初、末状态及状态变化过程，依据气体实验定律列出方程；
(2)对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程。
3.挖掘题目的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程。
4.多个方程联立求解。对求解的结果注意检验它们的合理性。

两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程，还要写出各部分气体之间压强或体积的关系式，最后联立求解。
【真题示例2】 (2021·全国甲卷)如图3，一汽缸中由活塞封闭有一定量的理想气体，中间的隔板将气体分为A、B两部分；初始时，A、B的体积均为V，压强均等于大气压p0。隔板上装有压力传感器和控制装置，当隔板两边压强差超过0.5p0时隔板就会滑动，否则隔板停止运动。气体温度始终保持不变。向右缓慢推动活塞，使B的体积减小为。

图3
(1)求A的体积和B的压强；
(2)再使活塞向左缓慢回到初始位置，求此时A的体积和B的压强。
答案　(1)0.4V　2p0　(2)(－1)V　p0
解析　(1)对气体B，由玻意耳定律有
p0V＝pB·
代入数据解得pB＝2p0
此时pA＝pB＋0.5p0＝2.5p0
同理有p0V＝pAVA
代入数据解得VA＝0.4V。
(2)设此时气体A、B的压强分别为pA1、pB1，体积分别为VA1、VB1，由玻意耳定律有pAVA＝pA1VA1
pB＝pB1VB1
VA1＋VB1＝2V
pA1＋0.5p0＝pB1
联立解得VA1＝(－1)V，pB1＝p0。

2.如图4(a)所示，“系留气球”是一种用缆绳固定于地面、高度可控的氦气球，作为一种长期留空平台，具有广泛用途。图(b)为某一“系留气球”的简化模型图；主、副气囊通过无漏气、无摩擦的活塞分隔，主气囊内封闭有一定质量的氦气(可视为理想气体)，副气囊与大气连通。轻弹簧右端固定、左端与活塞连接。当气球在地面达到平衡时，活塞与左挡板刚好接触，弹簧处于原长状态。在气球升空过程中，大气压强逐渐减小，弹簧被缓慢压缩。当气球上升至目标高度时，活塞与右挡板刚好接触，氦气体积变为地面时的1.5倍，此时活塞两侧气体压强差为地面大气压强的。已知地面大气压强p0＝1.0×105 Pa、温度T0＝300 K，弹簧始终处于弹性限度内，活塞厚度忽略不计。

图4
(1)设气球升空过程中氦气温度不变，求目标高度处的大气压强p；
(2)气球在目标高度处驻留期间，设该处大气压强不变。气球内外温度达到平衡时，弹簧压缩量为左、右挡板间距离的。求气球驻留处的大气温度T。
答案　(1)p0　(2)266 K
解析　(1)汽缸中的温度不变，则发生的是等温变化，设汽缸内的气体在目标位置的压强为p1，由玻意耳定律p0V0＝p1×1.5V0
解得p1＝p0
由目标处的内外压强差可得p1－p＝p0
解得p＝p0。
(2)由胡克定律F＝kx可知弹簧的压缩量变为原来的，则活塞受到弹簧的压强也变为原来的，即px＝p0×＝p0
设此时汽缸内气体的压强为p2，对活塞压强平衡可得p2＝px＋p＝p0
由理想气体状态方程可得＝
其中V2＝V0＋0.5V0×＝V0
解得T＝266 K。
题型三　“变质量气体”问题
气体实验定律及理想气体状态方程的适用对象都是一定质量理想气体，但在实际问题中，常遇到气体的变质量问题；气体的变质量问题，可以通过巧妙地选择合适的研究对象，把“变质量”问题转化为“定质量”的问题，从而可以利用气体实验定律或理想气体状态方程求解，常见以下四种类型：
角度1　充气问题
选择原有气体和即将充入的气体整体作为研究对象，就可把充气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题。
【真题示例3】 (2021·广东卷)为方便抽取密封药瓶里的药液，护士一般先用注射器注入少量气体到药瓶里后再抽取药液，如图5所示。某种药瓶的容积为0.9 mL，内装有0.5 mL的药液，瓶内气体压强为1.0×105 Pa。护士把注射器内横截面积为0.3 cm2、长度为0.4 cm、压强为1.0×105 Pa的气体注入药瓶，若瓶内外温度相同且保持不变，气体视为理想气体，求此时药瓶内气体的压强。

图5
答案　1.3×105 Pa
解析　未向药瓶内注入气体前，药瓶内气体的压强
p1＝1.0×105 Pa，
体积V1＝(0.9－0.5) mL＝0.4 mL，
注射器内气体的压强p0＝1.0×105 Pa，
体积V0＝0.3×0.4 mL＝0.12 mL，
将注射器内气体注入药瓶后，药瓶内气体的体积V2＝V1＝0.4 mL，设压强为p2，
根据玻意耳定律有p1V1＋p0V0＝p2V2
解得p2＝1.3×105 Pa。
角度2　抽气问题
选择每次抽气过程中抽出的气体和剩余气体整体作为研究对象，抽气过程可以看成质量不变的等温膨胀过程。
【例4】 用容积为ΔV的活塞式抽气机对容积为V0的容器中的气体抽气，如图6所示。设容器中原来的气体压强为p0，抽气过程中气体温度不变。求抽气机的活塞抽气n次后，容器中剩余气体的压强pn为多少？

图6
答案　p0
解析　当活塞下压时，阀门a关闭，b打开，抽气机汽缸中ΔV体积的气体排出，容器中气体压强降为p1。活塞第二次上提(即抽第二次气)，容器中气体压强降为p2。
根据玻意耳定律，对于第一次抽气，有
p0V0＝p1(V0＋ΔV)
解得p1＝p0
对于第二次抽气，有p1V0＝p2(V0＋ΔV)
解得p2＝p0
以此类推，第n次抽气后容器中气体压强降为pn＝p0。
角度3　灌气分装
把大容器中的剩余气体和多个小容器中的气体整体作为研究对象，可将变质量问题转化为定质量问题。
【真题示例5】 (2020·全国卷Ⅰ)甲、乙两个储气罐储存有同种气体(可视为理想气体)。甲罐的容积为V，罐中气体的压强为p；乙罐的容积为2V，罐中气体的压强为p。现通过连接两罐的细管把甲罐中的部分气体调配到乙罐中去，两罐中气体温度相同且在调配过程中保持不变，调配后两罐中气体的压强相等。求调配后
(1)两罐中气体的压强；
(2)甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比。
答案　(1)p　(2)
解析　(1)假设乙罐中的气体被压缩到压强为p，其体积变为V1，由玻意耳定律有
p(2V)＝pV1①
现两罐气体压强均为p，总体积为(V＋V1)。设调配后两罐中气体的压强为p′，由玻意耳定律有
p(V＋V1)＝p′(V＋2V)②
联立①②式可得p′＝p。③
(2)若调配后甲罐中的气体再被压缩到原来的压强p时，体积为V2，由玻意耳定律有
p′V＝pV2④
设调配后甲罐中气体的质量与甲罐中原有气体的质量之比为k，
k＝⑤
联立③④⑤式可得k＝。
角度4　漏气问题
选容器内剩余气体和漏出气体整体作为研究对象，便可使漏气过程中气体质量变化问题转化为定质量气体问题。
【例6】 容器内装有1 kg的氧气，开始时，氧气压强为1.0×106 Pa，温度为57 ℃，因为漏气，经过一段时间后，容器内氧气压强变为原来的，温度降为27 ℃，求漏掉多少千克氧气？
答案　0.34 kg
解析　由题意知，气体质量m＝1 kg
压强p1＝1.0×106 Pa
温度T1＝(273＋57) K＝330 K
经一段时间后温度降为
T2＝(273＋27) K＝300 K
p2＝p1＝×1×106 Pa＝6.0×105 Pa
设容器的体积为V，以全部气体为研究对象，
由理想气体状态方程得＝
代入数据解得
V′＝＝＝ V
所以漏掉的氧气质量为
Δm＝m＝×1 kg＝0.34 kg。


考点一　“玻璃管液封”模型
1.(原创题)科研小组在实验室进行了如下实验，将一个导热的开口向下、粗细均匀的玻璃管竖直放置，玻璃管的总长为50 cm，管内有一段长度为15 cm的水银柱，封闭着一段长为15 cm的空气柱，如图1所示。环境温度恒为7 ℃，当时的大气压强为75 cmHg，重力加速度g取9.8 m/s2，将玻璃管绕管口顺时针缓慢转过90°，使其开口向左。试求：

图1
(1)顺时针缓慢转过90°后，封闭空气柱的长度；
(2)要让旋转后封闭的空气柱长度仍然保持最初的长度15 cm，可采用下列两种措施：
途径一：若给玻璃管一个向右的外力，让其匀加速向右运动，加速度a的大小？
途径二：若给旋转后的空气柱加热，加热后的温度是多少？
答案　(1)12 cm　(2)9.8 m/s2　77 ℃
解析　(1)缓慢转动过程，气体温度不变，旋转前p1＝p0－ph＝60 cmHg，V1＝L1S＝15S cm3
旋转后p2＝p0＝75 cmHg，V2＝L2S
根据玻意耳定律p1V1＝p2V2
代入数据解得L2＝12 cm。
(2)途径一：旋转前水银柱静止不动，根据平衡条件p0S＝p1S＋mg
匀加速向右运动时，根据牛顿第二定律有p0S－p1S＝ma
联立方程解得a＝g＝9.8 m/s2。
途径二：最初状态，p1＝p0－ph＝60 cmHg，T1＝(273＋7)K＝280 K
最后状态
p3＝p0＝75 cmHg，T3＝(273＋t)K
根据查理定理＝
代入数据解得t＝77 ℃。
2.(2021·广东三市联考)肺活量是用标准状况下气体的体积来衡量的。设标准状况下温度为T0，大气压强为p0，且大气压强受气温影响可以忽略不计。某同学设计了一个简易测量肺活量的装置，图2中A为倒扣在水中的开口圆筒，测量前排尽其中的空气，测量时被测者尽力吸足空气，再通过B呼出空气，呼出的空气通过导管进入A内，使A浮起。已知圆筒的质量为m，横截面积为S，水的密度为ρ，测量时环境温度为T1，筒底浮出水面的高度为h，重力加速度为g。求：

图2
(1)圆筒内外水面高度差；
(2)被测者的肺活量。
答案　(1)　(2)
解析　(1)设圆筒内部气体压强为p1，圆筒内外水面高度差为h1，p1S＝mg＋p0S
又p1＝p0＋ρgh1
联立可得圆筒内外水面高度差h1＝。
(2)根据理想气体状态方程
＝
可得肺活量为
V0＝。
考点二　“汽缸活塞类”模型
3.(2021·陕西安康联考)如图3所示，开口向上的汽缸由粗细不同的两段圆筒组成，下段内径为r，上段内径为2r，活塞a在汽缸上段中的位置离活塞b的距离为h，活塞b在汽缸下段正中，下段气缸高度h，两活塞厚度不计，a的质量为4m，b的质量为m，大气压强为p0，环境温度为T0，两个活塞与汽缸内壁无摩擦，且气密性好，缸内封闭有两段气体Ⅰ、Ⅱ，重力加速度为g，上段汽缸足够高，求：

图3
(1)气体Ⅱ的压强；
(2)若给气体Ⅰ、Ⅱ同时缓慢加热，使两部分气体升高相同的温度，使活塞b刚好上升，则这时两部分气体温度升高的温度和活塞a上升的高度。
答案　(1)p0＋　(2)T0　h
解析　(1)开始时，气体Ⅰ的压强
p1＝p0＋＝p0＋
气体Ⅱ的压强p2＝p1＋＝p0＋。
(2)给气体Ⅰ、Ⅱ同时缓慢加热，使两部分气体升高相同的温度ΔT，活塞b刚好上升，两段气体均发生等压变化
对气体Ⅱ　＝
解得ΔT＝T0
设气体Ⅰ上升的高度为h1，Sa＝4πr2，Sb＝πr2，则＝
解得h1＝h。
考点三　“变质量气体”问题
4.(2021·山东卷)血压仪由加压气囊、臂带、压强计等构成，如图4所示。加压气囊可将外界空气充入臂带，压强计示数为臂带内气体的压强高于大气压强的数值，充气前臂带内气体压强为大气压强，体积为V；每次挤压气囊都能将60 cm3的外界空气充入臂带中，经5次充气后，臂带内气体体积变为5V，压强计示数为150 mmHg。已知大气压强等于750 mmHg，气体温度不变。忽略细管和压强计内的气体体积。则V等于(　　)

图4
A.30 cm3 B.40 cm3
C.50 cm3 D.60 cm3
答案　D
解析　根据玻意耳定律可得
p0V＋5p0V0＝p1×5V
又p0＝750 mmHg，V0＝60 cm3
p1＝750 mmHg＋150 mmHg＝900 mmHg
解得V＝60 cm3，故选项D正确。
5.某容积为20 L的氧气瓶装有30 atm的氧气，现把氧气分装到容积为5 L的小钢瓶中，使每个小钢瓶中氧气的压强为5 atm，若每个小钢瓶中原有氧气压强为1 atm，问能分装多少瓶？(设分装过程中无漏气，且温度不变)
答案　25瓶
解析　设最多能分装n个小钢瓶，并选取氧气瓶中的氧气和n个小钢瓶中的氧气整体为研究对象。因为分装过程中温度不变，故遵循玻意耳定律。
分装前整体的状态
p1＝30 atm，V1＝20 L；p2＝1 atm，V2＝5n L
分装后整体的状态
p1′＝5 atm，V1′＝20 L；p2′＝5 atm
V2′＝5n L
根据玻意耳定律，有
p1V1＋p2V2＝p1′V1′＋p2′V2′
代入数据解得n＝25(瓶)。

6.(2021·河北卷)某双层玻璃保温杯夹层中有少量空气，温度为27 ℃时，压强为3.0×103 Pa。
(1)当夹层中空气的温度升至37 ℃，求此时夹层中空气的压强；
(2)当保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，求夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值，设环境温度为27 ℃，大气压强为1.0×105 Pa。
答案　(1)3.1×103 Pa　(2)
解析　(1)初状态：p1＝3.0×103 Pa，
T1＝(273＋27)K＝300 K，
末状态：T2＝(273＋37)K＝310 K，设压强为p2
根据查理定律得＝
解得p2＝3.1×103 Pa。
(2)保温杯外层出现裂隙，静置足够长时间，则夹层压强和大气压强p0相等，以夹层中原有空气为研究对象，由玻意耳定律得
p1V＝p0V′
解得V′＝0.03V
夹层中增加的空气质量与原有空气质量的比值＝＝。
7.(2021·重庆渝中区模拟)新冠疫情期间，武汉市医疗物资紧缺，需要从北方调用大批钢瓶氧气(如图5)，每个钢瓶内体积为0.5 m3，在北方时测得钢瓶内氧气压强为6×107 Pa，温度为7 ℃，长途运输到武汉方舱医院检测时测得钢瓶内氧气压强为6.3×107 Pa，温度为21 ℃。实际使用过程中，先用小钢瓶(加抽气机)缓慢分装，然后供病人使用，小钢瓶体积为0.1 m3，分装后每个小钢瓶内氧气压强为4×105 Pa，要求大钢瓶内压强降到2×105 Pa时就停止分装，求：

图5
(1)通过计算判断钢瓶运输途中是否漏气；
(2)一大钢瓶可分装多少小瓶供病人使用。
答案　(1)没有漏气　(2)785小瓶
解析　(1)钢瓶的容积一定，从北方到武汉对钢瓶内气体，若＝成立，则气体的质量一定，即没有发生漏气。
在北方＝ Pa/K＝ Pa/K
在武汉＝ Pa/K＝ Pa/K
可见＝成立，即钢瓶在运输途中没有发生漏气。
(2)在武汉时，设大瓶内氧气由p2、V2等温变化为不分装时的状态p3、V3，则p2＝6.3×107 Pa，V2＝0.5 m3，P3＝2×105 Pa。
根据p2V2＝p3V3，得V3＝157.5 m3。
可用于分装小瓶的氧气p4＝2×105 Pa
V4＝(157.5－0.5) m3＝157 m3
分装成小钢瓶的氧气p5＝4×105 Pa
V5＝nV，其中小钢瓶体积为V＝0.1 m3
根据p4V4＝p5V5，得n＝785
即一大钢瓶氧气可分装785小瓶。
8.如图6所示，一个内壁光滑，中部带有卡环的圆柱形绝热汽缸开口朝上竖直放置，质量为m的绝热活塞A放置于卡环上。汽缸底部右侧开有一个小孔，连接一个右端开口的U形均匀细玻璃管，管内两侧水银柱相平，细管右侧上方有一不计质量的光滑小活塞B，两个活塞与水银柱之间各封闭了一定质量的理想气体。初始时，汽缸内理想气体温度为T0＝304 K，右侧气柱长H＝12 cm。现在在右侧小活塞B上施力，使得活塞下移h＝6 cm，同时通过加热装置缓慢提高汽缸内气体温度，稳定后发现U形管左侧比右侧水银面高Δh＝4 cm，且活塞A恰好离开卡环。已知活塞A的横截面积为S＝38 cm2，已知大气压强为p0＝76 cmHg＝1.0×105 Pa，重力加速度g＝10 m/s2，汽缸内气体体积变化可忽略不计，求：

图6
(1)此时右侧气柱压强p1的大小为多少cmHg；
(2)汽缸内气体此时的温度T为多少K？活塞A的质量m为多少kg。
答案　(1)114 cmHg　(2)440 K　17 kg
解析　(1)对U型管右侧气体由玻意耳定律得p0HS′＝p1H′S′
又因为H′＝H－h＋＝8 cm
解得p1＝114 cmHg。
(2)此时汽缸内气体压强大小
p＝p1－pΔh＝110 cmHg
对汽缸内气体由查理定律＝
解得T＝440 K
对活塞由平衡条件得p0S＋mg＝pS
代入数据得m＝17 kg。