2023版（教科版）高考步步高大一轮复习讲义第五章 机械能

第3节　机械能守恒定律及应用

一、重力做功与重力势能的关系
1.重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
2.重力势能
(1)表达式：Ep＝mgh。
(2)重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关。
3.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
【自测1】 关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A.物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C.一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案　D
二、弹性势能
1.定义：发生弹性形变的物体的各个部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为
W＝－ΔEp。
【自测2】 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是(　　)
A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能
B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变
C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能
D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关
答案　AB
三、机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。
2.表达式：mgh1＋mv＝mgh2＋mv。
3.机械能守恒的条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化。
【自测3】 下列几种运动中，机械能一定守恒的是(　　)
A.做匀速直线运动的物体
B.做匀变速直线运动的物体
C.做平抛运动的物体
D.做匀速圆周运动的物体
答案　C

考点一　机械能守恒的理解和判断
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒。
(2)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒。
(3)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒。

1.(机械能守恒的条件)(2021·浙江绍兴期末)如图1所示为阿拉斯加当地人的一种娱乐方式。他们用一块弹性毯子将小孩竖直抛起，再保持弹性毯子水平，接住小孩。不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)

图1
A.用毯子将小孩上抛，毯子对小孩做正功，小孩机械能增加
B.小孩在空中上升时处于超重状态，下落过程处于失重状态
C.小孩由最高点下落，一接触到弹性毯子就立刻做减速运动
D.小孩由最高点下落至速度为零的过程中，小孩机械能守恒
答案　A
解析　用毯子将小孩上抛，毯子对小孩做正功，小孩机械能增加，故A正确；小孩在空中上升时和下落过程加速度向下，都处于失重状态，故B错误；小孩由最高点下落，一接触到弹性毯子在弹力小于重力之前，加速度向下，还是加速运动，故C错误；小孩由最高点下落至速度为零的过程中，除重力外，毯子的弹力对小孩做负功，小孩机械能减小，故D错误。
2.(机械能守恒的判断)(2021·山西太原模拟)如图2所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是(　　)

图2
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
答案　B
解析　不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，B正确，C、D错误；斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误。
考点二　单个物体的机械能守恒问题
1.表达式


用“守恒形式”时，需要选取重力势能的参考平面。用“转化形式”和“转移形式”时则不必选取重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。
2.一般步骤

【例1】 如图3，MN为半径R＝0.4 m、固定于竖直平面内的光滑圆弧轨道，轨道上端切线水平，O为圆心，M、O、P三点在同一水平线上，M的下端与轨道相切处放置竖直向上的弹簧枪，可发射速度不同但质量均为m＝0.01 kg的小钢珠，小钢珠每次都在M点离开弹簧枪。某次发射的小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，水平飞出后落到OP上的Q点。不计空气阻力，取g＝10 m/s2。求：

图3
(1)小钢珠经过N点时速度的大小vN；
(2)小钢珠离开弹簧枪时的动能Ek；
(3)小钢珠的落点Q与圆心O的距离x。
答案　(1)2 m/s　(2)0.06 J　(3) m
解析　(1)小钢珠沿轨道经过N点时恰好与轨道间无作用力，则有mg＝m
解得vN＝2 m/s。
(2)小钢珠在光滑圆弧轨道上运动，由机械能守恒定律得
mv－Ek＝－mgR
解得Ek＝0.06 J。
(3)小钢珠从N点水平飞出后，做平抛运动，
R＝gt2，x＝vNt，解得x＝ m。

❶应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
❷如果系统(除地球外)只有一个物体，用守恒式列方程较简便；对于由两个或两个以上物体组成的系统，用转化式或转移式列方程较简便。

3.如图4，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)

图4
A. B. C. D.
答案　B
解析　设小物块滑到轨道上端的速度大小为v1，半径为r，小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律有2mgr＋mv＝mv2，小物块做平抛运动时，设落地点到轨道下端的距离为x，则有x＝v1t，2r＝gt2，联立以上式子解得x＝2，当r＝时，x最大，故选项B正确。
考点三　连接体的机械能守恒问题
1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA增＝ΔEB减的形式。
角度1　轻绳连接的物体系统
常见情景

三点提醒
(1)分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系
(3)对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒
【例2】 (2021·黑龙江哈尔滨模拟)如图5所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，A、B通过绳子连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时，圆环与定滑轮之间的绳子处于水平状态，长度l＝4 m，现从静止开始释放圆环，不计定滑轮和空气的阻力，重力加速度g取10 m/s2，若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则A和B的质量关系为(　　)

图5
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
[思路点拨]　通过圆环的速度找出物体A的速度，然后对系统应用机械能守恒定律即可。

答案　A
解析　圆环下降3 m时，速度沿绳方向和垂直绳方向进行分解，可得vA＝vcos θ，由几何关系可知cos θ＝，解得vA＝3 m/s。物体A上升的高度h′＝－l＝1 m。将A、B看作一个系统，该系统的机械能守恒，由机械能守恒定律可得mgh－Mgh′＝mv2＋Mv，代入数据解得＝，选项A正确。

❶本题中物体A和圆环B的速度大小并不相等，但物体A的速度和圆环B在沿绳方向上的分速度大小相等，所以在解决此类问题时，一定要弄清楚轻绳连接的两物体间的速度关系。
❷此题中物体A和圆环B的位移大小也是不同的，所以一定要找准两者之间的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
❸一定要注意是物体A和圆环B组成的系统机械能守恒，单个的物体A或圆环B的机械能不守恒，因为绳的拉力要做功，如在本题中，轻绳对A做正功，对B则做了负功。
角度2　轻杆连接的物体系统
常见情景

vAsin θ＝vBcos θ

三大特点
(1)平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒
(3)对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒
【例3】 (2021·山东烟台模拟)如图6所示，可视为质点的小球A和B用一根长为0.2 m的轻杆相连，两球质量均为1 kg，开始时两小球置于光滑的水平面上，并给两小球一个大小为2 m/s，方向水平向左的初速度，经过一段时间，两小球滑上一个倾角为30°的光滑斜面，不计球与斜面碰撞时的机械能损失，重力加速度g取10 m/s2，在两小球的速度减小为零的过程中，下列判断正确的是(　　)

图6
A.杆对小球A做负功
B.小球A的机械能守恒
C.杆对小球B做正功
D.小球B速度为零时距水平面的高度为0.15 m
[思路点拨]　首先判定两小球组成的系统机械能守恒，然后计算当A、B两小球的速度减为零时两球在斜面上上升的高度，最后分别对两小球应用动能定理，判断杆对两小球的做功情况。
答案　D
解析　由于两小球组成的系统机械能守恒，设两小球的速度减为零时，B小球上升的高度为h，则由机械能守恒定律可得mgh＋mg(h＋Lsin 30°)＝·2mv，其中L为轻杆的长度，v0为两小球的初速度，代入数据解得h＝0.15 m，选项D正确；在A球沿斜面上升过程中，设杆对A球做的功为W，则由动能定理可得－mg(h＋Lsin 30°)＋W＝0－mv，代入数据解得W＝0.5 J，选项A、B错误；由于两小球系统的机械能守恒，系统内力做功之和为0，故杆对小球B做功为W′＝－0.5 J，选项C错误。

❶通过轻杆连接的物体系统，轻杆对两个物体都施加力的作用，物体各自的机械能不守恒。
❷轻杆对与其连接的物体的作用力一般情况下属于变力，该力对物体做的功一般用动能定理进行求解。
❸要注意用轻杆连接的两物体的速度大小不一定总是相等，但两物体沿杆方向的速度大小一定相等，此时可以利用运动的合成与分解寻找两物体速度之间的关系。
角度3　轻弹簧连接的物体系统
题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒
两点提醒
(1)对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩
(2)物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关
【真题示例4】 (多选)(2020·山东卷)如图7所示，质量为M的物块A放置在光滑水平桌面上，右侧连接一固定于墙面的水平轻绳，左侧通过一倾斜轻绳跨过光滑定滑轮与一竖直轻弹簧相连。现将质量为m的钩码B挂于弹簧下端，当弹簧处于原长时，将B由静止释放，当B下降到最低点时(未着地)，A对水平桌面的压力刚好为零。轻绳不可伸长，弹簧始终在弹性限度内，物块A始终处于静止状态。以下判断正确的是(　　)

图7
A.M<2m
B.2m C.在B从释放位置运动到最低点的过程中，B所受合力对B先做正功后做负功
D.在B从释放位置运动到速度最大的过程中，B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量
答案　ACD
解析　钩码B释放后做简谐运动，根据简谐运动的对称性，物块B在最高点加速度大小为g，所以在最低点加速度大小也为g。在最低点对B由牛顿第二定律有F－mg＝ma，得F＝2mg，而B在最低点时物块A对水平桌面的压力刚好为零，可知A左侧轻绳上拉力的竖直分力等于Mg，故M<2m，A项正确，B项错误；B从释放位置到最低点的过程中，速度先增大后减小，由动能定理可知，合力对B先做正功后做负功，C项正确；由功能关系可知，B从释放到速度最大过程中B克服弹簧弹力做的功等于B机械能的减少量，D项正确。

❶弹簧弹力做功与路径无关，只取决于初、末状态弹簧形变量的大小。
❷含弹簧的系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间可以相互转化，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体或弹簧的机械能都不守恒。
❸由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端的物体速度大小相同。

4.(多选)(2021·河南鹤壁高中模拟)如图8所示，水平光滑长杆上套有小物块A，细线跨过位于O点的轻质光滑定滑轮，一端连接A，另一端悬挂小物块B，物块A、B质量相等。C为O点正下方杆上的点，滑轮到杆的距离OC＝h，重力加速度为g。开始时A位于P点，PO与水平方向的夹角为30°，现将A、B由静止释放，下列说法正确的是(　　)

图8
A.物块A由P点出发第一次到达C点过程中，速度先增大后减小
B.物块A经过C点时的速度大小为
C.物块A在杆上长为2h的范围内做往复运动
D.在物块A由P点出发第一次到达C点过程中，物块B克服细线拉力做的功小于B重力势能的减少量
答案　BC
解析　物块A由P点出发第一次到达C点过程中，绳子拉力对A做正功，其他力不做功，动能不断增大，速度不断增大，故A错误；物块A到C点时，物块B的速度为零。设物块A经过C点时的速度大小为v，根据机械能守恒定律得mg＝mv2，解得v＝，故B正确；由几何知识可得＝＝h，由对称性可知物块A在杆上长为2h的范围内做往复运动，故C正确；根据动能定理可知，在物块A由P点出发第一次到达C点过程中，物块B克服细线拉力做的功等于B重力势能的减少量，故D错误。
5.如图9，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则(　　)

图9
A.a落地前，轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D.a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
答案　D
解析　当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中，先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，A错误；a运动到最低点时，b的速度为零，根据机械能守恒定律得mAgh＝mv，解得vA＝，B错误；在a下落过程中，b的速度先增大后减小，a对b的作用力先是动力后是阻力，b对a的作用力就先是阻力后是动力，在b减速的过程中，b对a是向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，C错误；当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力和地面给的支持力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，D正确。
6.(2021·湖南郴州模拟)如图10所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与质量为m的小球相连，小球穿在倾斜的光滑固定杆上，杆与水平面之间的夹角为α，小球在A处时弹簧水平且处于原长。OB垂直于杆。将小球从A处由静止释放，到达C处时速度为零。弹簧始终在弹性限度之内，则(　　)

图10
A.下滑过程中，小球在B点的动能最大
B.下滑过程中，弹簧的弹性势能先增大后减小
C.从B运动到C的过程中，重力势能与弹性势能的和先减小后增大
D.小球在C点处加速度为零
答案　C
解析　由于OA为弹簧原长，小球在B点时弹簧处于压缩状态，从B到C弹簧先变为原长再变为伸长状态，给小球沿杆方向的作用力先向下后向上，重力沿杆方向的分力一直向下，小球将先加速后减速，动能先增大后减小，重力势能与弹性势能的和先减小后增大，故A错误，C正确；A到C过程中弹性势能先增大后减小再增大，故B错误；小球最后是减速到C点的，沿杆方向的合力向上，加速度不为零，故D错误。

生产生活中的机械能守恒问题
【示例1】 (多选)(2021·安徽太和模拟)如图1所示，是一游戏机的工作示意图。光滑游戏面板与水平面成一夹角θ，半径为R的四分之一圆弧轨道BC与AB管道相切于B点，C点为圆弧轨道最高点，轻弹簧下端固定在AB管道的底端，上端系一轻绳，绳通过弹簧内部连一手柄P。将球投入AB管内，缓慢下拉手柄使弹簧被压缩，释放手柄，弹珠被弹出，与游戏面板内的障碍物发生一系列碰撞后落入弹槽里，根据入槽情况可以获得不同的奖励。假设所有轨道均光滑，忽略空气阻力，弹珠视为质点。某次缓慢下拉手柄，使弹珠距B点为L，释放手柄，弹珠被弹出，到达C点速度为v，下列说法正确的是(　　)

图1
A.弹珠从释放手柄开始到触碰障碍物之前的过程中机械能不守恒
B.调整手柄的位置，可以使弹珠从C点离开后做匀变速直线运动，直到碰到障碍物
C.弹珠脱离弹簧的瞬间，其动能和重力势能之和达到最大
D.此过程中，弹簧的最大弹性势能为mg(L＋R)sin θ＋mv2
答案　ACD
解析　因为弹珠从释放手柄的过程，弹簧对弹珠做功，其机械能不守恒，故A正确；弹珠从C点离开后初速度水平向左，合力等于重力沿斜面向下的分力，两者垂直，所以弹珠做匀变速曲线运动，直到碰到障碍物，故B错误；弹珠从释放手柄的过程，弹簧的弹力对弹珠做正功，弹珠的动能和重力势能之和不断增大，根据弹珠和弹簧组成的系统机械能守恒，知弹珠脱离弹簧的瞬间，弹簧的弹性势能全部转化为弹珠的动能和重力势能，所以此瞬间动能和重力势能之和达到最大，故C正确；根据系统的机械能守恒得，弹簧的最大弹性势能等于弹珠在C点的机械能，为mg(L＋R)sin θ＋mv2，故D正确。
【示例2】 (多选)(2021·天津十二区联考)2022年第24届冬季奥林匹克运动会将在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的比赛项目之一。图2为一简化后的跳台滑雪的轨道示意图，运动员(可视为质点)从O点由静止开始自由滑过一段圆心角为60°的光滑圆弧轨道后从A点水平飞出，然后落到斜坡上的B点。已知A点是斜坡的起点，光滑圆弧轨道半径为40 m，斜坡与水平面的夹角θ＝30°，运动员的质量m＝50 kg。重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　)

图2
A.运动员从O运动到B的整个过程中机械能不守恒
B.运动员到达A点时对轨道的压力大小为1 000 N
C.运动员到达A点时重力的瞬时功率为104 W
D.运动员从A点飞出到落到B点所用的时间为 s
答案　BD
解析　运动员在光滑的圆轨道上的运动和随后的平抛运动的过程中只有重力做功，机械能守恒，故A错误；运动员在光滑的圆轨道上运动的过程中机械能守恒，有mgR(1－cos 60°)＝mv2，由牛顿第二定律可得，N－mg＝，解得N＝1 000 N，在A点时对轨道的压力大小为1 000 N，故B正确；由P＝mgvcos θ，可知此时重力的瞬时功率为零，故C错误；由h＝gt2，x＝v0t，tan θ＝可得t＝＝ s，故D正确。
【示例3】 (多选)(2022·百师联盟联考)如图3甲所示是小朋友玩蹦床的示意图。从小朋友下落到离地面高h1处开始计时，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示。在h1～h2阶段图像为直线其余部分为曲线，h3对应图像的最高点，小朋友的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力和一切摩擦。下列说法正确的是(　　)

图3
A.整个过程中小朋友的机械能守恒
B.从h2～h5过程中，小朋友的加速度先减小后增大
C.从h1～h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm＝mg(h1－h5)
D.小朋友处于h＝h4高度时蹦床的弹性势能为Ep＝mg(h1－h4)
答案　BC
解析　小朋友与蹦床组成的系统机械能守恒，故A错误；小朋友的脚接触蹦床到弹力等于重力的过程中有mg－kx＝ma，小朋友下降过程中x增大，则a减小，当弹力等于重力到蹦床被压缩至最低点的过程中有kx－mg＝ma′，小朋友下降过程中x增大，则a′增大，则从小朋友的脚接触蹦床直至蹦床被压缩至最低点的过程中，其加速度先减小后增大，故B正确；小朋友从h1下降到h5过程中，蹦床的最大弹性势能为Epm＝mg(h1－h5)，故C正确；小朋友处于h1＝h4高度时，根据系统机械能守恒有Ep＝mg(h2－h4)，故D错误。


考点一　机械能守恒的理解和判断
1.(2021·广东番禺期末)第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京举行。高山滑雪是冬奥会的一个比赛项目，因速度快、惊险刺激而深受观众喜爱。在一段时间内，运动员始终以如图1所示的姿态加速下滑。若运动员受到的阻力不可忽略，则这段时间内他的(　　)

图1
A.重力势能增加，动能减少，机械能守恒
B.重力势能增加，动能增加，机械能守恒
C.重力势能减少，动能减少，机械能减少
D.重力势能减少，动能增加，机械能减少
答案　D
解析　下滑过程中，运动员加速下滑，动能增加，重力做正功，重力势能减小，运动员要克服阻力做功，要消耗机械能，机械能减小，故D正确，A、B、C错误。
2.(2022·河北保定检测)在某次狮王争霸活动中两个参与舞狮的运动员正在从右侧桩顶跳到左侧桩顶，如图2所示。不计空气阻力，下列说法中正确的是(　　)

图2
A.此刻两个运动员处于超重状态
B.此刻两个运动员的速度可能为零
C.此刻他们的重力势能正在转化为动能
D.此刻两个运动员重力的瞬时功率可能为零
答案　D
解析　此刻两个运动员在空中，只受重力作用，处于完全失重状态，A错误；整个过程是斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，故两个运动员的速度不可能为零，B错误；若此刻处于上升阶段，则动能转化为重力势能，若此刻处于下降阶段，则重力势能转化为动能，C错误；若此刻他们刚好在轨迹的最高点，速度方向(水平)与重力方向垂直，则此刻他们重力的瞬时功率为零，D正确。
考点二　单个物体的机械能守恒问题
3.(2021·八省联考重庆卷)一质量为m的物块仅在重力作用下运动，物块位于r1和r2时的重力势能分别为3E0和E0(E0＞0)。若物块位于r1时速度为0，则位于r2时其速度大小为(　　)
A.2 B.
C.2 D.4
答案　A
解析　物体仅在重力作用下运动，物体的机械能守恒，根据机械能守恒定律可知E1＝E2，代入已知条件为3E0＋0＝E0＋mv2，解得r2处的速度为v＝2，故选A。
4.如图3所示，一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过A处时对轨道的压力为(　　)

图3
A.2mg B.3mg C.4mg D.5mg
答案　C
解析　小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过A处时，有F＋mg＝，根据机械能守恒定律，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，C正确。
5.(2021·四川成都期末)如图4(a)所示，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC，半径为0.4 m，小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道，图(b)是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中，其速率的二次方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点C受到轨道的作用力大小为2.5 N，空气阻力不计，B点为AC轨道中点，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)

图4
A.图(b)中x＝36
B.小球质量为0.2 kg
C.小球在A点时受到的轨道作用力大小为12.5 N
D.小球在B点时受到的轨道作用力大小为4.5 N
答案　B
解析　在最高点时，根据牛顿第二定律有N＋mg＝，可得m＝0.2 kg，B正确；根据机械能守恒定律，有mv＝mgh＋mv2，又m＝0.2 kg，h＝2R，解得v＝
25 m2/s2，故x＝25，A错误；在A点时，根据牛顿第二定律有NA－mg＝，可得NA＝14.5 N，C错误；小球在B点时NB＝，又mv＋mgR＝mv，整理得NB＝8.5 N，D错误。
考点三　连接体的机械能守恒问题
6.(多选)(2021·湖南衡阳模拟)如图5所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是(　　)

图5
A.小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g
B.小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C.小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
答案　AD
解析　在B点时，小球的加速度为g，在BC间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g，故A正确；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；D点为小球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确。
7.(多选)(2021·陕西榆林模拟)如图6所示，一足够长、不可伸长的轻绳跨过光滑的轻质定滑轮。绳两端各系一可视为质点的小球a、b。a球的质量为1 kg，静置于水平地面上；b球的质量为4 kg，用手托住使其静止于距地面的高度为3 m处，此时轻绳竖直且刚好拉紧。现释放小球b，取重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)

图6
A.b球落地瞬间，a球的速度大小为3 m/s
B.b球落地瞬间，b球的速度大小为6 m/s
C.a所能达到距地面的最大高度为6 m
D.a所能达到距地面的最大高度为4.8 m
答案　BD
解析　设b球落地瞬间，a球的速度大小为v，由机械能守恒定律有mbgh－magh＝mbv2＋mav2，解得v＝6 m/s，故A错误，B正确；b球落地后，a球上升的高度为h＝3 m，之后做竖直上抛运动，继续上升的高度为h1＝＝1.8 m，所以a所能达到距地面的最大高度为H＝h＋h1＝4.8 m，故C错误，D正确。
8.(2021·河南洛阳期末)如图7所示，有一光滑轨道ABC，AB部分为半径为R的圆弧，BC部分水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，小球可视为质点，开始时a球处于圆弧上端A点，由静止开始释放小球和轻杆，使其沿光滑弧面下滑，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

图7
A.a球下滑过程中机械能保持不变
B.b球下滑过程中机械能保持不变
C.a、b球都滑到水平轨道上时速度大小均为
D.从释放a、b球到a、b球都滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做的功为mgR
答案　D
解析　对于单个小球来说，杆的弹力做功，小球机械能不守恒，A、B错误；两个小球组成的系统机械能守恒，有mgR＋mg(2R)＝×2mv2，解得v＝，选项C错误；a球在滑落过程中，杆对小球做功，重力对小球做功，根据动能定理可得W＋mgR＝mv2，联立v＝，解得W＝mgR，故D正确。

9.(多选)如图8所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体A、B的质量分别为2m、m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地面的距离为h，物体B静止在地面上。放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下列说法中正确的是(　　)

图8
A.物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B.弹簧的劲度系数为
C.物体A着地时的加速度大小为
D.物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
答案　AC
解析　由题意知，物体A下落过程中，B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体A即将着地时，物体B对地面的压力恰好为零，弹簧的弹力为F＝mg，开始时弹簧处于原长，由胡克定律知F＝kh，则弹簧的劲度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，细绳对A的拉力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，则a＝，故C正确；物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mgh＝Ep弹＋×2mv2，则Ep弹＝2mgh－mv2，故D错误。
10.(2021·江苏无锡模拟)如图9所示，半径为R、内壁光滑的硬质圆环固定在地面上，有一质量为m、可视为质点的光滑小球在圆环的底端，现给小球一个初速度，下列说法中正确的是(　　)

图9
A.小球能上升的最大高度一定等于
B.无论v多大，小球上升的最大高度不超过
C.要使小球一直不脱离圆环，v的最小速度为
D.若小球能到达圆环最高点，则在最高点的速度大小可以等于零
答案　B
解析　小球在圆环上的运动情况有两种可能：一是速度较小，滑到某处速度为0，由机械能守恒定律有mgh＝mv2，解得最大高度为h＝；二是速度较大，小球通过到达圆环最高点做完整的圆周运动，或没有到达最高点就离开圆环而做斜抛运动，则在最高点还有水平速度，由机械能守恒定律可知小球所能达到的最大高度要小于h＝，故A错误，B正确；要使小球一直不脱离圆环，当小球不超过圆心等高处的A点时，有mgR＝mv2，解得v＝，小球的速度比这个小都不会离开圆环，当做完整的圆周运动时，则在最高点速度最小时，有mg＝，解得vmin＝，由机械能守恒定律可得mv2－mv＝2mgR，解得v＝，故C、D错误。
11.(多选)如图10甲所示，轻弹簧竖直固定在水平面上处于自由状态，一质量为m＝0.2 kg的小球，从弹簧上端某高度处自由下落，从它接触弹簧到弹簧压缩至最短的过程中(弹簧在弹性限度内)，其速度v和弹簧压缩量Δx之间的函数图像如图乙所示，其中A为曲线的最高点，小球和弹簧接触瞬间机械能损失不计，取g＝10 m/s2，则(　　)

图10
A.当Δx＝0.1 m时，小球处于失重状态
B.小球在最低点时的加速度大于10 m/s2
C.从接触弹簧到压缩至最短的过程中，小球的机械能守恒
D.小球从速度最大到压缩至最短，弹簧弹性势能增加量为3.621 J
答案　BD
解析　Δx＝0.1时，小球的速度最大，合力为零，加速度为零，故A错误；小球到达Δx2＝0.2 m位置时，由牛顿第二定律有kΔx2－mg＝ma可得a＝10 m/s2，此后继续向下运动，到最低点时加速度大于10 m/s2，故B正确；从接触弹簧到压缩至最短的过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，C错误；根据机械守恒定律，小球从速度最大到最低点，弹性势能的增加量ΔEp＝mv2＋mgh＝3.621 J，故D正确。
12.(2021·福建四校联考)如图11，长为2L的轻杆中间安装在离地面一定高度的水平固定转轴上，可以在竖直平面上绕转轴无摩擦转动，两端分别有两个质量为2m和m的小球A、B，初始时轻杆处于水平状态，之后从静止开始自由运动，当轻杆转到竖直位置时两个小球同时与轻杆脱离，脱离瞬间小球速度不变，当两小球落到水平地面时动能相等，两小球可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，计算结果可以用根式表示。求：

图11
(1)小球与杆脱离时两球的速度大小；
(2)两小球在水平地面上落点间的距离。
答案　(1)　(2)(＋)
解析　(1)A、B两球和轻杆组成的系统机械能守恒，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，而A和B瞬时速度大小相等，设轻杆转到竖直位置时两小球与杆脱离的速度大小为v，有
2mgL－mgL＝×2mv2＋mv2
则小球与杆脱离时两球的速度大小
v＝。
(2)设两球到竖直位置时，A球与地面的高度为H，当两小球落到水平地面时动能相等，则有
×2mv2＋2mgH＝mv2＋mg(H＋2L)
则H＝L
A、B两球脱落杆后都做平抛运动，则两小球在水平地面上落点间的距离为
Δx＝xA＋xB＝v(tA＋tB)
＝
＝(＋)。
13.(2022·内蒙古包头模拟)如图12是过山车的简化模型图。在模型图中，半径分别为R1＝4 m和R2＝8 m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为37°的倾斜光滑直轨道平面上的Q、Z两点，LQZ＝17 m，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接。现使小车(视作质点)从P点由静止沿斜面向下运动，依次通过A、B。(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求∶

图12
(1)若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则P点到A处的竖直高度；
(2)在第一问条件下，小车在B点所受的弹力大小。
答案　(1)2 m　(2)mg
解析　(1)由题意知，小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则mg＝m
从P到A，由机械能守恒定律有
mgh1＝mv
联立解得h1＝2 m。
(2)从A到B，由几何关系得A、B的竖直高度差为
h2＝R1(1＋cos α)＋LQZsin α－R2(1＋cos α)＝3 m
过程中机械能守恒，则有
mgh2＝mv－mv
解得vB＝10 m/s
在B点由牛顿第二定律有
mg＋N＝m
解得N＝mg。