2021-2022学年北京五十七中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京五十七中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，不能与合并的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 如图，矩形中，对角线，交于点．若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

5. 如图，点是直线外一点，在上取两点，，分别以，为圆心，，长为半径画弧，两弧交于点，分别连接、、，则四边形一定是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

6. 若一直角三角形的两边为和，则它第三边的长为

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

8. 下列命题中，正确的是

A. 有一组邻边相等的四边形是菱形
B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形
C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

9. 如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，设木棍中点为，若木棍端沿墙下滑，且沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点到点的距离

A. 不变
B. 变小
C. 变大
D. 无法判断

10. 如图，点是▱内的任意一点，连接、、、，得到、、、，设它们的面积分别是、、、，给出如下结论：
    ；如果，则；若，则；若，则点一定在对角线上．
    其中正确的有

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 如果两个最简二次根式与能合并，那么______．
12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. ，则的取值为______．
14. 如图所示，菱形中，对角线，相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于______．
     

15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿对折，使点落在点处，已知，，则点的坐标是______．
     

16. 如图，正方形的面积是，，，分别是，，上的动点，的最小值等于            ．
    
     

17. 在中，，，点在直线上，且，则线段的长为______．
18. 如图，矩形中，为的中点，过点的直线分别与，交于点，，连接交于点，连接，，若，，则下列结论：垂直平分；≌；；：：其中正确的个数是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算：
    ；
    ．
20. 如图，在▱中，点，分别在，上，，请说明与的大小关系，并说明理由．
     

21. 已知：在中，．
    求作：矩形．
    作法：如下，
    分别以点，为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
    作直线，交边于点；
    作射线，以点为圆心，以长为半径作弧，与射线的另一个交点为，连接，；
    所以四边形就是所求作的矩形．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：直线是的垂直平分线，
    ．
    ，
    四边形是平行四边形______填推理的依据．
    ，
    四边形是矩形______填推理的依据．
22. 小东和小明要测量校园里的一块四边形场地如图所示的周长，其中边上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度
    小东经测量得知，，，
    小明说根据小东所得的数据可以求出的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出的长度；若不同意，请说明理由．

23. 在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
    证明四边形是菱形；
    若，，求菱形的面积．

24. 如图，在正方形中，为边上一点不与点，重合，于点，交于点，连接．
    求证：；
    是否存在点的位置，使得为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点的位置并证明；若不存在，说明理由．

25. 请阅读下列材料：问题：如图，点、在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．小明的思路是：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求．
    
    请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
    如图，在图的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为，若，，，写出的值；
    将中的条件“”去掉，换成“”，其它条件不变，写出此时的值；
    请结合图形，求出的最小值．
26. 阅读下列材料：
    问题：如图，在平行四边形中，是上一点，，，过点作直线，在上取一点，使得，连接．
    求证：．
    如果将原问题中的“”改为“”，原问题中的其它条件不变如图，请探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：．
根据二次根式的乘除法，可化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
 

2.【答案】

【解析】解：、为最简二次根式，符合题意；
B、，不合题意；
C、，不合题意；
D、，不合题意，
故选：．
利用最简二次根式的定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故是直角三角形，故错误；
B、，故是直角三角形，故错误；
C、，故是直角三角形，故错误；
D、，故不是直角三角形，故正确．
故选：．
欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形，
；
故选：．
先由矩形的性质得出，再证明是等边三角形，得出即可．
本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
利用平行四边形的判定方法可以判定四边形 是平行四边形．本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
【解答】
解： 分别以 、 为圆心， 、 长为半径画弧，两弧交于点 ，
、
四边形 是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
故选 A ．   

6.【答案】

【解析】解：由题意得：
当所求的边是斜边时，则有；
当所求的边是直角边时，则有．
故选：．
此题要考虑两种情况：当所求的边是斜边时；当所求的边是直角边时．
本题考查了勾股定理的运用，难度不大，但要注意此类题的两种情况，很多学生只选．
 

7.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
同理可得，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
；
故选：．
先证明四边形是菱形，得出，，，由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项错误；
B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故本选项错误；
C、两组对角相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项正确．
故选：．
分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是命题与定理，熟知菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：不变．连接，
在中，是斜边上的中线，
那么，
由于木棍的长度不变，所以不管木棍如何滑动，都是一个定值．
故选：．
连接，易知就是斜边上的中线，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，那么，由于不变，那么也就不变．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是知道木棍的长度不变，也就是斜边不变．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
设点到、、、的距离分别为、、、，
则，，，，
，
，
又
，故正确；
根据只能判断，不能判断，即不能得出，错误；
根据，能得出，不能推出，即不能推出，错误；
，
，
如图所示：

此时，
即点一定在对角线上，正确；
故选：．
根据平行四边形的对边相等可得，，设点到、、、的距离分别为、、、，然后利用三角形的面积公式列式整理即可判断出正确；根据三角形的面积公式即可判断错误；根据已知进行变形，求出，即可判断．
本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积，以及平行四边形对角线上点的判定的应用，用平行四边形的面积表示出相对的两个三角形的面积的和是解题的关键，也是本题的难点．
 

11.【答案】

【解析】解：两个最简二次根式与能合并，
两个最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
由两个最简二次根式与能合并，可得两个最简二次根式与是同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义，可得方程，解此方程即可求得答案．
本题考查同类二次根式的概念．注意同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，正确把握二者的定义是解题关键．分别利用二次根式的定义和分式有意义的条件列出不等式即可得出答案．
【解答】
解： 式子 在实数范围内有意义，
被开方数 ，
的取值范围是 ．
故答案为 ．   

13.【答案】

【解析】解：，
，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的化简的法则可得，从而可求解．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是由所给的式子得出．
 

14.【答案】

【解析】解：菱形的周长等于，
，
在中，为斜边上的中线，
．
故答案为：．
根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，为的中点，从而求得的长．
此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换、矩形的性质、含 度角的直角三角形，坐标与图形性质等知识 先利用勾股定理求出 的长，进而得出 和 的角度以及 的度数，然后作辅助线 轴于点 ，解答即可得出 点的坐标．
【解答】
解：由 ， 可得 ，
那么 ，
所以 ， ，
则 ，

作 轴于点 ，
， ，
故 A 的坐标为
故答案为   

16.【答案】

【解析】过点作交于点，交于点，根据正方形的性质可得出，且、，由此即可得出，再由正方形的面积为即可得出结论．
本题考查了正方形的性质，解题的关键是找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出最小时，三点的位置关系是关键．
解：过点作交于点，交于点，如图所示．

四边形为正方形，
，
当时取等号，当时取等号，
，
正方形的面积是，
，
即的最小值等于，
故答案为：．
 

17.【答案】或

【解析】解：分两种情况：
点在线段的延长线上，如图：

，
，
，，
，
，
；
点在线段的延长线上，如图：

，，，
，
，
．
综上，线段的长为或．
故答案为：或．
分两种情况：点在线段的延长线上；点在线段的延长线上，分别用勾股定理求得的长，情况中，情况中．
本题考查了勾股定理在等腰直角三角形及一般的直角三角形的边长计算中的应用，数形结合并分类讨论是解题的关键．
 

18.【答案】个

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
又，
，，
为的中点，，
，
，
又，
垂直平分，故正确；
，
是等边三角形，
，
，
，垂直平分，，
，，，
，，
，
≌，故错误；
如图，连接，

四边形是矩形，
与互相平分，
过点，与共线，
，
，
又，，
≌，
，
又，
，
，
，
是等边三角形，
，故正确；
≌，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
：：，故正确，
故正确的个数为个，
故答案为个．
由矩形的性质和直角三角形的性质可得，可得，且，可证垂直平分，故正确；由“”可证≌，故错误；由“”可证≌，可得，由线段垂直平分线的性质可得，故正确；由直角三角形的性质可得，由三角形的面积公式可求：：，故正确，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；


．

【解析】先化简，去括号，再算加减即可；
先算乘法，化简，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：，
理由如下：平行四边形中，，
又，
四边形为平行四边形，
．

【解析】平行四边形中，，可知，又，可知，继而得出，从而得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，比较容易解答，注意熟练掌握平行四边形的性质是关键．
 

21.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形  有一个角是直角的平行四边形是矩形

【解析】解：如图，四边形即为所求．

证明：直线是的垂直平分线，
．
，
四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
根据要求作出图形即可．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是正确作出点，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：同意小明的说法．
理由：连接，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
答：的长度为．

【解析】直接利用等边三角形的判定方法得出是等边三角形，再利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用以及等边三角形的判定，正确得出是等边三角形是解题关键．
 

23.【答案】证明：如图，，
，
是的中点，是边上的中线，
，，
在和中，
，
≌；
．
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；

解：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
．

【解析】首先根据题意画出图形，由是的中点，，易证得≌，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形；
首先连接，易得四边形是平行四边形，即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
于点，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：存在，当点为的中点时，为等腰三角形，
理由：如图，延长交的延长线于点，

为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
即为等腰三角形．

【解析】先证明≌，根据全等三角形的性质即可得出；
存在，当点为的中点时，为等腰三角形，延长交的延长线于点，然后证明≌，得出，再根据，得出结论．
本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和直角三角形斜边上的中线的性质，关键是根据正方形的性质证明三角形全等．
 

25.【答案】解：如图，，，，
，，
，
，
点关于直线的对称点为，
，
，
，，
，
，
，
；
作，交的延长线于，如图，
则四边形是矩形，
，，
，
，
即，
在中，，
；
如图，设，，则，
设，，则，
，
，，
，
的最小值是．

【解析】根据等腰三角形的判定证得和为等腰直角三角形，利用勾股定理求得和，从而求得；
作，交的延长线于，根据已知条件求得、，然后根据勾股定理即可求得，从而求得的值；
设，，则；设，，则，结合即可求得．
本题考查了轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．
 

26.【答案】证明：如图，作交于点，则．
，，
．
在和中，
，
≌．
，．
，
是等边三角形．
．
；

解：线段、、之间的数量关系是．
理由如下：
如图，作交的延长线于点，则．
，
．
．
在和中，
，
≌．
，．
，
是等腰直角三角形．
，
．

【解析】作交于点，则，先根据定理得出≌，由可知是等边三角形，故可得出结论；
作交的延长线于点，先根据定理得出≌，故可得出，，根据可知是等腰直角三角形，所以，由此可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．