高考数学一轮复习考点规范练21两角和与差的正弦余弦与正切公式含解析新人教A版文

考点规范练21　两角和与差的正弦、余弦与正切公式

基础巩固

1.cos 160°sin 10°-sin 20°cos 10°=(　　)

A.- B. C.- D.

答案:C

解析:cos160°sin10°-sin20°cos10°=-sin10°cos20°-sin20°cos10°=-sin(10°+20°)=-.

2.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,终边落在第二象限,A(x,y)是其终边上一点,向量m=(3,4),若m⊥,则tan等于(　　)

A.7 B.- C.-7 D.

答案:D

解析:因为m⊥,所以3x+4y=0,所以tanα==-,所以tan.

3.已知α∈,且cos α=-,则tan等于(　　)

A.7 B. C.- D.-7

答案:B

解析:因为α∈,且cosα=-,

所以sinα=-,所以tanα=.

所以tan.

4.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x,下面结论中错误的是(　　)

A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)的图象关于直线x=对称

C.函数f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x-1的图象向右平移个单位得到

D.函数f(x)在区间上是增函数

答案:C

解析:因为f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=2sin-1,所以选项C错误,故选C.

5.已知cos+sin α=,则sin的值为(　　)

A. B. C.- D.-

答案:C

解析:∵cos+sinα=cosα+sinα=,

∴cosα+sinα=.

∴sin=-sin=-=-.

6.已知3sin 2θ=4tan θ,且θ≠kπ(k∈Z),则cos 2θ等于(　　)

A.- B. C.- D.

答案:B

解析:∵3sin2θ=4tanθ,

∴=4tanθ.

∵θ≠kπ(k∈Z),tanθ≠0,

∴=2,解得tan2θ=,

∴cos2θ=cos2θ-sin2θ

=.故选B.

7.已知tan,则tan α=　　　　　　. 

答案:

解析:∵tan,

∴5tanα-5=1+tanα.∴tanα=.

8.函数f(x)=sin 2xsin-cos 2xcos在区间上的单调递增区间为　　　　　　　　.

答案:

解析:f(x)=sin2xsin-cos2xcos

=sin2xsin+cos2xcos=cos.

当2kπ-π≤2x-≤2kπ(k∈Z),

即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)单调递增.

取k=0,得-≤x≤,故函数f(x)在区间上的单调递增区间为.

9.已知sin 10°+mcos 10°=2cos 140°,则m=　　　　　. 

答案:-

解析:由sin10°+mcos10°=2cos140°可得,

m=

==-.

10.函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　　,单调递减区间是　　　　　　　　　　　　　　. 

答案:π　,k∈Z

解析:f(x)=sin2x+sinxcosx+1=sin2x+1

=(sin2x-cos2x)+sin.

故T==π.

令2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,

解得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z,

故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.

11.已知α,β均为锐角,且sin α=,tan(α-β)=-.

(1)求sin(α-β)的值;

(2)求cos β的值.

解:(1)∵α,β∈,∴-<α-β<.

又tan(α-β)=-<0,

∴-<α-β<0.∴sin(α-β)=-.

(2)由(1)可得,cos(α-β)=.

∵α为锐角,且sinα=,∴cosα=.

∴cosβ=cos[α-(α-β)]

=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)

=.

能力提升

12.设a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°,b=(sin 56°-cos 56°),c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.a>b>c B.b>a>c

C.c>a>b D.a>c>b

答案:D

解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,

b=(sin56°-cos56°)=sin56°-cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,

c=

=cos239°-sin239°=cos78°=sin12°.

∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.

13.(θ∈R)的最小值为(　　)

A. B. C. D.

答案:A

解析:

=

=,

当且仅当θ=(k∈Z)时,等号成立.

14.(2020浙江,13)已知tan θ=2,则cos 2θ=　　　　;tan=　　　　. 

答案:-

解析:cos2θ=cos2θ-sin2θ==-;

tan.

15.设α,β∈,且tan α=,则2α-β=　　　　　. 

答案:

解析:∵α,β∈,且tanα=,

∴,∴sinαcosβ=cosα+cosαsinβ.

∴sinαcosβ-cosαsinβ=cosα.

∴sin(α-β)=cosα=sin.

∵α,β∈,∴α-β∈-α∈.

∵函数y=sinx在区间内单调递增,

∴由sin(α-β)=sin可得α-β=-α,

即2α-β=.

16.已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cos x的图象经过如下变换得到:先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.

(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;

(2)已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β.

①求实数m的取值范围;

②证明:cos(α-β)=-1.

答案:(1)解将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos的图象,故f(x)=2sinx.

从而函数f(x)=2sinx的图象的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).

(2)①解f(x)+g(x)=2sinx+cosx

=

=sin(x+φ).

依题意,sin(x+φ)=在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当<1,故m的取值范围是(-).

②证明因为α,β是方程sin(x+φ)=m在区间[0,2π)内的两个不同的解,

所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=.

当1≤m<时,α+β+2φ=2×,

即α-β=π-2(β+φ);

当-<m<1时,α+β+2φ=2×,

即α-β=3π-2(β+φ).

所以cos(α-β)=-cos[2(β+φ)]=2sin2(β+φ)-1

=2-1=-1.

高考预测

17.已知sin,则cos=(　　)

A.- B.- C. D.

答案:A

解析:依题意有cos=cos

=1-2sin2,

故cos=cos

=-cos=-.