2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九上入学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九上入学数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）给出下列四个数：，0，1.41，，其中为无理数的是
A．B．0C．1.41D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
3．（3分）下列说法中正确的是
A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，则甲组数据更稳定
4．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
5．（3分）已知二次函数为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是
A．，B．，C．，D．，
6．（3分）若函数，则当函数值时，自变量的值是
A．B．4C．或4D．4或
7．（3分）下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
8．（3分）某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产个口罩，则由题意可列出方程
A．B．
C．D．
9．（3分）无论为何值，点不可能在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．（3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？丈尺）
A．3B．5C．4.2D．4
11．（3分）已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
12．（3分）正方形、正方形如图放置，点，，在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有
A．5个B．4个C．3个D．2个
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）如图，数轴上点表示的实数是 ．
14．（3分）已知是方程组的解，则代数式的值为 ．
15．（3分）二次函数图象的顶点坐标是 ．
16．（3分）如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时， ．（填“”或“” ．
17．（3分）如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为 ．
18．（3分）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点为“对等点”．已知二次函数的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则的值为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）先化简，再求值，其中．
21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：（非常好）、（良好）、（一般）、（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的样本容量是 ，其中类女生有 名，类男生有 名，扇形统计图中类所对应的圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从被调查的类和类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
22．（8分）准备一张矩形纸片，按如图操作：
将沿翻折，使点落在对角线上的点，将沿翻折，使点落在对角线上的点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，，求菱形的面积．
23．（9分）“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润（元与甲种纪念文化衫进货量（件之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
24．（9分）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，过点作，交于点，连接交于点．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长为 ．
25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．
① ；
② ；
③ ．
（2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．
（3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．
26．（10分）已知二次函数的图象经过点，且对一切实数，都有成立．
（1）当时，求的值；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）当时，二次函数的值为，当时，二次函数的值为，若对于，有，求实数的取值范围．
2020-2021学年湖南省长沙市雨花区广益实验中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）给出下列四个数：，0，1.41，，其中为无理数的是
A．B．0C．1.41D．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：．是整数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
．是无理数．
故选：．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
A．B．C．D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答．
【解答】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
【点评】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
3．（3分）下列说法中正确的是
A．在统计学中，把组成总体的每一个考察对象叫做样本容量
B．为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C．一组数据6，8，7，8，8，9，10的众数和中位数都是8
D．若甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，则甲组数据更稳定
【分析】根据统计初步知识进行解答．对样本、样本容量、总体、个体、众数、中位数极差等概念要非常熟悉．
【解答】解：、在统计中，把组成总体的每一个考察对象叫做个体，而不是样本容量，故本选项错误；
、为了解全国中学生的心理健康情况，由于人数多，工作量大，应该采取抽查方式，故本选项错误；
、将6，8，7，8，8，9，10按从小到大依次排列，得到6，7，8，8，8，9，10，可见众数和中位数都是8，故本选项正确．
、若甲组数据的方差为，乙组数据的方差为，则乙组数据更稳定，故本选项错误；
故选：．
【点评】此题考查了统计的初步知识，属于基本概念的范畴，要注意平日的积累，难度不大．
4．（3分）下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
5．（3分）已知二次函数为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是
A．，B．，C．，D．，
【分析】将点代入，求出，即可确定一元二次方程为，即可求解；
【解答】解：将点代入，
解得，
，
的两个根为，；
故选：．
【点评】本题考查二次函数图象及性质，一元二次方程的解；熟练掌握点与解析式的关系，正确求解一元二次方程是解题的关键．
6．（3分）若函数，则当函数值时，自变量的值是
A．B．4C．或4D．4或
【分析】把直接代入函数即可求出自变量的值．
【解答】解：把代入函数，
先代入上边的方程得，
，不合题意舍去，故；
再代入下边的方程，
，故，
综上，的值为4或．
故选：．
【点评】本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
7．（3分）下列说法正确的是
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，即可解答．
【解答】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；
、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
、对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故错误；
、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误；
故选：．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，解决本题的关键是熟记平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理．
8．（3分）某厂准备生产8000个口罩，在生产了1000个口罩后，引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，设该厂原来每天生产个口罩，则由题意可列出方程
A．B．
C．D．
【分析】根据引进了新机器，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用10天完成了任务，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
9．（3分）无论为何值，点不可能在
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【解答】解：当时，，点在第二象限，
当时，点在第一象限，
当时，点在第四象限．
故选：．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
10．（3分）“折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？丈尺）
A．3B．5C．4.2D．4
【分析】根据题意结合勾股定理得出折断处离地面的长度即可．
【解答】解：设折断处离地面的高度是尺，根据题意可得：
，
解得：，
答：折断处离地面的高度是4.2尺．
故选：．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键．
11．（3分）已知二次函数的图象如图，则下列结论中正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次函数的图象求出，，根据抛物线的对称轴求出，即可得出；根据图象与轴有两个交点，推出；对称轴是直线，与轴一个交点是，求出与轴另一个交点的坐标是，把代入二次函数得出；把代入得出，根据图象得出．
【解答】解：．二次函数的图象开口向下，图象与轴交于轴的正半轴上，
，，
抛物线的对称轴是直线，
，
，
，故本选项错误；
．图象与轴有两个交点，
，故本选项错误；
．对称轴是直线，与轴一个交点是，
与轴另一个交点的坐标是，
把代入二次函数得：，故本选项错误；
．当时，，
，
，
把代入得：，
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的图象、性质，二次函数图象与系数的关系，主要考查学生的观察图形的能力和辨析能力，题目比较好，并且是一道比较容易出错的题目．
12．（3分）正方形、正方形如图放置，点，，在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】利用等角的余角相等得到，则可根据“”判断，则，再利用四边形都是正方形得到，则可对①进行判断；由于，则不能判断，于是可对②进行判断；利用得到，加上，所以，则可对③进行判断；通过证明为等腰直角三角形得到，则，由于利用勾股定理得到，加上，，则可对④错误；然后利用正方形和等腰三角形的面积公式可对⑤进行判断．
【解答】解：，
，
而，
，
在和中
，
，
，
四边形都是正方形，
，
，所以①正确；
，
不能判断，
不能确定，所以②错误；
四边形都是正方形
，
，
而，
，所以③正确；
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
而，，
，所以④错误；
，
，
，所以⑤正确．
故选：．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题．
二、填空题（本大题共6小题，共18分）
13．（3分）如图，数轴上点表示的实数是 ．
【分析】直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出点对应的实数．
【解答】解：由图形可得：到的距离为，
则数轴上点表示的实数是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数与数轴，正确得出到的距离是解题关键．
14．（3分）已知是方程组的解，则代数式的值为 ．
【分析】把与的值代入方程组求出与的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：把代入方程组得：，
①②得：，即，
把代入①得：，
则原式，
故答案为：
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
15．（3分）二次函数图象的顶点坐标是 ．
【分析】此题既可以利用的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
【解答】解：
，
故顶点的坐标是．
故答案为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．
16．（3分）如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，当时， ．（填“”或“” ．
【分析】由图象可以知道，当时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性即可得到结论．
【解答】解：由图象知，当时，的图象在上方，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了两条直线相交与平行，正确的识别图象是解题的关键．
17．（3分）如图，在矩形中，，对角线，相交于点，垂直平分于点，则的长为 ．
【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出，得出，由勾股定理求出即可．
【解答】解：四边形是矩形，
，，，
，
垂直平分，
，
，
，
；
故答案为：．
【点评】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
18．（3分）在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点为“对等点”．已知二次函数的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则的值为 1 ．
【分析】设这两个“对等点”的坐标为．和，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．
【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为．和，
代入得，
①②得，
解得，
故答案为1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
三、解答题（本题共8个小题，共66分）
19．（6分）计算：．
【分析】利用负整数指数幂、二次根式的除法法则和绝对值的意义计算．
【解答】解：原式
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．（6分）先化简，再求值，其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．（8分）王老师为了解所教班级学生自主学习、合作交流的能力情况，对所教学生进行了一个学年的跟踪调查，把调查结果分成四类：（非常好）、（良好）、（一般）、（较差）．学年结束王老师将随机抽取部分学生的调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请你根据已有信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的样本容量是 20 ，其中类女生有 名，类男生有 名，扇形统计图中类所对应的圆心角为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）现准备从被调查的类和类学生中分别选取一位同学进行“手拉手”学习，请用列表法或画树状图法求出所选两位同学恰好是一男一女的概率．
【分析】（1）由类别人数及其所占百分比可得样本容量，总人数乘以类别对应百分比，再减去男生人数可得类别中女生人数；由条形图可直接得出类男生人数；用乘以类别人数占总人数的比例即可得；
（2）根据以上所求结果可补全图形；
（3）由条形图可知，类别1男2女，类别1男1女，画出树状图，根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）这次随机抽取的样本容量是，
类女生有（名，类男生有1名，
扇形统计图中类所对应的圆心角为，
故答案为：20、2、1、36；
（2）补全图形如下：
（3）画树状图如下：
一共有6种等可能的结果：男男、男女、女男、女女、女男、女女，其中一男一女的情况有3种，
所以所选两位同学恰好是一男一女的概率为．
【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）准备一张矩形纸片，按如图操作：
将沿翻折，使点落在对角线上的点，将沿翻折，使点落在对角线上的点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若四边形是菱形，，求菱形的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质和平行四边形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和面积解答即可．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
（2）四边形为菱形，
，，
四边形是矩形，
，，
，
，，
，，
，
菱形的面积为：．
【点评】此题考查翻折问题，关键根据翻折的性质和矩形、菱形的性质解答．
23．（9分）“壮丽70载，奋进新时代”．值伟大祖国70华诞之际，某网店特别推出甲、乙两种纪念文化衫，已知甲种纪念文化衫的售价比乙种纪念文化衫多15元，广益中学陈老师从该网店购买了2件甲种纪念文化衫和3件乙种纪念文化衫，共花费255元．
（1）该网店甲、乙两种纪念文化衫每件的售价各是多少元？
（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种纪念文化衫共200件，且甲种纪念文化衫的数量大于乙种纪念文化衫数量的，已知甲种纪念文化衫每件的进价为50元，乙种纪念文化衫每件的进价为40元．
①若设购进甲种纪念文化衫件，则该网店有哪几种进货方案？
②若所购进纪念文化衫均可全部售出，请求出网店所获利润（元与甲种纪念文化衫进货量（件之间的函数关系式，并说明当为何值时所获利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是元，乙种纪念文化衫每件的售价是元，由题意，列二元一次方程组，求解即可；
（2）①若购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，由题意得一元一次不等式组，求解，并根据为整数，可求得的值，即可得进货方案；
②用含的式子表示出，根据一次函数的性质可得答案．
【解答】解：（1）设甲种纪念文化衫每件的售价是元，乙种纪念文化衫每件的售价是元，由题意得：
解得：
答：甲种纪念文化衫每件的售价是60元，乙种纪念文化衫每件的售价是45元．
（2）①若购进甲种纪念文化衫件，则乙种纪念文化衫为件，
由题意得：
解得：
为整数
的值为：76，77，78．
进货方案有三种，分别为：
方案一：购进甲种纪念文化衫76件，则乙种纪念文化衫为124件；
方案二：购进甲种纪念文化衫77件，则乙种纪念文化衫为123件；
方案三：购进甲种纪念文化衫78件，则乙种纪念文化衫为122件．
②由题意得：
随的增大而增大，且
当时，最大，的最大值为：元．
答：当时，所获利润最大，最大利润为1390元．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数在实际问题中的应用，正确分析题目的数量关系并列式，是解题的关键．
24．（9分）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图2，过点作，交于点，连接交于点．
①判断四边形的形状，并说明理由；
②若，，求的长为 ．
【分析】（1）证明是等腰三角形，可证明，可通过证明实现，利用折叠的性质和平行线的性质解决．
（2）①先判断四边形是平行四边形，再由（1）得到结论；
②要求的长，可先求出的长，在中，可由、的长及菱形的性质求得，解决问题的关键是求出的长．在中，知、，可求出的长，问题得以解决．
【解答】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可知：，，
是等腰三角形
（2）①四边形是菱形．
理由：，，
四边形是平行四边形
又，
四边形是菱形
②设，则，
在中，
，
解得：，
，
在中，，，
四边形是菱形，
，，，
在中，
，即，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定、矩形的性质、菱形的性质及判定、勾股定理等知识，学会分析、把各个知识点有机的联系在一起是解决本题的关键．
25．（10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于的函数中，是“函数”的，请在相应题目后面的括号中打“”，不是“函数”的打“”．
① ；
② ；
③ ．
（2）若点与点是关于的“函数” 的一对“点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧，求，，的值或取值范围．
（3）若关于的“函数” ，，是常数）同时满足下列两个条件：①，②，求该“函数”截轴得到的线段长度的取值范围．
【分析】（1）根据“函数”的定义判断即可．
（2）先根据题意求出，的取值，代入得到，，的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解．
（3）设“ “点为和，代入得到，，得到，异号，再根据，代入，求出的取值范围，设函数与轴的交点为，，，，，利用根与系数的关系得到，再利用二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）①是“函数”．② 是“函数”．③ 不是“函数”．
故答案为：，，．
（2），是“点”，
，关于原点对称，
，，
，，
代入
得，
，
该函数的对称轴始终位于直线的右侧，
，
，
，
，
，
综上所述，，，．
（3）是“函数”，
设和，
代入得到，
解得，，
，
，异号，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
设函数与轴交于，，，，
，是方程的两根，
，
，
．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“函数”，“ 点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
26．（10分）已知二次函数的图象经过点，且对一切实数，都有成立．
（1）当时，求的值；
（2）求此二次函数的表达式；
（3）当时，二次函数的值为，当时，二次函数的值为，若对于，有，求实数的取值范围．
【分析】（1）取特殊值代入不等式即可求得答案；
（2）将代入二次函数，可得①，当时，，即②，由①②可解得的值及与的关系，再由二次函数的值与判别式的关系可得和的值；
（3）由，都有，将代入并整理，然后取特殊值或，解得的值即可．
【解答】解：（1）不等式对一切实数都成立，
当时也成立，即，
当时，；
（2）二次函数的图象经过点，
①，
又当时，，即②，
由①②可得，，
，
，
即及恒成立，
且△及△，
解得：，
，
二次函数的表达式为；
（3），都有，
，即，
整理得：，
，都有，
及，
解得及，
实数的取值范围是：．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，明确二次函数与不等式的关系及采用特殊值法是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2021/8/10 15:53:56；用户：15073336306；邮箱：15073336306；学号：20793157