2023年新高考数学一轮复习课时7.1《导数的运算》达标练习（2份打包，答案版+教师版）

2023年新高考数学一轮复习课时7.1

《导数的运算》达标练习

一 、选择题

1.已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)=(　　)

A.－e          B.－1         C.1          D.e

2.已知曲线f(x)=e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.(3，＋∞)          B.     C.          D.(0,3)

3.给出下列结论：

①若y=log2x，则y′=；

②若y=－，则y′=；

③若f(x)=，则f′(3)=－；

④若y=ax(a>0)，则y′=axlna.

其中正确的个数是(　 　)

A.1         B.2          C.3         D.4

4.曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离为(　 　)

A.         B.2        C.3         D.2

5.已知函数f(x)=(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)=(　 　)

A.         B.       C.1＋x         D.1－x

6.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的函数图象可能是(　　)

7.已知曲线f(x)=ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)

A.e         B.－e        C.         D.－

8.若点P是函数y＝ex－e－x－3x(- ≤x≤)图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为α，则α的最小值是(　　)

A.          B.           C.          D.

9.若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是(　　)

A.y=sin x         B.y=ln x        C.y=ex         D.y=x3

10.设函数f(x)=x3＋x2＋4x－1，θ∈，则导数f′(－1)的取值范围是(　　)

A.[3,4＋]

B.[3,6]

C.[4－，6]

D.[4－，4＋]

11.已知函数f(x)=x，曲线y=f(x)上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是(　　)

A.(－e2，＋∞)      B.(－e2,0)    C.      D.

12.已知曲线y=ex＋a与y=x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是(　　)

A.[2ln 2－2，＋∞)

B.(2ln 2，＋∞)

C.(－∞，2ln 2－2]

D.(－∞，2ln 2－2)

二 、填空题

13.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=(2x－1)lnx，则曲线y=f(x)在点(－1，f(－1))处切线的斜率为      .

14.设曲线y=xln x在点(1,0)处的切线与曲线y=在点P处的切线垂直,则点P的横坐标为　　　　.

15.若曲线y=2x2+-2在点(1,a)处的切线方程是x+y-a-1=0,则a=　　　　.

16.设函数y=f(x)图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0=(3x－6x0)(x－x0)，且f(3)=0，则不等式≥0的解集为__________.

0.答案解析

1.答案为：B

解析：由题可得f′(x)=2f′(1)＋，则f′(1)=2f′(1)＋1，解得f′(1)=－1，所以选B.

2.答案为：B

解析：由题得f′(x)=2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a=3有两个不同的正解，

令t=ex(t>0)，且g(t)=2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，

即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3<a<.故选B.

3.答案为：D.

4.答案为：A.

解析：设与直线2x－y＋3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x－y＋m=0.

设切点为P(x0，y0)，∵y′=，∴斜率k==2，解得x0=1，因此y0=2ln1=0，

∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3=0的距离d==，

∴曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离是.

5.答案为：B.

解析：函数f(x)=，则其导函数f′(x)==，故选B.

6.答案为：B

解析：由图可得－1<f′(x)<1，切线的斜率k∈(－1,1)且在R上切线的斜率的变化先慢后快又变慢.∴结合选项可知选项B符合.

7.答案为：C；

解：解法一：∵f(x)=ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)=.

设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k=f′(x0)==，

∴ln x0=1，x0=e，∴k==.

解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)=ln x及曲线f(x)=ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C.

8.答案为：B

解析：由导数的几何意义，k＝y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当

且仅当x＝0时等号成立.即tanα≥－1，α∈[0，π)，

又∵tanα<0，所以α的最小值为，故选B.

9.答案为：A；

解：设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1≠x2，

则由题意知，只需函数y=f(x)满足f′(x1)·f′(x2)=－1即可，

y=f(x)=sin x的导函数为f′(x)=cos x，则f′(0)f′(π)=－1,

故函数y=sin x具有T性质：y=f(x)=ln x的导函数为f′(x)=，

则f′(x1)·f′(x2)=＞0，故函数y=ln x不具有T性质；

y=f(x)=ex的导函数为f′(x)=ex，则f′(x1)·f′(x2)=ex1＋x2＞0，

故函数y=ex不具有T性质；y=f(x)=x3的导函数为f′(x)=3x2，

则f′(x1)f′(x2)=9xx≥0，故函数y=x3不具有T性质.故选A.

10.答案为：B；

解析：求导得f′(x)=x2sin θ＋xcos θ＋4，将x=－1代入导函数，

得f′(－1)=sin θ－cos θ＋4=2sin＋4，由θ∈，

可得θ－∈，∴sin∈，

∴2sin＋4∈[3,6].故选B.

11.答案为：D.

解析：∵曲线y=f(x)上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，

∴f′(x)=a＋(x－1)e－x=0有两个不同的解，即a=(1－x)e－x有两个不同的解.

设y=(1－x)e－x，则y′=(x－2)e－x，∴当x<2时，y′<0，当x>2时，y′>0，

则y=(1－x)e－x在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，

∴x=2时，函数y取得极小值－e－2.

又∵当x>2时总有y=(1－x)e－x<0且f(0)=1>0，

∴可得实数a的取值范围是.故选D.

12.答案为：D.

解析：由题意可设直线y=kx＋b(k>0)为它们的公切线，

联立可得x2－kx－b=0，

由Δ=0，得k2＋4b=0　①.由y=ex＋a求导可得y=ex＋a，令ex＋a=k，可得x=ln k－a，

∴切点坐标为(ln k－a，kln k－ak＋b)，代入y=ex＋a可得k=kln k－ak＋b②.

联立①②可得k2＋4k＋4ak－4kln k=0，化简得4＋4a=4ln k－k.令g(k)=4ln k－k，则g′(k)=－1，令g′(k)=0，得k=4，令g′(k)>0，得0<k<4，令g′(k)<0，得k>4.

∴g(k)在(0,4)内单调递增，在(4，＋∞)内单调递减，∴g(k)max=g(4)=4ln 4－4，

且k→0时，g(k)→－∞，k→＋∞时，g(k)→－∞.

∵有两条公切线，∴方程4＋4a=4ln k－k有两解，∴4＋4a<4ln 4－4，

∴a<2ln 2－2.故选D.

二 、填空题

13.答案为：-1.

解析：当x>0时，f′(x)=2lnx＋，则f′(1)=1，

∵函数f(x)是偶函数，∴f′(－1)=－1.

14.答案为：±2；

解析：由y=xln x,得y'=ln x+1,则y'|x=1=1.由y=,得y'=-.设点P的坐标为(x0,y0),则-=-1,得=4,所以x0=±2.

15.答案为：5；

解析：y'=4x-,依题意有y'|x=1=4×1-a=-1,所以a=5.

16.答案为：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)

解析：∵函数y=f(x)图象上任意一点(x0，y0)处的切线方程为

y－y0=(3x－6x0)(x－x0)，∴f′(x0)=3x－6x0，∴f′(x)=3x2－6x，

设f(x)=x3－3x2＋c，又f(3)=0，∴33－3×32＋c=0，解得c=0，∴f(x)=x3－3x2，

∴≥0可化为≥0，解得0<x≤1或x<0或x>3.