05填空题中档题&提升题知识点分类-浙江省2022年各地区中考数学真题分类汇编

05填空题中档题&提升题知识点分类-浙江省2022年各地区中考数学真题分类汇编

一．因式分解-提公因式法（共1小题）

1．（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝　   　．

二．因式分解-运用公式法（共1小题）

2．（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝　   　．

三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

3．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　   　．

四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

4．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　   　，点F的坐标为 　   　．

五．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）

5．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 　   　．

六．含30度角的直角三角形（共1小题）

6．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　   　．

七．勾股定理（共1小题）

7．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 　   　cm．

八．三角形中位线定理（共1小题）

8．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　   　．

九．菱形的性质（共1小题）

9．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为 　   　．

一十．矩形的性质（共1小题）

10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．

（1）若a，b是整数，则PQ的长是 　   　；

（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是 　   　．

一十一．切线的性质（共1小题）

11．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　   　cm．

一十二．圆的综合题（共1小题）

12．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　   　度；的值等于 　   　．

一十三．作图—基本作图（共1小题）

13．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 　   　．

一十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题）

14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　   　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　   　．

15．（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 　   　，折痕CD的长为 　   　．

一十五．旋转的性质（共1小题）

16．（2022•丽水）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 　   　cm．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）

17．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 　   　．

一十七．相似三角形的应用（共1小题）

18．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 　   　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 　   　米．

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

19．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．

（1）点F的高度EF为 　   　m．

（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是 　   　．

一十九．概率公式（共1小题）

20．（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 　   　．

参考答案与试题解析

一．因式分解-提公因式法（共1小题）

1．（2022•绍兴）分解因式：x2+x＝　x（x+1）　．

【解答】解：x2+x＝x（x+1）．

故答案为：x（x+1）．

二．因式分解-运用公式法（共1小题）

2．（2022•金华）因式分解：x2﹣9＝　（x+3）（x﹣3）　．

【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），

故答案为：（x+3）（x﹣3）．

三．反比例函数系数k的几何意义（共1小题）

3．（2022•绍兴）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是 　6　．

【解答】解：过点F作FG⊥x轴，DQ⊥x轴，FH⊥y轴，

根据题意可知，AC＝OE＝BD，

设AC＝OE＝BD＝a，

∴四边形ACEO的面积为4a，

∵F为DE的中点，FG⊥x轴，DQ⊥x轴，

∴FG为△EDQ的中位线，

∴FG＝DQ＝2，EG＝EQ＝，

∴四边形HFGO的面积为2（a+），

∴k＝4a＝2（a+），

解得：a＝，

∴k＝6．

故答案为：6．

四．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）

4．（2022•宁波）如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝（x＞0）的图象上，BE⊥x轴于点E．若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9时，的值为 　　，点F的坐标为 　（，0）　．

【解答】解：如图，

作DG⊥x轴于G，连接OD，设BC和OD交于I，

设点B（b，），D（a，），

由对称性可得：△BOD≌△BOA≌△OBC，

∴∠OBC＝∠BOD，BC＝OD，

∴OI＝BI，

∴DI＝CI，

∴＝，

∵∠CID＝∠BIO，

∴△CDI∽△BOI，

∴∠CDI＝∠BOI，

∴CD∥OB，

∴S△BOD＝S△AOB＝S矩形AOCB＝，

∵S△BOE＝S△DOG＝＝3，S四边形BOGD＝S△BOD+S△DOG＝S梯形BEGD+S△BOE，

∴S梯形BEGD＝S△BOD＝，

∴•（a﹣b）＝，

∴2a2﹣3ab﹣2b2＝0，

∴（a﹣2b）•（2a+b）＝0，

∴a＝2b，a＝﹣（舍去），

∴D（2b，），

即：（2b，），

在Rt△BOD中，由勾股定理得，

OD2+BD2＝OB2，

∴[（2b）2+（）2]+[（2b﹣b）2+（﹣）2]＝b2+（）2，

∴b＝，

∴B（，2），D（2，），

∵直线OB的解析式为：y＝2x，

∴直线DF的解析式为：y＝2x﹣3，

当y＝0时，2﹣3＝0，

∴x＝，

∴F（，0），

∵OE＝，OF＝，

∴EF＝OF﹣OE＝，

∴＝，

故答案为：，（，0）．

五．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）

5．（2022•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，tan∠ABO＝3，以AB为边向上作正方形ABCD．若图象经过点C的反比例函数的解析式是y＝，则图象经过点D的反比例函数的解析式是 　y＝﹣　．

【解答】解：如图，过点C作CT⊥y轴于点T，过点D作DH⊥CT交CT的延长线于点H．

∵tan∠ABO＝＝3，

∴可以假设OB＝a，OA＝3a，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠AOB＝∠BTC＝90°，

∴∠ABO+∠CBT＝90°，∠CBT+∠BCT＝90°，

∴∠ABO＝∠BCT，

∴△AOB≌△BTC（AAS），

∴BT＝OA＝3a，OB＝TC＝a，

∴OT＝BT﹣OB＝2a，

∴C（a，2a），

∵点C在y＝上，

∴2a2＝1，

同法可证△CHD≌△BTC，

∴DH＝CT＝a，CH＝BT＝3a，

∴D（﹣2a，3a），

设经过点D的反比例函数的解析式为y＝，则有﹣2a×3a＝k，

∴k＝﹣6a2＝﹣3，

∴经过点D的反比例函数的解析式是y＝﹣．

故答案为：y＝﹣．

六．含30度角的直角三角形（共1小题）

6．（2022•丽水）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B点的坐标是（﹣，3），则A点的坐标是 　（，﹣3）　．

【解答】解：因为点A和点B关于原点对称，B点的坐标是（﹣，3），

所以A点的坐标是（，﹣3），

故答案为：（，﹣3）．

七．勾股定理（共1小题）

7．（2022•金华）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 　（8+2）　cm．

【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2cm，

∴AB＝2BC＝4，

∴AC＝＝2．

∵把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，

∴B′C′＝BC＝2，AA′＝CC′＝1，A′B′＝AB＝4，

∴AB′＝AA′+A′B′＝5．

∴四边形AB'C'C的周长为AB′+B′C′+CC′+AC＝5+2+1+2＝（8+2）cm．

故答案为：（8+2）．

八．三角形中位线定理（共1小题）

8．（2022•台州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若EF的长为10，则CD的长为 　10　．

【解答】解：∵E，F分别为BC，CA的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF＝AB，

∴AB＝2EF＝20，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，AB＝20，

∴CD＝AB＝10，

故答案为：10．

九．菱形的性质（共1小题）

9．（2022•温州）如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，N在对角线AC上．若AE＝3BE，则MN的长为 　　．

【解答】解：连接DB交AC于点O，作MI⊥AB于点I，作FJ⊥AB交AB的延长线于点J，如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝1，

∴AB＝BC＝CD＝DA＝1，∠BAC＝30°，AC⊥BD，

∵△ABD是等边三角形，

∴OD＝，

∴AO＝＝＝，

∴AC＝2AO＝，

∵AE＝3BE，

∴AE＝，BE＝，

∵菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

∴BE＝BF＝，∠FBJ＝60°，

∴FJ＝BF•sin60°＝×＝，

∴MI＝FJ＝，

∴AM＝＝＝，

同理可得，CN＝，

∴MN＝AC﹣AM﹣CN＝﹣＝，

故答案为：．

一十．矩形的性质（共1小题）

10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，且a＞b．

（1）若a，b是整数，则PQ的长是 　任意正整数　；

（2）若代数式a2﹣2ab﹣b2的值为零，则的值是 　3+2　．

【解答】解：（1）由图可知：PQ＝a﹣b，

∵a，b是整数，a＞b，

∴PQ的长是任意正整数；

故答案为：任意正整数；

（2）∵a2﹣2ab﹣b2＝0，

∴a2﹣b2＝2ab，（a﹣b）2＝2b2，

∴a＝b+b（负值舍），

∵四个矩形的面积都是5．AE＝a，DE＝b，

∴EP＝，EN＝，

则＝＝＝＝＝＝3+2．

故答案为：3+2．

一十一．切线的性质（共1小题）

11．（2022•金华）如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C．已知AC＝6cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 　　cm．

【解答】解：连接OA，OB，过点A作AD⊥OB于点D，如图，

∵长边与⊙O相切于点B，

∴OB⊥BC，

∵AC⊥BC，AD⊥OB，

∴四边形ACBD为矩形，

∴BD＝AC＝6cm，AD＝BC＝8cm．

设⊙O的半径为rcm，

则OA＝OB＝rcm，

∴OD＝OB﹣BD＝（r﹣6）cm，

在Rt△OAD中，

∵AD2+OD2＝OA2，

∴82+（r﹣6）2＝r2，

解得：r＝．

故答案为：．

一十二．圆的综合题（共1小题）

12．（2022•杭州）如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连接CB，CD，AD．设CD与直径AB交于点E．若AD＝ED，则∠B＝　36　度；的值等于 　　．

【解答】解：∵AD＝DE，

∴∠DAE＝∠DEA，

∵∠DEA＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，

∴∠BEC＝∠BCE，

∵将该圆形纸片沿直线CO对折，

∴∠ECO＝∠BCO，

又∵OB＝OC，

∴∠OCB＝∠B，

设∠ECO＝∠OCB＝∠B＝x，

∴∠BCE＝∠ECO+∠BCO＝2x，

∴∠CEB＝2x，

∵∠BEC+∠BCE+∠B＝180°，

∴x+2x+2x＝180°，

∴x＝36°，

∴∠B＝36°；

∵∠ECO＝∠B，∠CEO＝∠CEB，

∴△CEO∽△BEC，

∴，

∴CE2＝EO•BE，

设EO＝x，EC＝OC＝OB＝a，

∴a2＝x（x+a），

解得，x＝a（负值舍去），

∴OE＝a，

∴AE＝OA﹣OE＝a﹣a＝a，

∵∠AED＝∠BEC，∠DAE＝∠BCE，

∴△BCE∽△DAE，

∴，

∴＝．

故答案为：36，．

一十三．作图—基本作图（共1小题）

13．（2022•绍兴）如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连结CD，则∠BCD的度数是 　10°或100°　．

【解答】解：如图，点D即为所求；

在△ABC中，∠ABC＝40°，∠BAC＝80°，

∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，

由作图可知：AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣80°）＝50°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣50°＝10°；

由作图可知：AC＝AD′，

∴∠ACD′＝∠AD′C，

∵∠ACD′+∠AD′C＝∠BAC＝80°，

∴∠AD′C＝40°，

∴∠BCD′＝180°﹣∠ABC﹣∠AD′C＝180°﹣40°﹣40°＝100°．

综上所述：∠BCD的度数是10°或100°．

故答案为：10°或100°．

一十四．翻折变换（折叠问题）（共2小题）

14．（2022•台州）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为 　3　；当点M的位置变化时，DF长的最大值为 　6﹣3　．

【解答】解：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠C＝60°，

∴△ADB，△BDC都是等边三角形，

当点M与B重合时，EF是等边△ADB的高，EF＝AD•sin60°＝6×＝3．

如图2中，连接AM交EF于点O，过点O作OK⊥AD于点K，交BC于点T，过点A作AG⊥CB交CB的延长线于点G，取AD的中点R，连接OR．

∵AD∥CG，OK⊥AD，

∴OK⊥CG，

∴∠G＝∠AKT＝∠GTK＝90°，

∴四边形AGTK是矩形，

∴AG＝TK＝AB•sin60°＝3，

∵OA＝OM，∥AOK＝∠MOT，∠AKO＝∠MTO＝90°，

∴△AOK≌△MOT（AAS），

∴OK＝OT＝，

∵OK⊥AD，

∴OR≥OK＝，

∵∠AOF＝90°，AR＝RF，

∴AF＝2OR≥3，

∴AF的最小值为3，

∴DF的最大值为6﹣3．

故答案为：3，6﹣3．

15．（2022•舟山）如图，在扇形AOB中，点C，D在上，将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．已知∠AOB＝120°，OA＝6，则的度数为 　60°　，折痕CD的长为 　4　．

【解答】解：如图，设翻折后的弧的圆心为O′，连接O′E，O′F，OO′，O′C，OO′交CD于点H，

∴OO′⊥CD，CH＝DH，O′C＝OA＝6，

∵将沿弦CD折叠后恰好与OA，OB相切于点E，F．

∴∠O′EO＝∠O′FO＝90°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠EO′F＝60°，

则的度数为60°；

∵∠AOB＝120°，

∴∠O′OF＝60°，

∵O′F⊥OB，O′E＝O′F＝O′C＝6，

∴OO′＝＝＝4，

∴O′H＝2，

∴CH＝＝＝2，

∴CD＝2CH＝4．

故答案为：60°，4．

一十五．旋转的性质（共1小题）

16．（2022•丽水）一副三角板按图1放置，O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，将△ABC绕点O顺时针旋转60°，AC与EF相交于点G，则FG的长是 　（3﹣3）　cm．

【解答】解：如图，设EF与BC交于点H，

∵O是边BC（DF）的中点，BC＝12cm．如图2，

∴OD＝OF＝OB＝OC＝6cm．

∵将△ABC绕点O顺时针旋转60°，

∴∠BOD＝∠FOH＝60°，

∵∠F＝30°，

∴∠FHO＝90°，

∴OH＝OF＝3cm，

∴CH＝OC﹣OH＝3cm，FH＝OH＝3cm，

∵∠C＝45°，

∴CH＝GH＝3cm，

∴FG＝FH﹣GH＝（3﹣3）cm．

故答案为：（3﹣3）．

一十六．相似三角形的判定与性质（共1小题）

17．（2022•绍兴）如图，AB＝10，点C是射线BQ上的动点，连结AC，作CD⊥AC，CD＝AC，动点E在AB延长线上，tan∠QBE＝3，连结CE，DE，当CE＝DE，CE⊥DE时，BE的长是 　　．

【解答】解：如图，过点C作CT⊥AE于点T，过点D作DJ⊥CT交CT的延长线于点J，连接EJ．

∵tan∠CBT＝3＝，

∴可以假设BT＝k，CT＝3k，

∵∠CAT+∠ACT＝90°，∠ACT+∠JCD＝90°，

∴∠CAT＝∠JCD，

在△ATC和△CJD中，

，

∴△ATC≌△CJD（AAS），

∴DJ＝CT＝3k，AT＝CJ＝10+k，

∵∠CJD＝∠CED＝90°，

∴C，E，D，J四点共圆，

∵EC＝DE，

∴∠CJE＝∠DJE＝45°，

∴ET＝TJ＝10﹣2k，

∵CE2＝CT2+TE2＝（CD）2，

∴（3k）2+（10﹣2k）2＝[•]2，

整理得4k2﹣25k+25＝0，

∴（k﹣5）（4k﹣5）＝0，

∴k＝5和，

∴BE＝BT+ET＝k+10﹣2k＝10﹣k＝5或，

故答案为：5或．

一十七．相似三角形的应用（共1小题）

18．（2022•温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC＝8.5m，CD＝13m，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为2：3，则点O，M之间的距离等于 　10　米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于 　（10+）　米．

【解答】解：如图，设AC与OM交于点H，过点C作CN⊥BD于N，

∵HC∥EG，

∴∠HCM＝∠EGF，

∵∠CMH＝∠EFG＝90°，

∴△HMC∽△EFG，

∴＝＝，即＝，

∴HM＝，

∵BD∥EG，

∴∠BDC＝∠EGF，

∴tan∠BDC＝tan∠EGF，

∴＝＝，

设CN＝2x，DN＝3x，则CD＝x，

∴x＝13，

∴x＝，

∴AB＝CN＝2，

∴OA＝OB＝AB＝，

在Rt△AHO中，∵∠AHO＝∠CHM，

∴sin∠AHO＝＝，

∴＝，

∴OH＝，

∴OM＝OH+HM＝+＝10，

以点O为圆心，OA的长为半径作圆，当OB与OM共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于（10+）米．

故答案为：10，（10+）．

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

19．（2022•金华）图1是光伏发电场景，其示意图如图2，EF为吸热塔，在地平线EG上的点B，B′处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点（A，A'）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点F处．已知AB＝A'B'＝1m，EB＝8m，EB'＝8m，在点A观测点F的仰角为45°．

（1）点F的高度EF为 　9　m．

（2）设∠DAB＝α，∠D'A'B'＝β，则α与β的数量关系是 　α﹣β＝7.5°　．

【解答】解：（1）连接A′A并延长交EF于点H，如图，

则四边形HEB′A′，HEBA，ABB′A′均为矩形，

∴HE＝AB＝A′B′＝1m，HD＝EB＝8m，HA′＝EB′＝8m，

∵在点A观测点F的仰角为45°，

∴∠HAF＝45°，

∴∠HFA＝45°，

∴HF＝HD＝8，

∴EF＝8+1＝9（m），

故答案为：9；

（2）作DC的法线AK，D′C′的法线A′R，如图所示：

则∠FAM＝2∠FAK，∠AF′N＝2∠FA′R，

∵HF＝8m，HA′＝8m，

∴tan∠HFA′＝，

∴∠HFA′＝60°，

∴∠AFA′＝60°﹣45°＝15°，

∵太阳光线是平行光线，

∴A′N∥AM，

∴∠NA′M＝∠AMA′，

∵∠AMA′＝∠AFM+∠FAM，

∴∠NA′M＝∠AFM+∠FAM，

∴2∠FA′R＝15°+2∠FAK，

∴∠FA′R＝7.5°+∠FAK，

∵AB∥EF，A′B′∥EF，

∴∠BAF＝180°﹣45°＝135°，∠B′A′F＝180°﹣60°＝120°，

∴∠DAB＝∠BAF+∠FAK﹣∠DAK＝135°+∠FAK﹣90°＝45°+∠FAK，

同理，∠D′A′B′＝120°+∠FA′R﹣90°＝30°+∠FA′R＝30°+7.5°+∠FAK＝37.5+FAK，

∴∠DAB﹣∠D′A′B′＝45°﹣37.5°＝7.5°，

故答案为：α﹣β＝7.5°．

一十九．概率公式（共1小题）

20．（2022•舟山）不透明的袋子中装有5个球，其中有3个红球和2个黑球，它们除颜色外都相同．从袋子中随机取出1个球，它是黑球的概率是 　　．

【解答】解：∵盒子中装有3个红球，2个黑球，共有5个球，

∴从中随机摸出一个小球，恰好是黑球的概率是；

故答案为：．