专题08 三角函数与数列解答题-大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题汇编（新高考卷与全国理科）

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）

专题08三角函数与数列解答题

1．【2022年全国甲卷理科17】记为数列的前n项和．已知．

(1)证明：是等差数列；

(2)若成等比数列，求的最小值．

2．【2022年全国乙卷理科17】记的内角的对边分别为，已知．

(1)证明：；

(2)若，求的周长．

3．【2022年新高考1卷17】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．

(1)求的通项公式；

(2)证明：．

4．【2022年新高考1卷18】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

(1)若，求B；

(2)求的最小值．

5．【2022年新高考2卷17】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．

(1)证明：；

(2)求集合中元素个数．

6．【2022年新高考2卷18】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．

(1)求的面积；

(2)若，求b．

7．【2021年全国甲卷理科18】已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

8．【2021年新高考1卷17】已知数列满足，

（1）记，写出，，并求数列的通项公式；

（2）求的前20项和.

9．【2021年新高考1卷19】记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.

（1）证明：；

（2）若，求.

10．【2021年全国乙卷理科19】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．

（1）证明：数列是等差数列;

（2）求的通项公式．

11．【2021年新高考2卷17】记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．

（1）求数列的通项公式；

（2）求使成立的n的最小值．

12．【2021年新高考2卷18】在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．

（1）若，求的面积；

（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

13．【2020年全国1卷理科17】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．

（1）求的公比；

（2）若，求数列的前项和．

14．【2020年全国2卷理科17】中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

15．【2020年全国3卷理科17】设数列{an}满足a1=3，．

（1）计算a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明；

（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．

16．【2020年山东卷17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

17．【2020年山东卷18】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

18．【2020年海南卷17】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．【2020年海南卷18】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）求.

20．【2019年新课标3理科18】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asinbsinA．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

21．【2019年全国新课标2理科19】已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an+1＝3an﹣bn+4，4bn+1＝3bn﹣an﹣4．

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式．

22．【2019年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsin C．

（1）求A；

（2）若a+b＝2c，求sinC．

23．【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC＝2，求BC．

24．【2018年新课标2理科17】记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．

（1）求{an}的通项公式；

（2）求Sn，并求Sn的最小值．

25．【2018年新课标3理科17】等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3．

（1）求{an}的通项公式；

（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m．

26．【2017年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．

（1）求sinBsinC；

（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．

27．【2017年新课标2理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．

（1）求cosB；

（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．

28．【2017年新课标3理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA＝0，a＝2，b＝2．

（1）求c；

（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

29．【2016年新课标1理科17】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．

（Ⅰ）求C；

（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

30．【2016年新课标2理科17】Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

31．【2016年新课标3理科17】已知数列{an}的前n项和Sn＝1+λan，其中λ≠0．

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5，求λ．

32．【2015年新课标1理科17】Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+2an＝4Sn+3

（I）求{an}的通项公式：

（Ⅱ）设bn，求数列{bn}的前n项和．

33．【2015年新课标2理科17】△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD＝1，DC，求BD和AC的长．

34．【2014年新课标1理科17】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan+1＝λSn﹣1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：an+2﹣an＝λ

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

35．【2014年新课标2理科17】已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an+1．

（Ⅰ）证明{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：．

36．【2013年新课标1理科17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．

（1）若PB，求PA；

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

37．【2013年新课标2理科17】△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC+csinB．

（Ⅰ）求B；

（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．

1．已知，，分别为锐角三角形三个内角，，的对边，且．

(1)求；

(2)若，，求；

(3)若，求的值．

2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求角A的大小；

(2)设，，求b．

3．定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．

(1)试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；

(2)若，求的前n项和，并证明：．

4．已知数列的前n项和为，正项等比数列的首项为，且 ．

(1)求数列和的通项公式；

(2)求使不等式（）成立的所有正整数n组成的集合．

5．已知数列的前n项和为，且.

(1)证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

6．已知数列的前n项和满足．数列满足，．

(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；

(2)求证：．

7．已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足．

(1)求{}和{}的通项公式；

(2)若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围．

8．已知数列的前n项和为Sn，，，且

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设，数列{bn}的前n项和为Tn，求使得Tn＞0的n的最大值．

9．已知数列满足：，且

(1)直接写出的值；

(2)请判断是奇数还是偶数，并说明理由；

(3)是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

10．设数列的前n项和为，，，.

(1)证明：为等差数列；

(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.

11．记的内角，，的对边分别为，，，点在边上，且满足，的面积

(1)证明：

(2)求.

12．的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知.

(1)求角B的大小；

(2)从以下3个条件中选择2个作为己知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.

条件①：；条件②：；条件③：；④

13．在①，②AC边上的高为，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并完成解答.

问题：记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，______.

(1)求c的值；

(2)若点是边上一点，且 ，求AD的长.

14．在△ABC中，.

(1)求B的值；

(2)给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：

（i）求的值；

（ii）求∠ABC的角平分线BD的长.

15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．在①，② ，③ 中任选一个，

(1)求角C的大小；

(2)若，求周长的最大值．

16．在①，②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在中，内角、、所对的边分别是、、，且________.

(1)求角；

(2)若，点是的中点，求线段的取值范围.

17．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

(1)求角A的大小；

(2)若，，且AD平分，求的面积．

18．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，

(1)求B；

(2)设，，求函数的值域．

19．已知数列满足．

(1)求的通项公式；

(2)在和中插入k个相同的数，构成一个新数列，，求的前45项和．

20．已知为等差数列，前n项和为，，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.

(1)求和的通项公式；

(2)设，，，求；

(3)设，其中.求的前2n项和.