浙教版七年级下册第三章 整式的乘除综合与测试单元测试复习练习题

浙教版初中数学七年级下册第三章《整式的乘除》单元测试卷

考试范围：第三章； 考试时间：100分钟；总分120分，

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 我们知道下面的结论：若，且，则利用这个结论解决下列问题：设，，，下列，，三者之间的三个关系式正确的是

A.  B.  C.  D.

2. 若为正整数，则

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 杨辉三角形，又称贾宪三角形、帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列在我国南宋数学家杨辉所著的解：九章算术年一书中用如图的三角形解释二项和的乘方规律观察下列各式及其展开式：

；

请你猜想展开式的第三项的系数是  

A.   B.   C.   D.  

5. 如果的乘积不含和项，那么，的值分别是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6. 已知，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 我国宋朝数学家杨辉在他的著作详解九章算法中提出“杨辉三角”如图，此图揭示了为非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律．
   
   例如：
   
   
   
   
   
   
   请你猜想的展开式中所有系数的和是     

A.  B.  C.  D.

8. 若，则的值为   

A.  B.  C.  D.

9. 若，则的值为   

A.  B.  C.  D.

10. 已知多项式除以时，所得的余数是，除以时所得的余数是，那么多项式除以时，所得的余式是

A.  B.  C.  D.

11. 如果等式成立，那么的值可能有   

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

12. 为求的值，可令，则，因此，所以仿照以上推理计算出的值是

A.     B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 若多项式能被和整除，则______，______．
14. 如图，正方形卡片类、类和长方形卡片类若干张，如果用、、三类卡片拼成一个边长为的正方形，则需要类卡片          张．

15. 计算的结果是______．
16. 计算的结果等于______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 规定两数，之间的一种运算记作，如果，那么例如：因为，所以．
    根据上述规定，填空：______，______；
    小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明；
    设，则，即，
    所以，即，
    所以．
    请你尝试运用这种方法解决下列问题：
    证明：；
    猜想：____________结果化成最简形式．
18. 一般地，个相同的因数相乘，记为，如，此时，叫做以为底的对数，记为即一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为即如，则叫做以为底的对数，记为即．
    计算下列各对数的值：______；______；______．
    观察中三数、、之间满足怎样的关系式，、、之间又满足怎样的关系式；
    由的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？
    根据幂的运算法则：以及对数的含义说明上述结论．
19. 若与的积与是同类项，求的平方根．
20. 已知，，
    猜想：______，______、均为正整数
    运用上述结论计算下式：
21. 小明与小乐两人共同计算，小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为．
    式子中的，的值各是多少？
    请计算出原题的答案．
22. 完全平方公式是同学们熟悉的公式，小玲同学在学习过完全平方公式后，通过类比学习得到为非负整数的计算结果，如果将为非负整数的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
    ，它只有一项，系数为；
    ，它有两项，系数分别为、；
    ，它有三项，系数分别为、、；
    它有四项，系数分别为、、、；
    如果将上述每个式子的各项系数排成如图的表格，我们可以发现一些规律，聪明的你一定也发现了，请你根据规律解答下列问题：
    尝试写出的结果，并验证；
    请直接写出共有______项，各项系数的和等于______；
    为非负整数共有______项，各项系数的和等于______；
    为非负整数各项系数的和等于______．
23. 如果，那么我们规定例如：因为，所以．

理解根据上述规定，填空：          ，            

说理记，，，试说明：

应用若，求的值．

24. 已知，，求的值．

设，是否存在实数，使得能化简为？若能，请求出满足条件的值；若不能，请说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
根据同底数幂的乘法公式即可求出、、的关系．
本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法公式．
 

2.【答案】

【解析】解：，
故选：．
根据乘方的意义可得，再根据幂的乘方即得答案．
本题考查了幂的乘方，关键在于要根据乘方的意义进行计算．
 

3.【答案】

【解析】解：、，故错误；
B、，故错误；
C、，不是同类项不能合并，故错误；
D、，故正确；
故选：．
根据单项式乘以单项式的法则、幂的乘方法则及合并同类项的法则进行运算即可．
本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方、合并同类项的法则的运算，属于基础题．
 

4.【答案】

【解析】解：找规律发现的第三项系数为；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
展开式的第三项的系数是．
故选：．
根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数．
此题考查了数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
 

5.【答案】

【解析】解：，
的乘积不含和项，
，，
，，
，，
，．
故选：．
先把按多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加展开，再根据乘积不含和项，列出，，再求解就容易了．
本题考查了多项式乘多项式的法则，解题时牢记法则是关键，此题难度不大，但一定要认真计算才行．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，
原式






，
故选：．
根据条件得，原式用完全平方公式展开，整体代入进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式以及完全平方公式，熟记完全平方公式：是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题通过阅读理解寻找规律，观察可得 为非负整数 展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是 ，中间各项系数等于 相邻两项的系数和．
本题考查了完全平方公式、 展开式；关键在于观察、分析已知数据，找出规律是解决问题的关键．
【解答】
解： ，展开式共有 项，系数和 ，
，展开式共有 项，系数和 ，

展开式共有 项，系数和为 ．
的展开式中所有系数的和是： ．
故选 B ．   

8.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是同底数幂的除法运算、幂的乘方，掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．根据题意求出 ，根据同底数幂的乘除法法则计算即可．
【解答】
解： ，
，
则原式



，
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查的是同底数幂的除法运算、幂的乘方，掌握同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减是解题的关键．根据题意求出 ，根据同底数幂的乘除法法则计算即可．
【解答】
解： ，
，
则原式



，
故选 B ．   

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查带余数的整式除法．解题关键是设出原式除以时所得的余式，再取特殊值求解．先设除以时所得的余式，商式为，再分别令，即可求出答案．

【解答】

解：设除以时所得的余式，商式为，

当时，，

当时，，

所以，，

所以除以时所得的余式为．

故选A．

11.【答案】

【解析】解：时，，，
，即时，
，即时，，．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】

此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键根据题中的解法求出解即可．

【解答】

解：设，
则有，
，
解得：，
则．
故选C．

13.【答案】；

【解析】解：由已知得，，，
，
，
故答案为，．
因为多项式可被和整除，则说明、都是多项式的一个因式，故使、等于的数必是多项式的解，即把、求出的的值代入多项式，即得到关于、的二元一次方程，从而求出，即可．
本题考查了整式的除法，注意理解整除的含义，比如被整除，另外一层意思也就是说，是的公因式，使公因式等于的值，必是的一个解．
 

14.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键 由题意知长为 ，宽也为 的正方形的面积应该等于所有小卡片面积之和．
【解答】
解：边长为 的正方形的面积为 ，
图形面积为 ， 图形面积为 ， 图形面积为 ，
则可知需要 类卡片 张．
故答案为 ．   

15.【答案】

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用积的乘方运算法则将原式化简，进而利用单项式乘以单项式计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘以单项式以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，
故答案为：
根据同底数幂的乘法，即可解答．
此题考查同底数幂的乘法，关键是根据法则计算．
 

17.【答案】    

【解析】解：，
，
，
，
，
．
设，，
，，
，
，
，
即；
，


．
故答案为：，；证明见解析；，．
利用新定义，直接求得即可；
设间接未知数，利用新定义推导即可；
利用前面的结论，直接运算即可．
本题考查的是幂的新定义，解题关键是了解新定义的运算规则．
 

18.【答案】解：；；，
故答案为：；；；

，
；

；

设，，
，，
，
，
．

【解析】根据题中给出已知概念，可得出答案．
观察可得：三数，，之间满足的关系式为：．
通过分析，可知对数之和等于底不变，各项值之积；
首先可设设，，再根据幂的运算法则：以及对数的含义证明结论．
本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．
 

19.【答案】解：与的积与是同类项，
，
解得：，
当，时，，
的平方根为．

【解析】根据同类项得出方程组，求出方程组的解，求出的值，再求出平方根即可．
本题考查了同类项，平方根，解二元一次方程组的应用，能求出、的值是解此题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：猜想：，；



．
故答案为：，．
猜想：根据同底数幂的乘法法则计算即可求解；
根据单项式乘单项式计算即可求解．
此题考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．
 

21.【答案】解：，

，

联立方程，
可得
解得


．

【解析】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据两人出错的结果列出关于与的方程组，求出方程组的解即可得到与的值；
将与的值代入计算即可求出正确的结果．
 

22.【答案】解：．
验证：


．
；；
；；．

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方式的应用，数式规律问题．在应用完全平方公式时，要注意： 公式中的 ， 可是单项式，也可以是多项式； 对形如两数和 或差 的平方的计算，都可以用这个公式．
根据规律写出 的结果，并用整式乘法的法则进行计算即可；
根据各项系数以及字母指数的变化规律写出各项，得出项数以及各项系数的和即可；
根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出 的项数以及各项系数的和， 的各项系数的和即可．
【解答】
解： 见答案．
根据规律可得， 共有 项，
各项系数分别为： ， ， ， ， ， ，
它们的和等于 ；
故答案为 ； ．
根据规律可得， 共有 项，
，
，
，
，
各项系数的和等于 ；
，
，
，
各项系数的和等于 ．
故答案为： ， ； ．   

23.【答案】．
因为，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以．
设，，，
则，，，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．

【解析】略
 

24.【答案】解：把两边平方得：，
把代入得：，即，
，
，
则原式；
原式，
当时，原式，则．

【解析】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
把两边平方，利用完全平方公式化简，将代入求出的值，原式整理后代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号整理后确定出的值即可．