北京市西城区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

2020－2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个

1. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ）

A. x＜4 B. x≥4 C. x＞4 D. x≥0

2. 如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（    ）

A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°

3. 下列各式中是最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列线段a，b，c组成三角形中，能构成直角三角形的是（    ）

A. a＝1，b＝2，c＝2 B. a＝2，b＝3，c＝4

C. a＝3，b＝4，c＝6 D. a＝1，b＝1，c＝

5. 在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：

这些运动员成绩的众数是（    ）

A. 1.65 B. 1.70 C. 1.75 D. 1.80

6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（ ）

A.  B. 2 C.  D.

7. 下列命题中，正确的是（    ）

A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形

B. 有两个角是直角的四边形是矩形

C. 对角线互相垂直的四边形是菱形

D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：

其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（    ）

A. 中位数，众数 B. 平均数，方差

C. 平均数，众数 D. 众数，方差

9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（ ）

A. （2，3） B. （，3） C. （，2） D. （，3）

10. 图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）

A. 24 B. 16 C. 12 D. 36

二、填空题（本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分）

11. 计算：（）2＝___．

12. 已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为____．

13. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，，则AD的长为_____cm．

14. 已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___．

15. 如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为____．

16. 用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为____．

17. 为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：

如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝___．

18. 如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．

（1）∠DAE＝___°；

（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB＋PC的最小值为____．

三、解答题（本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分）

19. 计算：

（1）3×；

（2）＋÷．

20. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．

21. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）

大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？

将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．

（1）图中DE＝　 　尺，EB＝　 　尺；

（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

22. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．

（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；

（2）如图2，当D是AB的中点时，

①四边形ADCE形状是 　 　；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）

②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为 　 　．

23. 对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：

（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x＋1；当x＞1时，y＝　 　；

②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；

（2）当y＝3时，x＝　 　；

（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．

24. 某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）：

b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组数据是：

6；6；6；6；6.5；6.5；7；7；7；7；7.5；7.5

c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如下：

根据以上信息，回答下列问题：

（1）图1中p%＝　 　%；

（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；

②上表中m的值为 　 　．

（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是 　 　年级的学生；（填“七”或“八”）

（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．

25. 在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM＋PN．

（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝　 　，PN＝　 　，d（P，∠BOA）＝　 　；

（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2＋，求a的值；

（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．

26. 已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．

（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；

①△AOB与△　 　全等，∠OBA＋∠ADC＝　 　°；

②若OA＝a，OB＝b，则BD＝　 　；（用含a，b的式子表示）

（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA＋∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

四、填空题（本题6分）

27. 在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系

例如：由（＋1）（﹣1）＝1，可得＋1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝＋1，类似地，＝﹣，＝＋；＝2﹣，＝2＋；⋯．

根据小腾发现的规律，解决下列问题：

（1）＝___，＝___；（n为正整数）

（2）若＝2﹣m，则m＝___；

（3）计算：＝___．

五、解答题（本题共14分，第28题6分，第29题8分）

28. 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．

（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）

（2）若点N是BC中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．

29. 在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|＋2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作dMN．

例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）“纵2倍直角距离”dMN＝|﹣2﹣5|＋2|7﹣6|＝9，

（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是 　 　；

②已知点P（x，y），其中y≥0，若点P与原点O的“纵2倍直角距离”dPO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．

（2）若直线y＝2x＋b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；

（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t＋，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得dGH＝5，直接写出t的取值范围．