2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷

这是一份2020-2021学年北京市西城区八下期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各式中是最简二次根式的是
A. B. C. D.

2. 若 在实数范围内有意义，则 的取值范围是
A. B. C. D.

3. 如图，在平行四边形 中，， 于点 ，则 的度数为
A. B. C. D.

4. 下列线段 ，， 组成的三角形中，能构成直角三角形的是
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，

5. 在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的 名运动员的成绩如表所示：
这些运动员成绩的众数是
A. B. C. D.

6. 如图，在 中，，，， 是 边的中点，则 的长为
A. B. C. D.

7. 下列命题中，正确的是
A. 有一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有两个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

8. 学校组织校科技节报名，每位学生最多能报 个项目．下表是某班 名学生报名项目个数的统计表：其中报名 个项目和 个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名 个项目和 个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是
A. 中位数，众数B. 平均数，方差C. 平均数，众数D. 众数，方差

9. 如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 的坐标为 ，顶点 ， 在第一象限，且点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为
A. B. C. D.

10. 图 ，四边形 是平行四边形，连接 动点 从点 出发沿折线 匀速运动，回到点 后停止．设点 运动的路程为 ，线段 的长为 ，图 是 与 的函数关系的大致图象，则平行四边形 的面积为
A. B. C. D.

二、填空题（共9小题；共45分）
11. 计算： ．

12. 已知正方形 的对角线 的长为 ，则正方形 的边长为 ．

13. 如图，在平行四边形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 是 的中点，，则 的长为 ．

14. 已知 是正整数，且 也是正整数，写出一个满足条件的 的值： ．

15. 如图，在矩形 中，点 在边 上， 平分 交 于点 ．若 ，，则 的长为 ．

16. 用 张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形 的面积为 ，，则正方形 的面积为 ．

17. 为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了 个保温杯，测得保温时效（单位：）如表：
如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么 ．

18. 如图，点 在线段 上， 是等边三角形，四边形 是正方形．
（） ；
（）点 是线段 上的一个动点，连接 ，．若 ，，则 的最小值为 ．

19. 在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系．
例如：由 ，可得 与 互为倒数，即 ，，类似地，，；，；．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（） ， ；（ 为正整数）
（）若 ，则 ；
（）计算： ．

三、解答题（共10小题；共130分）
20. 计算：
（1）；
（2）．

21. 如图，在平行四边形 中，点 ， 分别在边 ， 上，， 与对角线 相交于点 ．求证：．

22. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（ 丈 尺）
大意是：有一个水池，水面是一个边长为 尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面 尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽 尺，线段 ， 表示芦苇， 于点 ．
（1）图中 尺， 尺；
（2）求水的深度与这根芦苇的长度．

23. 在 中，，点 是边 上的一个动点，连接 ．作 ，，连接 ．
（1）如图 ，当 时，求证：；
（2）如图 ，当 是 的中点时，
①四边形 的形状是 ；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）
②若 ，，则四边形 的面积为 ．

24. 对于函数 ，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：
（1）①对于函数 ，当 时，；当 时， ；
②当 时，函数 的图象如图所示，请在图中补全函数 的图象；
（2）当 时， ；
（3）若点 和 都在函数 的图象上，且 ，结合函数图象，直接写出 的取值范围．

25. 某校七年级和八年级学生人数都是 人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了 名学生进行调查，收集了这 名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a. 七、八年级各抽取的 名学生一周阅读时长统计图（不完整）如下（两个年级的数据都分成 组：，，，，，）：b. 八年级学生一周阅读时长在 这一组的数据是：
；；；；；；；；；；；
c. 七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）图 中 ；
（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图 ）；
②上表中 的值为 ．
（3）将收集这 名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是 小时，排在本年级的前 名，由此可以推断他是 年级的学生；（填“七”或“八”）
（4）估计两个年级共 名学生中，一周阅读时长不低于 小时的人数．

26. 在平面直角坐标系 中，点 在 轴的正半轴上，点 在第一象限，作射线 ．给出如下定义：如果点 在 的内部过点 作 于点 ， 于点 ，那么称 与 的长度之和为点 关于 的“内距离”，记作 ，即 ．
（1）如图 ，若点 在 的平分线上，则 ， ， ；
（2）如图 ，若 ，点 （其中 ）满足 ，求 的值；
（3）若 ，点 在 的内部，用含 ， 的式子表示 ，并直接写出结果．

27. 已知 ，点 是射线 上的一个定点，点 是射线 上的一个动点，且满足 ．点 在线段 的延长线上，且 ．
（1）如图 ，，，连接 ，；
① 与 全等， ；
②若 ，，则 ；（用含 ， 的式子表示）
（2）如图 ，在线段 上截取 ，使 ，连接 ．若 ，当点 在射线 上运动时， 的大小是否会发生变化?如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．

28. 如图， 和 都是等边三角形，，点 ，， 分别是 ，， 的中点．
（1）求 的度数；（用含 的式子表示）
（2）若点 是 的中点，连接 ，，，求证： 是等边三角形．

29. 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 ，，我们将 称为点 与点 的“纵 倍直角距离”，记作 ．
例如：点 与 的“纵 倍直角距离”．
（1）①已知点 ，，，则在这三个点中，与原点 的“纵 倍直角距离”等于 的点是 ；
②已知点 ，其中 ，若点 与原点 的“纵 倍直角距离”，请在下图中画出所有满足条件的点 组成的图形．
（2）若直线 上恰好有两个点与原点 的“纵 倍直角距离”等于 ，求 的取值范围；
（3）已知点 ，，点 是 轴上的一个动点，正方形 的顶点坐标分别为 ，，，．若线段 上存在点 ，正方形 上存在点 ，使得 ，直接写出 的取值范围．
答案
第一部分
1. A【解析】A、 是最简二次根式，此项符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，此项不符题意；
C、 ，不是最简二次根式，此项不符题意；
D、 ，不是最简二次根式，此项不符题意．
故选：A．
2. B【解析】 在实数范围内有意义，则 ，
解得：．
3. C【解析】 在平行四边形 中，
，
，
．
4. D【解析】A、 ，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、 ，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、 ，此三条线段不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、 ，此三条线段能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
5. C
【解析】由表格中的数据可知： 出现的次数最多，故这些运动员成绩的众数是 ．
6. C【解析】 在 中，，，，
，
是 边的中点，
，
故选C．
7. D【解析】A、两组对边相等或一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，为此有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，选项A不正确；
B、有三个是直角的四边形是矩形，为此有两个角是直角的四边形不一定是矩形，故选项B不正确；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，为此对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故选项C错误；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项D正确．
故选D．
8. A【解析】由题意可知报名 个项目和 个项目的一共有 （人），，
无论这个班报名 个项目和 个项目的学生各有多少人，都少于报名 个项目的人数，故众数为 不变，共有 名学生则中位数为第 ， 个数据平均数，
由于 ，故中位数为 ，则无论报名 个项目和 个项目的学生各有多少人中位数不变，综上所述不会发生改变的是众数和中位数，
故选：A．
9. D【解析】延长 交 轴于 ，
点 的坐标为 ，
，
四边形 是菱形，
．
，
．
在 中，
点 的纵坐标为 ，
，
．
，
点 ．
故选择D．
10. B
【解析】过点 作 ，交 于点 ，
由图象可得 ，，，
，
，
，，
，
．
故选：B．
第二部分
11.
12.
【解析】如图，设正方形 的边长为 ，
由勾股定理得：
，
解得 ．
13.
【解析】 四边形 为平行四边形，
，
点 是 的中点，
为 的中位线，
，
，
．
故答案为：．
14. （答案不唯一）
【解析】 当 时，，
符合题意，
故答案是：．
15.
【解析】 在矩形 中，，，；
，
又 ，
，
，
，，
，
，
，
故答案为 ．
16.
【解析】 正方形 的面积为 ，，
，
在 中，，
，
四个直角三角形全等，
正方形 的面积 ，
故答案是：．
17. 或
【解析】甲的平均数为：，
乙的平均数为：，
甲的方差为：，
乙的方差为：，
整理得：，
解得 或 ．
18. ，
【解析】（） 是等边三角形，四边形 是正方形，
，，，
，
，
故答案是：，
（）作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，，
，，
，
点 关于 的对称点 ，
，，，
，
的最小值 ．
故答案是：．
19. ，，，
【解析】（）
，
；
，
；
（）
，
．
，
，
；
（）

第三部分
20. （1）
（2）
21. 四边形 是平行四边形，
，，
，
，即 ，
，
，
在 和 中，

，
．
22. （1） ；
【解析】根据题意： 是芦苇高出水面部分，即 尺， 是水面边长一半，即： 尺，
故答案是：，．
（2） 设芦苇长 尺，则水的深度为 尺，
根据题意得：，
解得：，
（尺），
答：芦苇长 尺，则水的深度为 尺．
23. （1） ，，
四边形 是平行四边形，
又 ，
，
四边形 是矩形，
．
（2） ①菱形
②
【解析】① 在 中， 是 的中点，
，
又 四边形 是平行四边形，
四边形 是菱形；
故答案为：菱形．
②设 和 交于点 ，如图，
在 中，，
，
又 在菱形 中，，
，
在 中，，
，
．
24. （1） ① ；
②如图 ：
【解析】①在函数 中，
当 时，．
②当 时，，
画出函数的图象如图 ．
（2） 或
【解析】当 时，
若 ，则 ，解得 ；
若 ，则 ，解得 ．
（3） 或 ．
【解析】当 时，，当 时，，如图 ：
当 时即 时， 的取值范围为 或 ．
25. （1）
【解析】，
．
故答案为：；
（2） ① ，
补全的条形统计图为：
② ；
【解析】② 的人数有：（人），
的人数有：（人），
故中位数 为：（），
故答案为：；
（3） 八
【解析】八年级数据大于 的个数为 ，且还有两个 的学生，满足题意；
七年级的中位数为 ，前 名不可能有 的学生；
故答案为：八；
（4） （人），
所以，两个年级共 名学生中，一周阅读时长不低于 小时的人数约为 人．
26. （1） ；；
【解析】点 在 的平分线上，
，，
故答案是：；；；
（2） 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
点 （其中 ），
，， 是等腰直角三角形．
，
，
，．
，
，解得：；
（3） ．
【解析】过点 作 于点 ，交 于点 ，
则四边形 是矩形，
，
，，
，
，
，，
，
，，
，
．
27. （1） ① ； ②
【解析】① ，，
．
，，
．
．
，
．
故答案为：，；
②如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
，，，
，，
，，
四边形 是平行四边形，
，
平行四边形 是矩形．
，
，
．
故答案为：；
（2） 如图，过点 作 ，过点 作 ，交于点 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，，
，
．
四边形 是矩形．
，，．
，
．
，．
，
．
．
是等腰直角三角形．
．
，
．
，
．
，，
．
．
，
．
当点 在射线 上运动时， 的大小不会发生变化，其值为 ．
28. （1） ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
，
，
是等边三角形，
，
， 分别为 ， 的中点，
，
，
．
（2） 如图：
是等边三角形，
，，
是 中点，
，
， 分别是 ， 中点，
是 的中位线，
，
，
是等边三角形，
，，
是 中点，
，
， 是 ， 中点，
，，
，，
，，
，
在 和 中，

，
，，
，
即 ，
是等边三角形．
29. （1） ① ，
②设 ，
点 与原点 的“纵 倍直角距离”，
，
当 ， 时，，即 ，
当 ， 时，，即 ，
如图 所示，
【解析】① 点 ，，，
，，，
与原点 的“纵 倍直角距离”的点是 ，．
（2） 如图，
与原点 的“纵 倍直角距离”等于 的点组成图形是四边形 ，直线 经过 点或 点时，与四边形只有一个公共点，当直线 与 轴交点在 之间时，与菱形有两个公共点，
当直线， 经过 点 时：，解得：，
当直线， 经过 点 时：，解得：，
的取值范围为 ．
（3） 或 ．
【解析】设正方形 上存在点 ，
当线段 上存在点 坐标为 ，则：，
当 ， 时，，即 ，满足条件的图形为线段 ，
当 ， 时，，即 ，满足条件的图形为线段 ，
当点 坐标从 移动 时对应满足条件的 点图形也平移 个单位到线段 ，线段 ，
满足点 的“纵 倍直角距离”的 点图形如图阴影部分所示：
所有满足条件的 点是线段，
其中：线段 的解析式为 ，线段 的解析式为 ，
由图可得：当正方形在线段 下方时， 点在线段 ，正方形与满足条件的 点图形有公共点 ，
即：，解得 ，
同理求出当正方形在线段 下方时， 点在线段 ，正方形与满足条件的 点图形有公共点 ，
即 ，解得 ，
当 ，正方形与满足条件的 点图形由公共点存在，
同理可求：当 ，正方形与满足条件的 点图形由公共点存在，
综上所述：若线段 上存在点 ，正方形 上存在点 ，使得 ，则 或 ．