山东省青岛市崂山区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（试卷+解析）

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山东省青岛市2020-2021学年度第二学期数学学业质量检测
八下期末（崂山区）
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2. 如图，五边形ABCDE中，AE∥BC，则∠C+∠D+∠E的度数为（　　）

A. 180° B. 270° C. 360° D. 450°
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【详解】过点D作DF∥AE，交AB于点F，

∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，
∴∠C+∠CDE+∠E＝360°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
3. 如果ab，那么下列不等式中错误的是（　　）
A. a﹣b0 B. a﹣1b﹣1 C. 2a2b D. ﹣3a﹣3b
【3题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：A、由a＜b移项得到：a﹣b＜0，故本选项不符合题意．
B、由a＜b的两边同时减去1得到：a﹣1＜b﹣1，故本选项不符合题意．
C、由a＜b的两边同时乘以2得到：2a＜2b，故本选项不符合题意．
D、由a＜b的两边同时乘以﹣3得到：﹣3a＞﹣3b，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
4. 如图，直线与相交于点P，点P的横坐标为-1，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【4题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由图像可知当x<-1时， ，然后在数轴上表示出即可．
【详解】由图像可知当x<-1时，，
∴可在数轴上表示为：

故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．函数y1＞y2时x的范围是函数y1的图象在y2的图象上边时对应的未知数的范围，反之亦然．

5. 若分式的值为0，则x的值为（　　）．
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. ±1
【5题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【详解】∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
6. 如图，在△ABC中，∠C＝31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A的度数为（　　）

A. 31° B. 62° C. 87° D. 93°
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DBC＝∠C＝31°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DBC＝∠C＝31°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝31°，
∴∠A＝180°﹣31°×3＝87°，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
7. 如图，在中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边之间的关系，可得：，由平行四边形的性质，即可得到答案．
【详解】∵，，
∴，即：，
∵在中，OA=OC，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形三边之间的关系和平行四边形的性质，掌握三角形第三边大于两边之和小于两边之差，是解题的关键．
8. 若关于x的方程=+2有增根,则m的值是（ ）
A. 7 B. 3 C. 4 D. 0
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,由分式方程有增根,得到x-3=0,求出x的值,代入整式方程求出m的值即可．
【详解】分式方程去分母得:x+4=m+2x−6,
由分式方程有增根,得到x−3=0,即x=3,
把x=3代入整式方程得:m=7,
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式方程的增根问题,牢牢掌握增根的概念是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 因式分解：= ．
【9题答案】
【答案】．
【解析】
【详解】解：=．
故答案为．
考点：因式分解-运用公式法．
10. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC=____．

【10题答案】
【答案】6
【解析】
【分析】直接根据三角形的中位线解答即可．
【详解】∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
11. 化简分式 的结果为_____．
【11题答案】
【答案】
【解析】
【分析】把分子分母中的公因式2ac约去即可．
【详解】解：原式＝
＝．
故答案为:．
【点睛】本题考查约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
12. 已知点P1（a，3）与P2（－4，b）关于原点对称，则ab＝_____．
【12题答案】
【答案】﹣12
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）可得到a，b的值，再代入ab中可得到答案．
【详解】解：∵P（a，3）与P′（-4，b）关于原点的对称，
∴a=4，b=-3，
∴ab=4×（-3）=-12，
故答案为：-12．
【点睛】此题主要考查了坐标系中的点关于原点对称的坐标特点．注意：关于原点对称的点，横纵坐标分别互为相反数．
13. 已知关于x的不等式组有且只有2个整数解，且a为整数，则a的值为_____．
【13题答案】
【答案】5
【解析】
【分析】解不等式组得出其解集为3≤x＜a，根据不等式组只有2个整数解知4＜a≤5，结合a为整数可得答案．
【详解】解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式9﹣2x≤3，得：x≥3，
则不等式组的解集为3≤x＜a，
∵不等式组只有2个整数解，
∴不等式组整数解为3和4，
则4＜a≤5，
又a为整数，
∴a＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查根据不等式组的整数解求参数的值，熟练掌握，即可解题.
14. 如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，如果AP＝3，那么线段PP′的长等于_____．

【14题答案】
【答案】3
【解析】
【分析】根据旋转性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．
【详解】∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
即线段AB旋转后到AC，
∴旋转了90°，
∴∠PAP′＝∠BAC＝90°，AP＝AP′＝3，
∴PP′＝3．
【点睛】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
三、作图题（本大题满分4分）
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
15. 某地有两所大学和两条相交的公路，如图所示（点M，N表示大学，OA，OB表示公路）现计划修建一座物资仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．请你用尺规确定仓库所在的位置．

【15题答案】
【答案】作图见解析．
【解析】
【分析】根据题意，分别作的平分线和MN的垂直平分线即可求得
【详解】解：分别作的平分线和MN的垂直平分线；
作图步骤如下：
①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，分别以为圆心，以大于为半径在角的内部分别作弧，交于一点，作射线；
②分别以为圆心，以大于为半径在的两侧分别作弧，交于,作直线；
与的交点即为所求

如图所示，P在的平分线和MN的垂直平分线的交点上，点P就是仓库应该修建的位置．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，以及角平分线和垂直平分线的作图，熟练作图步骤是解题的关键．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16. 计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
【16题答案】
【答案】（1）3y（x﹣2y）2；（2）不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
【解析】
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】（1）3x2y﹣12xy2+12y3
=3y（x2﹣4xy+4y2）
=3y（x﹣2y）2；
（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：x+2﹣3x≥3，
移项合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17. （1）解方程=+1；
（2）化简：（a-）×．
【17题答案】
【答案】（1）x=4；（2）．
【解析】
【分析】（1）去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程得出x的值，检验即可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式．
【详解】（1）∵，
去分母得：x（x+2）=12+x2﹣4，
去括号得：x2+2x=12+x2﹣4，
移项、合并得：2x=8，
∴x=4，
经检验，x=4是分式方程的解；
（2）




【点睛】本题主要考查分式的化简及解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．
18. △ABC在平面直角坐标系中如图：
（1）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°所得到的△A1B1C1，并写出A1点的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于原点成中心对称的△A2B2C2，并直接写出△AA1A2的面积．

【18题答案】
【答案】（1）(﹣3，2)，作图见解析
（2）13，作图见解析
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A1、B1、C1即可；（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2，再利用等腰直角三角形的性质计算△AA1A2的面积．
【详解】（1）如图，△A1B1C1为所作，A1点的坐标为(﹣3，2)；
（2）如图，△A2B2C2所作；
△AA1A2的面积＝×（）2＝13．

【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19. 如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M,N分别是AB,AD的中点．
（1）求证:四边形AMON是平行四边形；
（2）若AC=6,BD=4,∠AOB=90°,求NO的长度．

【19题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，根据三角形中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，根据平行四边形的判定可证得结论；
（2）由勾股定理求得AB，根据三角形中位线的性质得到进而可得结论．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD．
∵，分别是、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵，，
∴，．
∵，
∴．
∵是的中点，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到是解决问题的关键．
20. 新冠肺炎疫情期间，成都江安河社区有甲、乙两个医疗用品公司，免费为医院加工同种型号的防护服．甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的1.5倍，两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天．求甲、乙两厂每天各加工多少套防护服？
【20题答案】
【答案】甲厂每天加工75套，乙厂每天加工50套
【解析】
【分析】设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，根据“两厂各加工600套防护服，甲厂比乙厂要少用4天”列出方程并解答．
【详解】解：设乙厂每天加工x套防护服，则甲厂每天加工1.5x套防护服，
根据题意，得﹣＝4，
解得x＝50，
经检验：x＝50是所列方程的解，
则1.5x＝75．
答：甲厂每天加工75套防护服，乙厂每天加工50套防护服．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，读懂题意列出方程是解题的关键．
21. 如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．

【21题答案】
【答案】(1)∠APB＝90°； (2)△APB的周长是24cm．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质得出ADCB，ABCD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴ ，，，
∴ ，
又∵和分别平分和，
∴ ，
∴；
（2） ∵平分， ，
∴，
∴，同理：，
∴，
在中，，
∴，
∴△的周长．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
22. 某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

A种产品
B种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
（1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？
（2）若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？
（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．
【22题答案】
【答案】（1）A产品8件，B产品2件；（2）方案①，A种产品5件，则B种产品5件；方案②，A种产品6件，则B种产品4件；方案③，A种产品7件，则B种产品3件；（3）方案①获利最大，最大利润为20万元；
【解析】
【分析】（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；
（2）根据计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；
（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．
【详解】解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，
依题意得：x＋3（10﹣x）＝14，
解得 x＝8，
则10﹣x＝2，
答：生产A产品8件，生产B产品2件；
（2）设生产A产品y件，则生产B产品（10﹣y）件
，
解得：5≤y＜8．
因为x为正整数，故x＝5，6或7；
方案①，A种产品5件，则B种产品5件；
方案②，A种产品6件，则B种产品4件；
方案③，A种产品7件，则B种产品3件．
（3）设A种产品x件时，获得的利润为W万元，则
W＝x＋3（10﹣x）＝﹣2x＋30，
因为﹣2＜0，所以W随x的增大而减小，
所以，当x＝5时，W取得最大值为20，
所以，生产方案①获利最大，最大利润为20万元．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数在实际问题中的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系以及一次函数的性质是解决此题的关键．
23. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发沿BC方向以2cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t等于多少时，四边形ABPQ的面积为18cm2；
（2）若以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值；
（3）当0
【23题答案】
【答案】（1）；（2）2；（3）或．
【解析】
【分析】（1）根据梯形的面积公式即可得出结论；
（2）根据平行四边形的对边相等建立方程求解即可得出结论；
（3）分两种情况①利用等腰三角形的三线合一的性质得出，再用矩形的对边相等建立方程求解即可；
②利用勾股定理建立方程即可得出结论．
【详解】解：（1）由题意得， ，
当四边形的面积为时
，
解得；
所以，时，四边形的面积为；
（2）由题意得， ，
，
，，
四边形是平行四边形，

，
解得；
综上所述，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，的值是2；
（3）①如图①，若，过作于，
则，
，
，
易证四边形是矩形，
，
，
解得
②如图②，若，过作于，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得
综上所述，当或．


【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了梯形面积公式，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是用方程的思想解决问题．
24. [实际问题]
小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿做好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？

[类比探究]
为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题．
探究1：如图②，在△ABC中，AC⊥BC．若BC = a，AC = b，AB = c，则a + b与c之间有什么数量关系？
解：在△ABC中，∵AC⊥BC

∴BC2 + AC2 = AB2，即a2 + b2 = c2
∵（a-b）2≥0
∴a2 + b2 - 2ab≥0
∴a2 + b2≥2ab
∴c2≥2ab
∴c2 + a2 + b2≥2ab + a2 + b2
∴2c2≥（a+b）2
∵a，b，c均大于0
∴a + b与c之间的数量关系是a + b≤c．
探究2：如图③，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2
∴a2 + b2 + c2 = d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0
∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc
将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
∴ ____ d2≥（a+b+c）2
∵a，b，c，d均大于0
∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤ _________ d．
探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形ABCDE中，AC，AD是对角线，
AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE．若AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，则a + b + c + d与e之间的数量关系是 _________ ．

[归纳结论]
当a1 > 0，a2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是 _________ ．
[问题解决]
小明家住16楼．一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中．如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是_________米．
[拓展延伸]
公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米．分别以水池四边为边向外建四个正方形花圃，若花圃面积和为400平方米，则水池的最大周长为_________米．
【24题答案】
【答案】探究2：3；；探究3：；[归纳结论]；[问题解决]3；[拓展延伸]40
【解析】
【分析】探究2，根据a2 + b2 + c2 = d2，即可合并，再根据完全平方公式即可得到结论；
探究3，根据a2 + b2 + c2 +d2=e2，仿照探究1,2的结论即可求解；
[归纳结论]根据探究1,2,3故可得到结论；
[问题解决]由探究得到的结论及长2+宽2+高2=32，故可代入求解；
[拓展延伸]由探究得到的结论及a2+b2+c2+d2=400，故可代入求解．
【详解】探究2，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD．若AB = a，BC = b，CD = c，AD = d，则a + b + c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2
∴a2 + b2 + c2 = d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0
∴a2 + b2≥2ab，a2 + c2≥2ac，b2 + c2≥2bc
将上面三式相加得，2a2 + 2b2 + 2c2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2≥2ab + 2ac + 2bc
∴2d2 + a2 + b2 + c2≥2ab + 2ac + 2bc + a2 + b2 + c2
∴ 3d2≥（a+b+c）2
∵a，b，c，d均大于0
∴a + b + c与d之间有这样的数量关系：a + b + c≤d．
探究3：∵在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE
∴BC2 + AB2 = AC2，AC2 + CD2 = AD2 ，AD2 + ED2 = AE2
由AB = a，BC = b，CD = c，DE = d，AE = e，
可得a2 + b2 + c2 +d2=e2，
∴a + b + c + d≤
∴a + b + c + d与e之间的数量关系是；
[归纳结论]
∵a2 + b2 + c2 = d2，a，b，c，d均大于0，可得a + b + c≤d；
a2 + b2 + c2 +d2=e2，a，b，c，d，e均大于0，可得
∴当a1 > 0，a2 > 0，…an > 0，m > 0时，若a12 + a22 + … + an2 = m2，则a1+ a2 + … + an，与m之间的数量关系是：；
[问题解决]由题意及勾股定理可得长2+宽2+高2=32
∴长+宽+高≤×3=3，
∴电梯的长、宽、高和的最大值是3米；
[拓展延伸]根据题意及正方形的面积可得a2+b2+c2+d2=400，
∴，
∴则水池的最大周长为40米；
【点睛】此题主要考查勾股定理的探究应用，解题的关键是熟知勾股定理及完全平方公式的运用．