2021-2022学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年山东省青岛市崂山区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共8小题，共24分）

1. 下列图形中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列由左到右的变形，属于因式分解的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 若分式的值为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，点的对应点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图，直线的图象经过点，，则不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在▱中，，，：：，依据尺规作图的痕迹，则▱的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，▱的对角线，交于点，为的中点，为延长线上一点，射线与的角平分线交于点，若，，则线段的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共6小题，共18分）

9. 多项式分解因式的结果是______．
10. 如图，在中，，，斜边的垂直平分线交于点，交于点，，则______．

11. 已知一个多边形的内角和比外角和多，则它的边数为______．
12. 是一个完全平方式，则______．
13. 如图，在中，边，的垂直平分线分别交边于点，，垂足为，若，则______．

14. 在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：是等边三角形；；的周长是；其中正确的序号是______请填写序号

三、解答题（本题共11小题，共78 分）

15. 如图，请在内确定一点，使得点到的两边，的距离相等，且点到、两点的距离相等．

16. 分解因式：；
    解方程．
17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

18. 先化简，再求值：，其中且为整数．
19. 已知：如图，在四边形中，连接，，垂足为点，，垂足为点，，请说明与的数量关系和位置关系，并说明理由．

20. 如图所示，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，都是格点，请证明点，，在同一条直线上．

21. 对于任意两个代数式，的大小比较，有下面的方法：
    当时，；
    当时，；
    当时，．
    我们把这种比较两个代数式大小的方法叫做“作差法”．
    在克盐水中含有克盐完全溶解，则盐水浓度可表示为______；如果再加入克盐完全溶解，则盐水浓度可表示为______．
    请用“作差法”说明加盐前后盐水浓度的大小关系．
22. 如图，将一张长方形纸板按图中实线裁剪成块，其中有两块是边长都为的大正方形，块是边长都为的小正方形，块是长为，宽为的全等小长方形，且．
    观察图形，可以发现代数式可以因式分解为______．
    若每块小长方形的周长是，且每块大正方形与每块小正方形的面积差为，求这张长方形纸板的面积．

23. 已知：如图，四边形为平行四边形，对角线，相交于点，点，，，在同一条直线上．从下面三个选项选择一个作为条件补充在下面横线上并完成作答，选择选项：______只填写序号，从三个选项中选择一个
    ；
    ；
    ．
    求证：≌；
    请判断四边形的形状，并证明你的结论．

24. 越野自行车骑行是中学生喜爱的运动方式，市场巨大，竞争也激烈．某品牌经销商经营的型车的销售总额为万元，型车的销售总额将比型车的销售总额少型车每辆售价比型车低元，若卖出的数量相同．
    求型车与型车的销售单价；
    该品牌经销商计划新购进一批型车和型车共辆，型车的进货价为元辆，型车的进货价为元辆．且型车的进货数量不超过型车进货数量的两倍，请问应如何安排两种型号车的进货数量，才能使这批自行车售出后获利最多？
25. 如图，在四边形中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为设运动时间为，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作，垂足为，连接交于点，连接．
    当为何值时？四边形为平行四边形；
    设四边形的面积为，求与之间的关系式；
    是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
在数轴上表示为：

故选：．
先根据不等式的性质求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能根据不等式的性质求出不等式的解集是解此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：原变形是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、原变形符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
C、等式右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、等式左边不是完全平方式，因式分解错误，故本选项不符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义，对各选项作出判断，即可得出正确答案．
本题考查了分解因式的定义．解题的关键是掌握分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：分式的值为，
且，
解得：．
故选：．
根据分式值为零的条件，可得：且，据此求出的值即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，解答此题的关键是要明确：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

则为所求，
点的对应点的坐标是，
故选：．
根据平移和旋转的性质，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：由图象可得：当时，，
所以不等式的解集为，
故选：．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

由作图可知，垂直平分线段
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
：：，
，，
平行四边形的面积，
故选：．
过点作于，证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
只要证明，再利用三角形的中位线定理求出即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，

是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用三角形的外角可得，最后在中，进行计算即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，含度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设这个多边形是边形，
根据题意得，，
解得．
故答案为：．
根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，然后求解即可．
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
是的垂直平分线，
，
，
同理，，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：是等边三角形，
，，，
由旋转性质知：，，
是等边三角形．
正确．
将绕点逆时针旋转，得到，
≌，
，
，
，
正确．
是等边三角形，
，
由旋转性质知：．
的周长



．
正确．
是等边三角形，
，
如果，
，
，
是的外角，

，
错误．
故答案为：．
根据等边三角形，全等三角形，旋转的性质进行判定．
本题考查等边三角形，全等三角形及旋转的性质，充分利用性质是求解本题的关键．
 

15.【答案】解：如图，作线段的垂直平分线．
作的平分线交于点．
点即为所求．
 

【解析】根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质解决问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：原式
；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及分解因式，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

17.【答案】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
由分式有意义的条件可知：不能取，
故时，
原式． 

【解析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

19.【答案】解：，，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，． 

【解析】首先利用证明≌，得，则，从而得出四边形是平行四边形，从而得出答案．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 

20.【答案】解：以为原点，构建如图，平面直角坐标系．
则有，，，

直线的解析式为，
时，，
点在直线上，
，，三点共线． 

【解析】以为原点，构建如图，平面直角坐标系．求出直线的解析式，证明点在直线上即可．
本题考查了一次函数的应用，正确地求出直线的解析式是解题的关键，
 

21.【答案】  

【解析】解：盐水浓度，
再加入克盐完全溶解后，盐水浓度．



，
由题知，，，，
，
即，
．
根据盐水的浓度，由此表示出盐水的浓度为，当再加入克盐时，盐水的总质量为克，其中盐的质量为克，根据公式得出盐水的浓度为．
根据题中给出的“作差法”将两个浓度作差，然后与比较，然后得出结论．
本题考查的是列代数式，根据浓度公式列代数式以及用作差法比较代数式的大小．
 

22.【答案】 

【解析】解：由题意得，
长方形纸板分成块，其中块边长为的大正方形的面积为；
块边长为的小正方形的面积为；
块长为，宽为的全等小长方形的面积为．
代数式表示的是长方形纸板分成块图形的面积之和．
长方形纸板的边长分别为：，．
．
故答案为：．
由题意得，
．
解得．
长方形纸板的面积为：．
根据图形可得，代数式表示长方形纸片分成块图形的面积之和，长方形的纸片的面积还可以用长宽，即；
根据小长方形的周长是，得到；每块大正方形与每块小正方形的面积差为，得到；根据上述关于、的方程求出，的值代入中的代数式即可．
本题考查了因式分解的应用，主要用到以图形面积为背景的二次三项式的因式分解以及平方差公式的应用．
 

23.【答案】 

【解析】解：选择，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：；
解：平行四边形是平行四边形，
理由如下：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
由平行四边形的性质可得，，，由全等三角形的判定和性质可得结论；
根据平行四边形的判定解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：设型车的销售单价为元，则型车的销售单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
则，
答：型车的销售单价为元，型车的销售单价为元；
设经销商新购进型车辆，则型车为辆，获利元．
由题意得：，
即，
型车的进货数量不超过型车数量的倍，
，
，
由与的关系式可知，，的值随的值增大而减小．
时，的值最大，
辆，
当经销商新购进型车辆，型车辆时，这批自行车获利最多． 

【解析】设型车的销售单价为元，则型车的销售单价为由题意：某品牌经销商经营的型车的销售总额为万元，型车的销售总额将比型车的销售总额少卖出的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
设经销商新进型车辆，则型车为辆，获利元．由题意得出，，则，再由一次函数的性质即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用；熟练掌握一元一次不等式和一次函数的应用，列出分式方程是解题的关键．
 

25.【答案】解：以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图：

根据题意知：，，，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为设运动时间为，
，，
，，，
，
当时，四边形为平行四边形，
，
解得，
答：当为时，四边形为平行四边形；
，，
，
；
答：与之间的关系式为；
存在点，使得为直角三角形，理由如下：
由，得直线解析式为，
在中，令得，
，
，，
，，，
，
不能是直角，即不能是斜边；
若是斜边，则，
解得此时，舍去或，
；
若为斜边，则，
解得或舍去，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】以为原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，根据已知：，，，，，，
四边形为平行四边形，有，即可解得当为时，四边形为平行四边形；
由，，得，根据梯形面积公式得与之间的关系式为；
由，得直线解析式为，即有，可得，，，分三种情况：不能是直角，即不能是斜边；若是斜边，可得；若为斜边，可得．
本题考查四边形综合应用，涉及平行四边形的判定，梯形的面积，勾股定理的逆定理及应用等，解题的关键是建立适当的直角坐标系和分类讨论思想的应用．