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    北京大学附属中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题(试卷+解析)
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    北京大学附属中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题(试卷)

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    这是一份北京大学附属中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题(试卷),文件包含北京大学附属中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题解析docx、北京大学附属中学2020-2021学年七年级下学期期末数学试题试卷docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共32页, 欢迎下载使用。

    2020-2021学年北京大学附中七年级(下)期末数学试卷
    一、选择题(本题共16分,每小题2分)下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的
    1. 如图所示,下列判断正确的是( )

    A. 图⑴中∠1和∠2是一组对顶角 B. 图⑵中∠1和∠2是一组对顶角
    C. 图⑶中∠1和∠2是一对邻补角 D. 图⑷中∠1和∠2互为邻补角
    【1题答案】
    【答案】D
    【解析】
    【详解】根据对顶角:有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,具有这种位置关系的两个角,互为对顶角;
    邻补角:只有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角
    由此可得图(4)中∠1和∠2互为邻补角.
    故选D.
    2. 估计+1的值在(  )
    A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间
    【2题答案】
    【答案】D
    【解析】
    【分析】先估算出的大小,再估算出+1的值即可.
    【详解】解:∵3<<4,
    ∴4<+1<5,
    ∴+1的值在4和5之间;
    故选:D.
    【点睛】本题主要考察无理数的估算,掌握无理数估算方法是解题的关键.
    3. 已知二元一次方程组,则的值为  
    A. B. C. D. 1
    【3题答案】
    【答案】D
    【解析】
    【分析】原方程组的两个方程相加即可求解.
    【详解】解:由二元一次方程组,
    两式相加得:,
    则.
    故选:.
    【点睛】此题主要考查了解二元一次方程组,熟练掌握二元一次方程组的解法是解答此题的关键.
    4. 下列调查中,不适合用抽样调查方式的是( ).
    A. 调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量
    B. 调查某电视剧的收视率
    C. 调查一批炮弹的杀伤力
    D. 调查一片森林的树木有多少棵
    【4题答案】
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据“抽样调查和全面调查各自的特点和适用范围”进行分析判断即可.
    【详解】A选项中,调查“神州十一号”飞船重要零部件的产品质量应该使用“全面调查”,不适合用“抽样调查”;
    B选项中,调查某电视剧的收视率适用适用“抽样调查”;
    C选项中,调查一批炮弹的杀伤力适合使用“抽样调查”;
    D选项中,调查一片森林的树木有多少棵适合使用“抽样调查”.
    故选A.
    【点睛】熟悉“抽样调查和全面调查各自的特点”是解答本题的关键.
    5. 如图,下列能判定ABCD的条件有()个.
    (1);(2);(3);(4).

    A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
    【5题答案】
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可.
    【详解】解:当∠B+∠BCD=180°,ABCD,符合题意;
    当∠1=∠2时,ADBC,不符合题意;
    当∠3=∠4时,ABCD,符合题意;
    当∠B=∠5时,ABCD,符合题意.
    综上,符合题意的有3个,
    故选:C.
    【点睛】本题考查了平行线的判定:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行.
    6. 若a>b,则下列不等式变形正确的是(  )
    A. a+5<b+5 B. C. 3a﹣2>3b﹣2 D. ﹣4a>﹣4b
    【6题答案】
    【答案】C
    【解析】
    【分析】不等式两边加或减某个数或式子,乘或除以同一个正数,不等号的方向不变;乘或除以一个负数,不等号的方向改变.
    【详解】解:A.∵a>b,
    ∴a+5>b+5,故本选项不符合题意;
    B.∵a>b,
    ∴,故本选项不符合题意;
    C.∵a>b,
    ∴3a>3b,
    ∴3a-2>3b-2,故本选项符合题意;
    D.∵a>b,
    ∴-4a<-4b,故本选项不符合题意;
    故选:C.
    【点睛】本题考查了不等式的性质:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    7. 小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间,并绘制了直方图.有以下说法:①小文同学一共统计了60人;②每天微信阅读不足20分钟的人数有8人;③每天微信阅读30~40分钟的人数最多;④每天微信阅读0-10分钟的人数最少.根据图中信息,上述说法中正确的是(  )

    A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ③④
    【7题答案】
    【答案】D
    【解析】
    【详解】①小文同学一共统计了4+8+14+20+16+12=74(人),则命题错误;
    ②每天微信阅读不足20分钟的人数有4+8=12(人),故命题错误;
    ③每天微信阅读30−40分钟的人数最多,正确;
    ④每天微信阅读0−10分钟的人数最少,正确.
    故选D.
    点睛: 本题考查读频数分布直方图能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
    8. 在平面直角坐标系中,点A(0,a),点B(0,4﹣a),且A在B的下方,点C(1,2),连接AC,BC,若在AB,BC,AC所围成区域内(含边界),横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个,那么a的取值范围为(  )
    A. ﹣1a0 B. 0a1 C. 1a2 D. ﹣1a1
    【8题答案】
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意得出除了点C外,其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上,即线段AB上,从而求出a的取值范围.
    【详解】解:∵点A(0,a),点B(0,4﹣a),且A在B的下方,
    ∴a<4﹣a,
    解得:a<2,
    若在AB,BC,AC所围成区域内(含边界),横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个,
    ∵点A,B,C的坐标分别是(0,a),(0,4﹣a),(1,2),
    ∴区域内部(不含边界)没有横纵坐标都为整数的点,
    ∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上,
    ∵点C(1,2)的横纵坐标都为整数且在区域的边界上,
    ∴其他的3个都在线段AB上,
    ∴3≤4﹣a<4.
    解得:0<a≤1,
    故选:B.
    【点睛】本题考查了坐标与图形的性质,分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB上为解决本题的关键.
    二、填空题(本题8个题,共16分)
    9. 不等式组的解集是 ___.
    【9题答案】
    【答案】-1≤x<2
    【解析】
    【分析】求不等式组中两个不等式解集的交集即为所求.
    【详解】解;不等式组的解集是-1≤x<2,
    故答案为:-1≤x<2.
    【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法,其简便求法就是用口诀求解.求不等式组解集的口诀:同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到(无解).
    10. 如图,点A,B,C,D,E在直线上,点P在直线外,PC⊥于点C,在线段PA,PB,PC,PD,PE中,最短的一条线段是_____,理由是___

    【10题答案】
    【答案】 ①. PC ②. 垂线段最短
    【解析】
    【分析】点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长,根据定义即可选出答案.
    【详解】根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离,从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.
    故答案是:PC;垂线段最短.
    【点睛】本题考查了对点到直线的距离的应用,注意:点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长.
    11. 已知点P的坐标为(a+1,5﹣3a),且它到两个坐标轴的距离相等,则点P的坐标为_______________.
    【11题答案】
    【答案】(4,-4)或(2,2)
    【解析】
    【分析】根据点P到两个坐标轴的距离相等可得a+1+5-3a=0或a+1=5-3a,解方程可得a的值,进而可得点P的坐标.
    【详解】解:由题意得:a+1+5-3a=0或a+1=5-3a,
    解得a=3或a=1.
    故当a=3时,P(4,-4);
    当a=1时,P(2,2);
    故答案为:(4,-4)或(2,2).
    【点睛】此题主要考查了点的坐标,关键是掌握点P到两个坐标轴的距离相等时,横纵坐标相等或相反数关系.
    12. 若不等式2(x+3)>1的最小整数解是方程a+2x=3的解,则a的值为 ___.
    【12题答案】
    【答案】7
    【解析】
    【分析】求得x的取值范围来确定x的最小整数解;然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程,通过解该方程即可求得a的值.
    【详解】解:2(x+3)>1,
    解得x>-2.5,其最小整数解为-2,
    所以x=-2是方程解,
    因此2×(-2)+a=3,
    解得a=7.
    故答案为:7.
    【点睛】本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解.解不等式要依据不等式的基本性质.
    13. 《九章算术》是我国东汉初年编订一部数学经典著作.在它的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的,现在我们把它改为横排,如图1、图2.

    图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来,就是.类似地,图2所示的算筹图我们可以表述为 ___.
    【13题答案】
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意和图1的表示方法,可以用相应的方程组表示出图2.
    【详解】解:由题意可得,
    图2所示的算筹图我们可以表述为:,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组,解答本题的关键是明确题意,找出题目中的等量关系,列出相应的方程组.
    14. 如图,某住宅小区内有一长方形地,若在长方形地内修筑同样宽的小路(图中阴影都分),余下部分绿化,小路的宽均为2m,则绿化的面积为____.

    【14题答案】
    【答案】540
    【解析】
    【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形,如此一来,所有绿化面积之和就变为了(32-2)(20-2)m2,进而即可求出答案.
    【详解】利用平移可得,两条小路的总面积是:(32-2)(20-2)=540(m2).
    故答案为540.
    【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象,这类题目体现了数形结合的思想,需利用平移把不规则的图形变为规则图形,进而即可列出方程,求出答案.
    15. 以下五个条件中,能得到互相垂直关系的有___________.(填写序号)
    ①对顶角的平分线;          ②邻补角的平分线;
    ③平行线截得的一组同位角的平分线;  ④平行线截得的一组内错角的平分线;
    ⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线.
    【15题答案】
    【答案】②⑤
    【解析】
    【分析】根据平行线的性质、邻补角的定义对各小题进行逐一分析即可.
    【详解】解:①对顶角的平分线是一条直线,故本选项错误;
    ②邻补角的平分线互相垂直,故本选项正确;
    ③平行线截得的一组同位角的平分线互相平行,故本选项错误;
    ④平行线截得的一组内错角的平分线互相平行,故本选项错误;
    ⑤平行线截得的一组同旁内角的平分线互相垂直,故本选项正确.
    故答案为②⑤.
    【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义等知识,熟知平行线的性质是解答此题的关键.
    16. 如图,在实数范围内规定新运算“”,其规则是:ab=2a﹣b.已知不等式xk≥1的解集在数轴上,则k的值是_____.

    【16题答案】
    【答案】﹣3
    【解析】
    【分析】根据新运算法则得到不等式2x-k≥1,通过解不等式即可求k的取值范围,结合图象可以求得k的值.
    【详解】根据图示知,已知不等式的解集是x⩾−1.
    则2x−1⩾−3,
    ∵x△k=2x−k⩾1,
    ∴2x−1⩾k且2x−1⩾−3,
    ∴k=−3.
    故答案是:k=−3.
    三、解答题(本大题共24分,第17题4分,第18题8分,第19题4分,第20题8分.)
    17. 已知:∠AOB及∠AOB内部一点P.
    (1)过点P画直线PC∥OA交OB于点C;
    (2)过点P画垂线PD⊥OB于点D;
    (3)测量∠AOB与∠CPD的度数,并猜想∠AOB与∠CPD的数量关系是    .

    【17题答案】
    【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)∠AOB=44°,∠CPD=46°.∠AOB+∠CPD=90°
    【解析】
    【分析】(1)根据平行线的定义画出图形即可.
    (2)根据垂线的定义画出图形即可.
    (3)利用量角器测量角的大小即可.
    【详解】解:(1)如图,直线PC即为所求.
    (2)如图,直线PD即所求.
    (3)测量可得:∠AOB=44°,∠CPD=46°.
    猜想:∠AOB+∠CPD=90°.

    理由如下:




    故答案为:∠AOB+∠CPD=90°.
    【点睛】本题考查作图-复杂作图,平行线的定义,垂线的定义等知识,解题的关键是熟练掌握平行线的定义,垂线的定义,属于中考常考题型.
    18. (1)计算:.
    (2)求式子4(x﹣1)2﹣9=0中的x.
    【18题答案】
    【答案】(1);(2),
    【解析】
    【分析】(1)根据算术平方根、立方根、一个数平分的算术平方根,去绝对值的运算法则进行计算即可得出答案;
    (2)先根据等式的性质可化为,两边同除以4得,再根据平方根的定义可得或,解一元一次方程即可得出答案.
    【详解】解:(1)原式

    (2),


    根据平方根的定义可得,
    或,
    解得,.
    【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、等式的性质及平方根的定义,熟练掌握实数的运算法则、等式的性质及平方根的定义进行求解是解决本题的关键.
    19. 解方程组:
    【19题答案】
    【答案】
    【解析】
    【分析】方程组利用加减消元法求出解即可;
    【详解】
    解:①×2得 ③
    ③-②得,解得
    将代入①得
    解得
    ∴原方程组的解为
    【点睛】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
    20. (1)解不等式,并把它的解集在数轴上表示出来.

    (2)解不等式组:,并写出它的所有整数解.
    【20题答案】
    【答案】(1)x≤-2;(2)-3<x≤2,-2,-1,0,1,2
    【解析】
    【分析】(1)先求出不等式的解集,再在数轴上表示出不等式的解集即可;
    (2)先求出不等式组的解集,再求出不等式组的整数解即可.
    【详解】解:(1),
    去分母,得2(2x-1)≤3x-4,
    去括号,得4x-2≤3x-4,
    移项,得4x-3x≤-4+2,
    合并同类项,得x≤-2,
    在数轴上表示不等式的解集为:

    (2),
    解不等式①,得x>-3,
    解不等式②,得x≤2,
    所以不等式组的解集是-3<x≤2,
    所以不等式组的整数解是-2,-1,0,1,2.
    【点睛】本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集,解一元一次不等式组,不等式组的整数解等知识点,能分别求出不等式或不等式组的解集是解此题的关键.
    四、解答题(本大题共20分,第21题5分,第22题5分,第23题4分,第24题6分.)
    21. 2020年新冠肺炎疫情发生以来,中国人民风雨同舟、众志成城,构筑起疫情防控的坚固防线,集中体现了中国人民万众一心、同甘共苦的团结伟力.我市广大党员积极参与社区防疫工作,助力社区坚决打赢疫情防控阻击战.其中,A社区有500名党员,为了解本社区2月﹣3月期间党员参加应急执勤的情况,A社区针对执勤的次数随机抽取50名党员进行调查,并对数据进行了整理、描述和分析,给出了部分信息.
    应急执勤次数的频数分布表
    次数x/次
    频数
    频率
    0≤x<10
    8
    0.16
    10≤x<20
    10
    0.20
    20≤x<30
    16
    b
    30≤x<40
    12
    0.24
    40≤x<50
    a
    0.08
    请根据所给信息,解答下列问题:
    (1)a=   ,b=   ;
    (2)请补全频数分布直方图;
    (3)请估计2月﹣3月期间A社区党员参加应急执勤的次数不低于30次的约有    人.

    【21题答案】
    【答案】(1)4,0.32;(2)见解析;(3)160
    【解析】
    【分析】(1)根据频率=频数÷总数,可以得到a、b的值;
    (2)根据(1)中a的值,即可将频数分布直方图补充完整;
    (3)用总人数乘以样本中参加应急执勤的次数不低于30次的人数所占比例即可得.
    【详解】解:(1)a=50×0.08=4,b=16÷50=0.32,
    故答案为:4,0.32;
    (2)由(1)知,a=4,
    补全的频数分布直方图如图所示;

    (3)500×(0.24+0.08)
    =500×0.32
    =160(人),
    故答案为:160.
    【点睛】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
    22. 已知:如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3,那么AD是∠BAC的平分线吗?若是,请说明理由.请完成下列证明并在下面的括号内填注依据.
    解:是,理由如下:
    ∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
    ∴∠4=∠5=90°(    ),
    ∴AD∥EG(    ),
    ∴∠1=∠E(两直线平行,同位角相等);
    ∠2=   (    ).
    ∵∠E=∠3(已知),
    ∴∠1=∠2(等量代换),
    ∴AD平分∠BAC(    ).

    【22题答案】
    【答案】见解析
    【解析】
    【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明.
    【详解】解:是,理由如下:
    ∵AD⊥BC,EG⊥BC(已知),
    ∴∠4=∠5=90°(垂直定义),
    ∴AD∥EG(同位角相等,两直线平行),
    ∴∠1=∠E(两直线平行,同位角相等),
    ∠2=∠3(两直线平行,内错角相等),
    ∵∠E=∠3(已知),
    ∴∠1=∠2(等量代换),
    ∴AD平分∠BAC(角平分线定义).
    【点睛】本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质.
    23. 如图,三角形是由三角形经过某种平移得到的,点A与点,点B与点,点C与点分别对应,观察点与点坐标之间的关系,解答下列问题.

    (1)直接写出点A和点的坐标,并说明三角形是由三角形经过怎样的平移得到的.
    (2)若点是点通过(1)中的平移变换得到的,求的值.
    【23题答案】
    【答案】(1);先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度;(2)16.
    【解析】
    【分析】(1)点A和点在平面直角坐标系中的位置即可得它们的坐标,再根据点坐标的平移即可得;
    (2)先根据点坐标的平移变换规律可求出的值,再代入求值即可得.
    【详解】解:(1)由点A和点在平面直角坐标系中的位置得:,
    将点先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度可得到点,按同样的方式平移点可得到点,
    三角形是由三角形先向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到的;
    (2)由题意得:,,
    解得,,
    则.
    【点睛】本题考查了点坐标的平移变换、一元一次方程的应用等知识点,熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键.
    24. 列方程或不等式组解应用题:
    某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品,若用380元购进A种纪念品7件,B种纪念品8件;也可以用380元购进A种纪念品10件,B种纪念品6件.
    (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少?
    (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元,每销售1件B种纪念品可获利7元,该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件,且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元,问应该怎样进货,才能使总获利最大?
    【24题答案】
    【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元;(2)购进A种纪念品30件,B种纪念品10件
    【解析】
    【分析】(1)设A和B的进价分别为x和y,件数×进价=付款,可得到一个二元一次方程组,解即可.
    (2)获利=利润×件数,设购买A商品a件,则购买B商品(40-a)件,由题意可得到两个不等式,解不等式组即可.
    【详解】解:(1)设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元.由题意,
    ,解得:,
    答:A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元.
    (2)设商店准备购进A种纪念品a件,则购进B种纪念品(40-a)件.
    由题意,得,
    解之,得:30≤a≤32,
    ∵a为正整数,
    ∴a=30或31或32,
    当a=30时,总获利为220元,
    当a=31时,总获利为218元,
    当a=32时,总获利为216元,
    ∴当购进A种纪念品30件,B种纪念品10件时,获得利润最大.
    【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组和不等式组求解.
    五、解答题(本大题共24分,第25题5分,第26题5分,第27题7分,第28题7分.)
    25. 如图,点F在线段AB上,点E,G在线段CD上,AB∥CD.
    (1)若BC平分∠ABD,∠D=100°,求∠ABC的度数.
    (2)若∠1=∠2,求证:AE∥FG.

    【25题答案】
    【答案】(1)40°;(2)见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据平行线的性质得出∠ABD+∠D=180°,代入求出∠ABD,再根据角平分线的定义得出即可.
    (2)根据平行线的性质得出∠1=∠FGC,求出∠2=∠FGC,再根据平行线的判定得出即可.
    【详解】解:(1)∵AB∥CD,
    ∴∠ABD+∠D=180°,
    ∵∠D=100°,
    ∴∠ABD=80°,
    ∵BC平分∠ABD,
    ∴∠ABC=∠ABD=40°;
    (2)证明:∵AB∥CD,
    ∴∠1=∠FGC,
    ∵∠1=∠2,
    ∴∠2=∠FGC,
    ∴AE∥FG.
    【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质和判定,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
    26. 如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解,则称该一元一次方程为该不等式组的一个关联方程.如一元一次方程的解是,一元一次不等式组的解集是,我们就说一元一次方程是一元一次不等式组的一个关联方程.
    (1)在方程①,②,③中,不等式组的关联方程是  ;(填序号)
    (2)若不等式组的一个关联方程的根是整数,则这个关联方程可以是   ;(写出一个即可)
    (3)若方程,都是关于的不等式组的关联方程,直接写出的取值范围.
    【26题答案】
    【答案】(1)②;(2);(3)的取值范围是.
    【解析】
    【分析】(1)分别求出方程的解,不等式组的解集,根据定义标准判断即可;
    (2)确定不等式组的整数解,后根据整数解构造一元一次方程即可,答案不是唯一的;
    (3)先求得方程的解,在计算出不等式组的解集,根据新定义,重新构造关于m的不等式组,求解即可.
    【详解】解:(1)解不等式组
    得:,
    方程①的解为;
    方程②的解为;
    方程③的解为,
    不等式组的关联方程是②,
    故答案为:②;
    (2)解不等式组
    得:,
    所以不等式组的整数解为,
    则该不等式组的关联方程为,
    故答案为:;
    (3)解不等式组
    得:.
    方程的解为,
    方程的解为,
    ∵都是关于的不等式组的关联方程,
    ∴,
    解得
    ∴的取值范围是.
    【点睛】本题考查了一元一次方程的解法,一元一次不等式组的解法,新定义问题,熟练掌握解法,准确把握新定义是解题的关键.
    27. 如图,已知直线,分别是直线上的点.
    (1)在图1中,判断和之间的数量关系,并证明你的结论;
    (2)在图2中,请你直接写出和之间的数量关系(不需要证明);
    (3)在图3中,平分,平分,且,求的度数.

    【27题答案】
    【答案】(1),证明见析;(2);(3)
    【解析】
    【分析】(1)如图,过点作直线,由平行线的性质得到,,即可求得;
    (2)如图,记AB与NE的交点为G,由平行线的性质得∠EGM=∠DNE,由三角形外角性质得∠BME=∠MEN+∠EGM,由此即可得到结论;
    (3)由角平分线的定义设,设,由(1),得,由(2),得,再根据,可求得,继而可求得.
    【详解】(1),证明如下:
    如图,过点作直线,
    ∵,
    ∴,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    ∴;

    (2),理由如下:
    如图,记AB与NE的交点为G,

    又∵AB//CD,
    ∴∠EGM=∠DNE,
    ∵∠BME是△EMG的外角,
    ∴∠BME=∠MEN+∠EGM,
    ∴∠MEN=∠BME-∠DNE;
    (3)∵平分,
    ∴设,
    ∵平分,
    ∴设,
    由(1),得,
    由(2),得,
    又∵,
    ∴,
    ∴,
    即,
    ∴.
    【点睛】本题考查了平行线判定与性质,三角形外角的性质,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
    28. 在平面直角坐标系xOy中,对于给定的两点P,Q,若存在点M,使得△MPQ的面积等于1,即S△MPQ=1,则称点M为线段PQ的“单位面积点”,解答下列问题:
    如图,在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(1,0).
    (1)在点A(1,2),B(﹣1,1),C(﹣1,﹣2),D(2,﹣4)中,线段OP的“单位面积点”是   ;
    (2)已知点E(0,3),F(0,4),将线段OP沿y轴向上平移t(t>0)个单位长度,使得线段EF上存在线段OP的“单位面积点”,直接写出t的取值范围    .
    (3)已知点Q(1,﹣2),H(0,﹣1),点M,N是线段PQ的两个“单位面积点”,点M在HQ的延长线上,若S△HMN≥S△PQN,求出点N纵坐标的取值范围.

    【28题答案】
    【答案】(1),;(2)或;(3)见解析
    【解析】
    【分析】(1)分别根据三角形的面积计算△OPA,△DPB,△DPC,△OPD的面积即可;
    (2)分线段OP在线段EF下方和线段OP在线段EF上方分别求解;
    (3)画出图形,根据S△PQN=1,得到S△HMN≥,分当xN=0时,当xN=2时,分别结合S△HMN≥,得到不等式,求出N点纵坐标的范围.
    【详解】解:(1)S△OPA=,则点A是线段OP的“单位面积点”,
    S△OPB=,则点B不是线段OP的“单位面积点”,
    S△OPC=,则点C是线段OP的“单位面积点”,
    S△OPD=,则点D不是线段OP的“单位面积点”,
    (2)设点G是线段OP的“单位面积点”,则S△OPG=1,
    ∵点E的坐标为(0,3),点F的坐标为(0,4),且点G在线段EF上,
    ∴点G的横坐标为0,
    ∵S△OPG=1,线段OP为y轴向上平移t(t>0)个单位长度,
    当为单位面积点时,

    当为单位面积点时,

    综上所述:1≤t≤2或5≤t≤6;
    (3)∵M,N是线段PQ的两个单位面积点,
    ∴S△PQM=1,S△PQN=1,
    ∵P(1,0),Q(1,-2),
    ∴PQ=2,
    ∴M,N的横坐标为0或2,
    ∵点M在HQ的延长线上,
    ∴点M的横坐标为xM=2,
    ∵S△HMN≥S△PQN,
    ∴S△HMN≥,
    当xN=0时,S△HMN=,
    则,
    ∴或;
    当xN=2时,S△HMN=,
    则,
    ∴或.

    【点睛】本题主要考查三角形的面积公式,并且能够理解单位面积点的定义,解题关键是找到单位面积点的轨迹进行求解.




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