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2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面∠1与∠2不是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．±4 D．4
3．（2分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
6．（2分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
8．（2分）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）2的平方根是 ．
10．（2分）实数，0，，3.14159，，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有 个．
11．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝ °．
12．（2分）如图，要把池中的水引到D处，且使所开渠道最短，可过D点作DC⊥AB于C，然后沿所作的线段DC开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是： ．
13．（2分）若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 ．
14．（2分）若（a﹣3）2+＝0，则a+b＝ ．
15．（2分）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 ， ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝ ；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝ ．（用含n的代数式表示）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-25题，每小题5分，第26题，7分，第27题，6分，第28题，7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
18．（5分）计算：﹣．
19．（5分）计算：||﹣||+||．
20．（5分）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
21．（5分）如图，点A在∠O的一边上，按要求画图并填空．
（1）过点A画直线AB⊥OA于点A，与∠O的另一边相交于点B．
（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C．
（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D．
（4）∠CDB＝ °；
（5）如果OA＝8，AB＝6，AC＝，则点A到直线OB的距离为 ．
22．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度的图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标．
23．（6分）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．
24．（6分）完成下面的证明，
如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥ （ ）．
∴∠E＝ （ ）．
∴∠A＝∠E（等量代换）．
25．（6分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
27．（6分）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2）、B（1，b）．
给出如下定义：若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，就称点C为线段AB的“伴随顶点”．
（1）若b＝5，点C是第一象限的点，则线段AB的伴随顶点C的坐标是 ．
（2）若△ABC的面积等于8时，求线段AB的伴随顶点C的坐标．
2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面∠1与∠2不是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【解答】解：选项C中的∠1和∠2虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，因此不是对顶角，
故选：C．
2．（2分）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．±4 D．4
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案．
【解答】解：∵42＝16，
∴16的算术平方根是4．
故选：D．
3．（2分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选：D．
4．（2分）下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同旁内角的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故此选项正确；
B、∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故此选项错误；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项错误；
D、∠1与∠2是同位角，故此选项错误；
故选：A．
5．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
【分析】根据算术平方根立方根的的定义和性质对各项逐一分析即可得到答案．
【解答】解：A．负数没有算是平方根，所以A选项错误；
B.，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误．
故选：C．
6．（2分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、垂线段最短、平行线的性质判断．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，本说法是真命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本说法是真命题；
③垂线段最短，本说法是真命题；
④两直线平行，同旁内角互补，本说法是假命题；
故选：A．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：∵点P在第二象限，且第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于5，
∴点P的坐标是（﹣5，4）．
故选：A．
8．（2分）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜
∴在3～4之间
∴5﹣在1～2之间
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）2的平方根是 ± ．
【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．
【解答】解：2的平方根是±．
故答案为：±．
10．（2分）实数，0，，3.14159，，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有 3 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，0，是整数，属于有理数；
3.14159是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），共3个．
故答案为：3．
11．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝ 42 °．
【分析】根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOD＝132°，
∴∠COB＝132°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，
故答案为：42．
12．（2分）如图，要把池中的水引到D处，且使所开渠道最短，可过D点作DC⊥AB于C，然后沿所作的线段DC开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是： 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．（2分）若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 （0，7） ．
【分析】根据y轴上点的横坐标等于零，可得m的值，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2﹣m＝0，
解得m＝2，
3m+1＝7，
点P的坐标是（0，7），
故答案为：（0，7）．
14．（2分）若（a﹣3）2+＝0，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，b+2＝0，
解得a＝3，b＝﹣2，
所以，a+b＝3+（﹣2）＝1．
故答案为：1．
15．（2分）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 + ， ﹣ ．
【分析】设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出．
【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵A的面积为2，
∴x＝，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴x+y＝，
∴y＝，
∴图①中原长方形的长为：
x+x+y＝2x+y＝2+﹣＝，
∴图①中原长方形的宽为：
y＝，
故答案为：；．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝ 1 ；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝ 3n﹣2 ．（用含n的代数式表示）
【分析】由题意可分别找出当n＝1，2，3，4时的整点个数即可发现规律．
【解答】解：当点B的横坐标为3时，如图，
故整点为（1，1）一个，所以m＝1；
当n＝2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4个；
当n＝3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7个；
当n＝4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10个......，
∴当点B横坐标为3n时，整点个数为3n﹣2．
故答案为：3n﹣2．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-25题，每小题5分，第26题，7分，第27题，6分，第28题，7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+3﹣2﹣1
＝4．
18．（5分）计算：﹣．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝0.5﹣2﹣
＝﹣2．
19．（5分）计算：||﹣||+||．
【分析】直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+﹣
＝﹣1﹣2++﹣
＝2﹣3．
20．（5分）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
【分析】先开平方求出（x﹣1）的值，继而求出x的值．
【解答】解：（x﹣1）2＝4，
开平方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
21．（5分）如图，点A在∠O的一边上，按要求画图并填空．
（1）过点A画直线AB⊥OA于点A，与∠O的另一边相交于点B．
（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C．
（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D．
（4）∠CDB＝ 90 °；
（5）如果OA＝8，AB＝6，AC＝，则点A到直线OB的距离为 ．
【分析】（1）（2）（3）根据要求作出图形即可．
（4）利用平行线的性质求解即可．
（5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求作．
（2）如图，线段AC即为所求作．
（3）如图，直线CD即为所求作．
（4）∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵CD∥OA，
∴∠CDB＝∠OAB＝90°．
故答案为90．
（5）∵AC⊥OB，AC＝，
∴点A到直线OB的距离为．
故答案为：．
22．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度的图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标．
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移5个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）由图知，A′（﹣5，﹣2），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣3，1）．
23．（6分）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．
【分析】（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；
（3）根据点的坐标的定义可得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由平面直角坐标系知，教学楼的坐标为（1，0），体育馆的坐标为（﹣4，3）；
（3）行政楼的位置如图所示．
24．（6分）完成下面的证明，
如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥ AC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠E＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠A＝∠E（等量代换）．
【分析】根据平行线的性质∠A＝∠3，根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠3＝∠E，即可得出答案．
【解答】证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换），
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；AC，内错角相等，两直线平行；∠3，两直线平行，内错角相等．
25．（6分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
【分析】（1）利用已知证得∠D+∠AOD＝180°，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠COF＝∠COD＝45°，由平行线的性质得到∠AOF＝∠OFD＝70°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ED∥AB，
∴∠AOF＝∠OFD＝70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝∠COD＝45°，
∴∠1＝∠AOF﹣∠COF＝25°．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
【分析】（1）根据两点的纵坐标相等，连线平行x轴进行判断即可；
（2）①过点M作MN∥AC，运用平行线的判定和性质即可；
②设M（0，m），分两种情况：（i）当点M在线段OB上时，（ii）当点M在线段OB的延长线上时，分别运用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（3﹣m）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（m﹣3）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
综上所述，点M的坐标为（0，）或（0，）．
27．（6分）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ∠DEF+∠DCB＝180° ．
【分析】（1）由∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，可得到，AD∥BC，再根据EF∥AD，得出EF∥BC，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出结论；
（2）根据题意画出图形，与（1）的证明方法一样，证出EF∥BC，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠DCB．
（2）解：如图所示，
由（1）可知，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF+∠DCB＝180°．
故答案为：∠DEF+∠DCB＝180°．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2）、B（1，b）．
给出如下定义：若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，就称点C为线段AB的“伴随顶点”．
（1）若b＝5，点C是第一象限的点，则线段AB的伴随顶点C的坐标是 （5，5）或（5，2） ．
（2）若△ABC的面积等于8时，求线段AB的伴随顶点C的坐标．
【分析】（1）根据△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，点C是第一象限的点，进而可得结果；
（2）结合（1）根据△ABC的面积等于8时，可得AB＝4，则|b﹣2|＝4，b＝6或﹣2，进而可以求线段AB的伴随顶点C的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，
点C是第一象限的点，
则线段AB的伴随顶点C的坐标是（4，5）或（4，2），
故答案为：（4，5）或（4，2），；
（2）∵△ABC的面积等于8，点A（1，2）、B（1，b），
∴AB＝4，则|b﹣2|＝4，
∴b＝6或﹣2，
当b＝6时，点C的坐标为：（5，6）或（﹣3，6）或（5，2）或（﹣3，2）；
当b＝﹣2时，点C的坐标为：（5，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
综上所述：点C的坐标为：（5，6）或（﹣3，6）或（5，2）或（﹣3，2）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面∠1与∠2不是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2分）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．±4 D．4
3．（2分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
6．（2分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
8．（2分）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）2的平方根是 ．
10．（2分）实数，0，，3.14159，，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有 个．
11．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝ °．
12．（2分）如图，要把池中的水引到D处，且使所开渠道最短，可过D点作DC⊥AB于C，然后沿所作的线段DC开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是： ．
13．（2分）若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 ．
14．（2分）若（a﹣3）2+＝0，则a+b＝ ．
15．（2分）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 ， ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝ ；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝ ．（用含n的代数式表示）
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-25题，每小题5分，第26题，7分，第27题，6分，第28题，7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
18．（5分）计算：﹣．
19．（5分）计算：||﹣||+||．
20．（5分）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
21．（5分）如图，点A在∠O的一边上，按要求画图并填空．
（1）过点A画直线AB⊥OA于点A，与∠O的另一边相交于点B．
（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C．
（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D．
（4）∠CDB＝ °；
（5）如果OA＝8，AB＝6，AC＝，则点A到直线OB的距离为 ．
22．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度的图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标．
23．（6分）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．
24．（6分）完成下面的证明，
如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥ （ ）．
∴∠E＝ （ ）．
∴∠A＝∠E（等量代换）．
25．（6分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
27．（6分）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2）、B（1，b）．
给出如下定义：若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，就称点C为线段AB的“伴随顶点”．
（1）若b＝5，点C是第一象限的点，则线段AB的伴随顶点C的坐标是 ．
（2）若△ABC的面积等于8时，求线段AB的伴随顶点C的坐标．
2020-2021学年北京市大兴区七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）下面∠1与∠2不是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据对顶角的概念逐一判断即可．
【解答】解：选项C中的∠1和∠2虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，因此不是对顶角，
故选：C．
2．（2分）16的算术平方根是（ ）
A．±8 B．8 C．±4 D．4
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案．
【解答】解：∵42＝16，
∴16的算术平方根是4．
故选：D．
3．（2分）下面的每组图形中，平移左图可以得到右图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断．
【解答】解：A、左图与右图的形状不同，所以A选项错误；
B、左图与右图的大小不同，所以B选项错误；
C、左图通过翻折得到右图，所以C选项错误；
D、左图通过平移可得到右图，所以D选项正确．
故选：D．
4．（2分）下列图形中，∠1与∠2是同旁内角的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据同旁内角的定义逐一判断即可．
【解答】解：A、∠1与∠2是同旁内角，故此选项正确；
B、∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截形成的角，故此选项错误；
C、∠1与∠2是同位角，故此选项错误；
D、∠1与∠2是同位角，故此选项错误；
故选：A．
5．（2分）下列等式正确的是（ ）
A．＝﹣3 B．＝± C．＝4 D．＝﹣
【分析】根据算术平方根立方根的的定义和性质对各项逐一分析即可得到答案．
【解答】解：A．负数没有算是平方根，所以A选项错误；
B.，所以B选项错误；
C.，所以C选项正确；
D.，所以D选项错误．
故选：C．
6．（2分）下列命题：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； ③垂线段最短；④同旁内角互补．其中，真命题有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、垂线段最短、平行线的性质判断．
【解答】解：①直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，本说法是真命题；
②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，本说法是真命题；
③垂线段最短，本说法是真命题；
④两直线平行，同旁内角互补，本说法是假命题；
故选：A．
7．（2分）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（ ）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：∵点P在第二象限，且第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于5，
∴点P的坐标是（﹣5，4）．
故选：A．
8．（2分）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜
∴在3～4之间
∴5﹣在1～2之间
故选：D．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）2的平方根是 ± ．
【分析】直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．
【解答】解：2的平方根是±．
故答案为：±．
10．（2分）实数，0，，3.14159，，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），其中，无理数有 3 个．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．
【解答】解：，0，是整数，属于有理数；
3.14159是有限小数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
无理数有：，，0.010010001……（相邻两个1之间依次多一个0），共3个．
故答案为：3．
11．（2分）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为点O，若∠AOD＝132°，则∠EOC＝ 42 °．
【分析】根据对顶角相等可得∠COB＝132°，再根据垂直定义可得∠EOB＝90°，再利用角的和差关系可得答案．
【解答】解：∵∠AOD＝132°，
∴∠COB＝132°，
∵EO⊥AB，
∴∠EOB＝90°，
∴∠COE＝132°﹣90°＝42°，
故答案为：42．
12．（2分）如图，要把池中的水引到D处，且使所开渠道最短，可过D点作DC⊥AB于C，然后沿所作的线段DC开渠，所开渠道即最短，试说明设计的依据是： 垂线段最短 ．
【分析】根据垂线段的性质，可得答案．
【解答】解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
13．（2分）若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 （0，7） ．
【分析】根据y轴上点的横坐标等于零，可得m的值，可得答案．
【解答】解：由题意，得
2﹣m＝0，
解得m＝2，
3m+1＝7，
点P的坐标是（0，7），
故答案为：（0，7）．
14．（2分）若（a﹣3）2+＝0，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，a﹣3＝0，b+2＝0，
解得a＝3，b＝﹣2，
所以，a+b＝3+（﹣2）＝1．
故答案为：1．
15．（2分）如图，把图①中的长方形分成B、C两部分，恰与正方形A拼接成如图②的大正方形．如果正方形A的面积为2，拼接后的大正方形的面积是5，则图①中原长方形的长和宽分别是 + ， ﹣ ．
【分析】设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到x，y之间的关系式即可求出．
【解答】解：设C的长为x，宽为y，则B的长为x+y，宽为y，
∵A的面积为2，
∴x＝，
∵拼接后的大正方形的面积是5，
∴x+y＝，
∴y＝，
∴图①中原长方形的长为：
x+x+y＝2x+y＝2+﹣＝，
∴图①中原长方形的宽为：
y＝，
故答案为：；．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系下xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3时，m＝ 1 ；当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m＝ 3n﹣2 ．（用含n的代数式表示）
【分析】由题意可分别找出当n＝1，2，3，4时的整点个数即可发现规律．
【解答】解：当点B的横坐标为3时，如图，
故整点为（1，1）一个，所以m＝1；
当n＝2，即点B的横坐标为6时，整点个数为4个；
当n＝3，即点B的横坐标为9时，整点个数为7个；
当n＝4，即点B的横坐标为12时，整点个数为10个......，
∴当点B横坐标为3n时，整点个数为3n﹣2．
故答案为：3n﹣2．
三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-25题，每小题5分，第26题，7分，第27题，6分，第28题，7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17．（5分）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+3﹣2﹣1
＝4．
18．（5分）计算：﹣．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝0.5﹣2﹣
＝﹣2．
19．（5分）计算：||﹣||+||．
【分析】直接利用绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣（2﹣）+﹣
＝﹣1﹣2++﹣
＝2﹣3．
20．（5分）已知（x﹣1）2＝4，求x的值．
【分析】先开平方求出（x﹣1）的值，继而求出x的值．
【解答】解：（x﹣1）2＝4，
开平方得：x﹣1＝±2，
解得：x1＝3，x2＝﹣1．
21．（5分）如图，点A在∠O的一边上，按要求画图并填空．
（1）过点A画直线AB⊥OA于点A，与∠O的另一边相交于点B．
（2）过点A画OB的垂线段AC，垂足为点C．
（3）过点C画直线CD∥OA，交直线AB于点D．
（4）∠CDB＝ 90 °；
（5）如果OA＝8，AB＝6，AC＝，则点A到直线OB的距离为 ．
【分析】（1）（2）（3）根据要求作出图形即可．
（4）利用平行线的性质求解即可．
（5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，直线AB即为所求作．
（2）如图，线段AC即为所求作．
（3）如图，直线CD即为所求作．
（4）∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∵CD∥OA，
∴∠CDB＝∠OAB＝90°．
故答案为90．
（5）∵AC⊥OB，AC＝，
∴点A到直线OB的距离为．
故答案为：．
22．（5分）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点坐标为A（0，﹣2），B（3，﹣1），C（2，1）．
（1）请在图中画出△ABC向左平移5个单位长度的图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标．
【分析】（1）将三个顶点分别向左平移5个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）由图可得答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）由图知，A′（﹣5，﹣2），B′（﹣2，﹣1），C′（﹣3，1）．
23．（6分）如图，是小明所在学校的平面示意图，已知宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）．
（1）根据题意，画出相应的平面直角坐标系；
（2）分别写出教学楼、体育馆的位置；
（3）若学校行政楼的位置是（﹣1，﹣1），在图中标出行政楼的位置．
【分析】（1）直接利用宿舍楼的位置是（3，4），艺术楼的位置是（﹣3，1）得出原点的位置进而得出答案；
（2）利用所建立的平面直角坐标系即可得出答案；
（3）根据点的坐标的定义可得．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）由平面直角坐标系知，教学楼的坐标为（1，0），体育馆的坐标为（﹣4，3）；
（3）行政楼的位置如图所示．
24．（6分）完成下面的证明，
如图，AD∥BE，∠1＝∠2，求证：∠A＝∠E．
证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝ ∠3 （ 两直线平行，同位角相等 ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥ AC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠E＝ ∠3 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
∴∠A＝∠E（等量代换）．
【分析】根据平行线的性质∠A＝∠3，根据平行线的判定得出AC∥DE，根据平行线的性质得出∠3＝∠E，即可得出答案．
【解答】证明：∵AD∥BE（已知），
∴∠A＝∠3（两直线平行，同位角相等），
又∵∠1＝∠2（已知），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∴∠A＝∠E（等量代换），
故答案为：∠3，两直线平行，同位角相等；AC，内错角相等，两直线平行；∠3，两直线平行，内错角相等．
25．（6分）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠D与∠1互余，F是DE上一点，连接OF．
（1）求证：ED∥AB．
（2）若OF平分∠COD，∠OFD＝70°，求∠1的度数．
【分析】（1）利用已知证得∠D+∠AOD＝180°，进而得出答案；
（2）利用角平分线的定义结合已知得出∠COF＝∠COD＝45°，由平行线的性质得到∠AOF＝∠OFD＝70°，进而得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠D与∠1互余，
∴∠D+∠1＝90°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠D+∠1+∠COD＝180°，
∴∠D+∠AOD＝180°，
∴ED∥AB；
（2）解：∵ED∥AB，
∴∠AOF＝∠OFD＝70°，
∵OF平分∠COD，
∴∠COF＝∠COD＝45°，
∴∠1＝∠AOF﹣∠COF＝25°．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中描出下列两组点，分别将每组里的点用线段依次连接起来．
第一组：A（﹣3，3）、C（4，3）；
第二组：D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1）．
（1）直接写出线段AC与线段DE的位置关系；
（2）在（1）的条件下，线段AC，DE分别与y轴交于点B，F．若点M为射线OB上一动点（不与点O，B重合）．
①当点M在线段OB上运动时，连接AM、DM，补全图形，用等式表示∠CAM、∠AMD、∠MDE之间的数量关系，并证明．
②当△ACM与△DEM面积相等时，求点M的坐标．
【分析】（1）根据两点的纵坐标相等，连线平行x轴进行判断即可；
（2）①过点M作MN∥AC，运用平行线的判定和性质即可；
②设M（0，m），分两种情况：（i）当点M在线段OB上时，（ii）当点M在线段OB的延长线上时，分别运用三角形面积公式进行计算即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，3）、C（4，3），
∴AC∥x轴，
∵D（﹣2，﹣1）、E（2，﹣1），
∴DE∥x轴，
∴AC∥DE；
（2）①如图，∠CAM+∠MDE＝∠AMD．
理由如下：
过点M作MN∥AC，
∵MN∥AC（作图），
∴∠CAM＝∠AMN（两直线平行，内错角相等），
∵AC∥DE（已知），
∴MN∥DE（平行公理推论），
∴∠MDE＝∠NMD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CAM+∠MDE＝∠AMN+∠NMD＝∠AMD（等量代换）．
②由题意，得：AC＝7，DE＝4，
设M（0，m），
（i）当点M在线段OB上时，BM＝3﹣m，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（3﹣m）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
（ii）当点M在线段OB的延长线上时，BM＝m﹣3，FM＝m+1，
∴S△ACM＝AC•BM＝×7×（m﹣3）＝，
S△DEM＝DE•FM＝×4×（m+1）＝2m+2，
∵S△ACM＝S△DEM，
∴＝2m+2，
解得：m＝，
∴M（0，）；
综上所述，点M的坐标为（0，）或（0，）．
27．（6分）在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，点E是射线CD上一个动点（不与C，D重合），过点E作EF∥AD，交直线AC于点F．
（1）如图，当点E在线段CD上时，求证：∠DEF＝∠DCB．
（2）若点E在线段CD的延长线上，用等式表示∠DEF与∠DCB之间的数量关系是 ∠DEF+∠DCB＝180° ．
【分析】（1）由∠BAD＝∠BCD，AB∥DC，可得到，AD∥BC，再根据EF∥AD，得出EF∥BC，最后根据“两直线平行，同位角相等”得出结论；
（2）根据题意画出图形，与（1）的证明方法一样，证出EF∥BC，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得到结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠B+∠BCD＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∴AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF＝∠DCB．
（2）解：如图所示，
由（1）可知，AD∥BC，
∵EF∥AD，
∴EF∥BC，
∴∠DEF+∠DCB＝180°．
故答案为：∠DEF+∠DCB＝180°．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2）、B（1，b）．
给出如下定义：若△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，就称点C为线段AB的“伴随顶点”．
（1）若b＝5，点C是第一象限的点，则线段AB的伴随顶点C的坐标是 （5，5）或（5，2） ．
（2）若△ABC的面积等于8时，求线段AB的伴随顶点C的坐标．
【分析】（1）根据△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，点C是第一象限的点，进而可得结果；
（2）结合（1）根据△ABC的面积等于8时，可得AB＝4，则|b﹣2|＝4，b＝6或﹣2，进而可以求线段AB的伴随顶点C的坐标．
【解答】解：（1）如图，△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形，
点C是第一象限的点，
则线段AB的伴随顶点C的坐标是（4，5）或（4，2），
故答案为：（4，5）或（4，2），；
（2）∵△ABC的面积等于8，点A（1，2）、B（1，b），
∴AB＝4，则|b﹣2|＝4，
∴b＝6或﹣2，
当b＝6时，点C的坐标为：（5，6）或（﹣3，6）或（5，2）或（﹣3，2）；
当b＝﹣2时，点C的坐标为：（5，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
综上所述：点C的坐标为：（5，6）或（﹣3，6）或（5，2）或（﹣3，2）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣2）．
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