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【小升初衔接】 比和比例 2021-2022学年小升初数学暑假衔接专题
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这是一份【小升初衔接】 比和比例 2021-2022学年小升初数学暑假衔接专题，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题复习《比和比例》
一、选择题（共15小题）
1．（2020秋•深圳期末）在下面各比中，和比值相等的是
A． B． C． D．
2．（2020•吴江区模拟）如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
3．（2021•林西县模拟）的和的相等、非零），则与的比是
A． B． C．
4．（2020•四子王旗）用一块橡皮泥捏不同的圆柱体，圆柱体的底面积和高
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
5．（2020•吴江区校级模拟）若、、都是不为零的自然数，且，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
6．（2019•邵阳模拟）两个变量和，当时，和是
A．成正比例量 B．成反比例量 C．不成比例量
7．（2020•麻城市）下列各项中，两种量成反比例关系的是
A．正方形的周长和边长 B．路程一定，时间和速度
C． D．圆的半径和它的面积
8．（2020秋•襄州区期末）如果，那么
A．1 B． C． D．无法确定
9．（2020秋•宿城区期末）一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，糖与水的比是
A． B． C． D．无法比较
10．（2020•四子王旗）生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简比是
A． B． C． D．
11．（2019•亳州模拟）下面4个关系式中，和成反比例关系的是
A． B．
C．、均不为零） D．
12．（2019•营山县模拟）下面两个比不能组成比例的是
A． B．
C． D．
13．（2020秋•河北期末）一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是
A．4 B．3 C．6
14．（2019•郑州模拟）如果，那么
A． B． C．
15．（2019•长沙模拟）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题）
16．（2019春•新田县期末）的前项增加8，要使比值不变，后项应增加 ．
17．（2019•芜湖模拟）在中，比的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上 ．
18．（2018春•兖州区期末）在中， ．
19．（2018•岳麓区）大小两个圆的直径之比是，那么这两个圆的周长之比是 ，面积之比是 ．
20．（2019•怀化模拟）甲乙两数的比是，乙数是60，甲数是 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2019•郑州模拟）运一批货物，运走的与剩下的比为，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？
22．（2019•防城港模拟）甲仓原来存粮是乙仓的，后来甲仓增加存粮88吨，这时乙仓与甲仓存粮吨数的比是，乙仓有存粮多少吨？
23．（2020•大同）甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是，甲、乙两根绳子原来各长多少米？
24．（2019•保定模拟）一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？（用比例解）
25．（2019•安顺）有大、小两筐苹果，大苹果与小苹果单价的比是，其重量比是．把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，单价为每千克4.4元．大、小两筐苹果原来的单价各是多少元？
26．（2021•岳麓区模拟）一列客车和一列货车同时从甲乙两站相向开出，客车与货车速度比是，客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
27．（2019春•福田区校级月考）一批零件，已经加工的个数与未加工的个数之比是，再加工150个，已加工的零件个数与未加工的零件个数之比为，则这批零件一共有多少个？
28．（2019•天津模拟）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解）
29．（2020•夏津县）农场收割小麦，前3天收割了165公顷．照这样计算，8天可以收割多少公顷？（用比例的知识解答）
30．（2019•武侯区）小明读一本书，已读和未读的页数比为，如果再读30页，则已读和未读的页数之比为，求这本书共多少页？
2021年新初一数学专题复习《比和比例》
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．（2020秋•深圳期末）在下面各比中，和比值相等的是
A． B． C． D．
【考点】65：求比值和化简比
【专题】433：比和比例；66：运算能力
【分析】先用比的前项除以比的后项，求出各个比的值，再比较即可求解．
【解答】解：
所以与比值相等的是．
故选：．
【点评】本题考查了求比值的方法：用比的前项除以比的后项即可．
2．（2020•吴江区模拟）如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
【考点】68：解比例
【专题】66：运算能力；16：压轴题
【分析】根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
【解答】解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积（为恒值），
则比例的两个内项成反比例．
故选：．
【点评】本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
3．（2021•林西县模拟）的和的相等、非零），则与的比是
A． B． C．
【答案】
【考点】比的意义；百分数的实际应用
【专题】比和比例
【分析】由题意可得：，于是逆运用比例的基本性质，即可求出它们的比，据此解答即可．
【解答】解：因为，
则；
故选：。
【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．
4．（2020•四子王旗）用一块橡皮泥捏不同的圆柱体，圆柱体的底面积和高
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
【考点】67：正比例和反比例的意义
【专题】16：压轴题
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量（体积），然后看那两个变量（圆柱体的底面积和高）是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：用同一块橡皮泥捏不同的圆柱体，体积一定．可得：
圆柱体的底面积高圆柱体的体积（一定）
可以看出，圆柱体的底面积和高是两种相关联的量，圆柱体的底面积随高的变化而变化，圆柱体的体积一定，
也就是圆柱体的底面积和高的乘积一定，所以圆柱体的底面积和高成反比例关系．
故选：．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
5．（2020•吴江区校级模拟）若、、都是不为零的自然数，且，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】比例的应用
【分析】因为此题有3个未知量，根据现有的条件，不能直接求出，可让这个等式等于一个数（用字母表示），用这个数（字母）分别表示出三个未知量即可．
【解答】解：设，则
，
，
，
因为，
所以．
故选：。
【点评】此题采用了赋值法，可以化难为易，这种方法在解决数学问题时经常用到．
6．（2019•邵阳模拟）两个变量和，当时，和是
A．成正比例量 B．成反比例量 C．不成比例量
【考点】67：正比例和反比例的意义
【专题】62：符号意识；67：推理能力
【分析】根据正反比例的意义，分析与之间的数量关系，找出一定的量，然后看与两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：（一定），
可以看出，和是两种相关联的量，随的变化而变化，
45是一定的，也就是与相对应数的乘积一定，所以与成反比例关系．
故选：．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
7．（2020•麻城市）下列各项中，两种量成反比例关系的是
A．正方形的周长和边长 B．路程一定，时间和速度
C． D．圆的半径和它的面积
【考点】：辨识成正比例的量与成反比例的量
【专题】63：空间观念；62：符号意识；66：运算能力
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行逐项分析再判断．
【解答】解：、正方形的周长：边长（一定），是比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例；
、时间速度路程（一定），是乘积一定，所以时间和速度成反比例；
、因为，所以（一定），是比值一定，所以和成正比例；
、圆的面积：它的半径半径（不一定），是比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成比例．
故选：．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
8．（2020秋•襄州区期末）如果，那么
A．1 B． C． D．无法确定
【考点】64：比的性质
【专题】433：比和比例；66：运算能力
【分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数除外），比的大小不变；据此解答．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
【点评】此题考查比的性质的运用．
9．（2020秋•宿城区期末）一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，糖与水的比是
A． B． C． D．无法比较
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】一杯糖水，糖与水的比是，说明含糖率为；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比仍然是．
【解答】解：一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，剩下的糖水中糖与水的比还是．
故选：．
【点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．
10．（2020•四子王旗）生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简比是
A． B． C． D．
【考点】65：求比值和化简比
【专题】69：应用意识
【分析】根据“生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，”可以分别求出两人的工作效率，由此即可求出两人的工作效率的比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】解答此题的关键是，利用工作效率，工作时间，工作量的关系，写出两人的工作效率的比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可．
11．（2019•亳州模拟）下面4个关系式中，和成反比例关系的是
A． B．
C．、均不为零） D．
【答案】
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量
【专题】运算能力；比和比例；符号意识
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：、，则，和不成比例；
、，则，（一定），则和成反比例；
、，则（一定），则和成正比例；
、、均不为零），则（一定），则和成正比例；
故选：。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
12．（2019•营山县模拟）下面两个比不能组成比例的是
A． B．
C． D．
【考点】66：比例的意义和基本性质
【专题】66：运算能力
【分析】可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积．据此逐项分析再选择．
【解答】解：、因为，所以和能组成比例；
、因为，所以和不能组成比例；
、因为，所以和能组成比例；
、因为，所以和能组成比例；
故选：．
【点评】此题考查比例性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两内项的积是否等于两外项的积．
13．（2020秋•河北期末）一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是
A．4 B．3 C．6
【考点】63：比与分数、除法的关系
【专题】433：比和比例
【分析】根据比与除法的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，再根据被除数、除数、商之间的关系，，因此，这个比的前项是6．也可设比的前项为列方程解答．
【解答】解：，
因此，．
故选：．
【点评】根据比与除法的关系及除法各部分间的关系即可解答．
14．（2019•郑州模拟）如果，那么
A． B． C．
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，并作出正确选择．
【解答】解：因为，即．
则，
故选：．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用．
15．（2019•长沙模拟）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”，说明这个圆柱的底面周长和高相等，如果用字母表示圆柱的底面直径，用表示圆柱的高，那么，再逆用比例的性质，把等式转化成比例得解．
【解答】解：根据分析，可知这个圆柱的底面周长和高相等，那么
所以．
答：这个圆柱的底面直径与高的比是．
故选：．
【点评】关键是明确如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么它的底面周长和高就一定相等，进而逆用比例的性质把等式转化成比例得解．
二、填空题（共5小题）
16．（2019春•新田县期末）的前项增加8，要使比值不变，后项应增加 18 ．
【考点】64：比的性质
【专题】433：比和比例
【分析】根据的前项增加8，可知比的前项由4变成12，相当于前项扩大了3倍；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由9变成27，也可以认为是后项加上；据此进行解答即可．
【解答】解：，比的前项4增加8就变成，就相当于扩大了倍，
若使比值不变，后项也应扩大3倍，则变成，
后项应该增加：．
故答案为：18．
【点评】解答此题的关键是：看比的前项扩大了几倍，比的后项也扩大相同的倍数除外），就能保证比值不变．
17．（2019•芜湖模拟）在中，比的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上 24 ．
【考点】64：比的性质
【分析】比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数除外），比值不变；在中，比的前项加上9，变成12，相当于比的前项乘上4，要使比值不变，比的后项也应该乘上4，变成32，就是加上24．
【解答】解：在中，比的前项加上9，由3变成12，相当于比的前项乘上4，
要使比值不变，比的后项也应该乘上4，由8变成32，也就是比的后项应加上24．
故答案为：24．
【点评】此题考查比的性质的运用：只有当比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数除外），比值才不变．
18．（2018春•兖州区期末）在中， ．
【考点】68：解比例
【分析】本题按照比例的基本性质两内项之积等于两外项之积来求解．
【解答】解：
解：
；
故答案为：．
【点评】解比例使用比例的基本性质来求解．
19．（2018•岳麓区）大小两个圆的直径之比是，那么这两个圆的周长之比是 ，面积之比是 ．
【考点】：圆、圆环的面积；：圆、圆环的周长；61：比的意义
【专题】433：比和比例；461：平面图形的认识与计算
【分析】设大圆的直径为，则小圆的直径为，分别代入圆的周长和面积公式，表示出各自的周长和面积，即可求解．
【解答】解：设大圆的直径为，则小圆的直径为，
大圆的周长，
小圆的周长，
；
小圆的面积，
大圆的面积，
；
故答案为：，．
【点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用．
20．（2019•怀化模拟）甲乙两数的比是，乙数是60，甲数是 100 ．
【考点】比例的应用
【分析】依据比例的性质即可求解．
【解答】解：设甲数为，
则，
，
．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查比例的基本性质．
三、解答题（共10小题）
21．（2019•郑州模拟）运一批货物，运走的与剩下的比为，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？
【考点】：比的应用
【专题】12：应用题；433：比和比例
【分析】本题货物的总吨数不变，所以把总吨数看作单位“1”，根据“运走的与剩下的比为，”可得：这时剩下的吨数占总吨数，那么再运走的30吨对应的分率是：，然后根据分数除法的意义用30除以这个分率即可得出这批货物原有多少吨．
【解答】解：
（吨
答：这批货物原有100吨．
【点评】这种类型的应用题一般情况下要把不变的量看作单位“1”，有时要把“和”看作单位“1”，有时要把“差”看作单位“1”（如年龄问题），这样便于统一单位“1”，进而找到数量对应的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式计算．
22．（2019•防城港模拟）甲仓原来存粮是乙仓的，后来甲仓增加存粮88吨，这时乙仓与甲仓存粮吨数的比是，乙仓有存粮多少吨？
【考点】比的应用
【专题】压轴题
【分析】甲仓增加存粮后，乙仓与甲仓存粮比为，即甲仓是乙仓的，甲仓原来存粮是乙仓的，即增加了，由此可求出乙仓存粮为：吨．
【解答】解：
（吨
答：乙仓有存粮240吨．
【点评】完成本题要先根据它们先后存粮的比求出增加的吨数占乙仓的多少．
23．（2020•大同）甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是，甲、乙两根绳子原来各长多少米？
【考点】比的应用
【专题】比和比例应用题
【分析】已知甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后还剩，乙绳和甲绳的长度比是，即甲的占乙的，由此可得乙原来是甲的，即乙甲原来的长度比是，这样就能分别求甲乙原来长多少米．
【解答】解：，即乙甲原来的长度比是；
乙原来长：
（米；
甲原来长：
（米．
答：甲绳原长10米，乙绳原长12米．
【点评】本题的关键是通过甲绳截去后甲乙长度的比求出它们原来的比是多少．
24．（2019•保定模拟）一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？（用比例解）
【考点】69：比例的应用
【分析】根据题意知道，速度一定，路程和时间成正比例，由此列式解答即可．
【解答】解：设甲乙两城共千米．
；
答：甲乙两城共525千米．
【点评】解答此题的关键是弄清题意，再根据速度，路程，时间三者的关系，判断哪两种量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．
25．（2019•安顺）有大、小两筐苹果，大苹果与小苹果单价的比是，其重量比是．把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，单价为每千克4.4元．大、小两筐苹果原来的单价各是多少元？
【考点】：比的应用
【分析】根据“大、小两筐苹果的重量比是，”知道大小两筐苹果的重量各占总重量的几分之几，再由两筐苹果混合在一起是100千克，可以求出混合后的大、小苹果的重量；再由“大苹果与小苹果单价的比是，”及混合后的单价是每千克4.4元，即可求出大、小两筐苹果原来的单价．
【解答】解：大苹果的重量是：（千克），
小苹果的重量是：（千克），
混合苹果的总价是：（元，
1千克大苹果的售价相当于几千克小苹果的售价（千克），
小苹果的单价是：（元，
大苹果的单价是：（元，
答：大苹果的单价是5元，小苹果的单价是4元．
【点评】解答此题的关键是，将比转化成分率，找出对应量，再根据基本的数量关系解决问题．
26．（2021•岳麓区模拟）一列客车和一列货车同时从甲乙两站相向开出，客车与货车速度比是，客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
【考点】比例的应用
【专题】压轴题
【分析】甲乙两站的路程一定，也就是速度与时间的乘积一定，时间与速度成反比例关系．把客车与货车速度分别看成3和2．设货车行驶小时到达，可得方程，解方程即可．
【解答】解：设货车行驶小时到达．
答：货车行驶9小时到达．
【点评】此题重点考查比例的应用．
27．（2019春•福田区校级月考）一批零件，已经加工的个数与未加工的个数之比是，再加工150个，已加工的零件个数与未加工的零件个数之比为，则这批零件一共有多少个？
【考点】比的应用
【专题】比和比例应用题
【分析】总数不变，原来已加工的占总数的；再加工150个，就占总数的；要求总数用150除以两个比的差，即可得解．
【解答】解：，
，
，
（个；
答：则这批零件一共有1000个．
【点评】本题关键是先通过两次已经加工的个数的比求出各占总数的几分之几．两次的个数差与占总数的比例差一一对应．
28．（2019•天津模拟）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解）
【考点】比例的应用
【分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答即可．
【解答】解：实际天可修完．
；
答：实际15天可修完．
【点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，列式解答即可．
29．（2020•夏津县）农场收割小麦，前3天收割了165公顷．照这样计算，8天可以收割多少公顷？（用比例的知识解答）
【考点】69：比例的应用
【专题】16：压轴题
【分析】根据每天收割小麦的公顷数一定，即工作效率一定，可以知道工作时间和工作量成正比例，由此列式解答即可．
【解答】解：设8天可以收割公顷，
，
，
，
答：8天可以收割440公顷．
【点评】解答此题的关键是根据题意，先判断哪两种相关联量成何比例，然后列式解答即可．
30．（2019•武侯区）小明读一本书，已读和未读的页数比为，如果再读30页，则已读和未读的页数之比为，求这本书共多少页？
【考点】：比的应用
【专题】：比和比例应用题
【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已经读了这本书页数的，再读30页，就是这本书页数的，即30页所占的分率是与之差，根据分数除法的意义，用30页除以是就是这本书的总页数．
【解答】解：
（页
答：这本书共144页．
【点评】解答此题的关键是把比转化成分数，再根据分数除法的意义解答．
考点卡片
1．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
2．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（ ）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．
例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2甲、乙、丙三数的关系是（ ）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
3．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
4．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
5．比例的意义和基本性质
【知识点归纳】
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16
【命题方向】
常考题型：
例1：下面能与：组成比例的是（ ）
A、3：4 B、4：3 C、：
分析：根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出：的比值，然后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与：的比值相等，就是能与：组成比例的比，据此解答．
解：：＝，
A、3：4＝，
B、4：3＝，
C、：＝，
所以能与：组成比例的比是4：3；
故选：B．
点评：本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例．
例2：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A、8 B、12 C、24 D、36
分析：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解：比例3：4＝9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，
则两内项的积：12×9＝108，
两外项的积也得是108，
第二个比的后项应是：108÷3＝36，
第二个比的后项应加上：36﹣12＝24；
故选：C．
点评：此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
6．正比例和反比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）．
【命题方向】
常考题型：
例1：y﹣x＝0，y与x（ ）
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定
分析：根据等式的性质，在y﹣x＝0的左右两边同时加上x，可变成y＝x，再根据等式的性质，在等式y＝x的左右两边同时除以x，可化成（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以y与x成正比例．
解：y﹣x＝0，可知y＝x，那么 （一定），
是比值一定，符合正比例的意义，所以y与x成正比例．
故选：A．
点评：此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断．
例2：长方形的面积一定，长和宽（ ）
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
分析：根据正比例的意义x：y＝k（一定）和反比例的意义xy＝k（一定），因为长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义．
解：根据长方形的面积公式，长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义xy＝k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例．
故选：B．
点评：此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式．
7．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
【命题方向】
常考题型：
例：下列x和y成反比例关系的是（ ）
A、y＝3+x B、x+y＝ C、x＝y D、y＝
分析：判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择．
解：A、因为y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例；
B、因为x+y＝（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例；
C、因为x＝，所以x÷y＝（一定），是比值一定，x和y成正比例；
D、因为y＝所以xy＝1，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：D．
点评：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
8．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项＝
（2）求未知内项＝
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是，其中的一个内项是4，另一个内项是 ．
分析：分析“两个外项的积是，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：÷4＝×＝
故答案为：．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
9．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
【命题方向】
常考题型：
例：从甲地到乙地，客车和货车所用的时间比是4：5，那么它们的速度之比是（ ）
A、5：4 B、： C、4：5
分析：路程一定，速度与时间成反比例，所以甲乙的速度比正好与他们的时间比相反，据此选出即可．
解：甲地到乙地的路程一定，速度与时间成反比例，
客车和货车所用的时间比是4：5，
则客车和货车的速度比是5：4．
故选：A．
点评：路程一定时，用的时间越少，速度就越快，它们成反比例．
10．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
11．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
12．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
专题复习《比和比例》
一、选择题（共15小题）
1．（2020秋•深圳期末）在下面各比中，和比值相等的是
A． B． C． D．
2．（2020•吴江区模拟）如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
3．（2021•林西县模拟）的和的相等、非零），则与的比是
A． B． C．
4．（2020•四子王旗）用一块橡皮泥捏不同的圆柱体，圆柱体的底面积和高
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
5．（2020•吴江区校级模拟）若、、都是不为零的自然数，且，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
6．（2019•邵阳模拟）两个变量和，当时，和是
A．成正比例量 B．成反比例量 C．不成比例量
7．（2020•麻城市）下列各项中，两种量成反比例关系的是
A．正方形的周长和边长 B．路程一定，时间和速度
C． D．圆的半径和它的面积
8．（2020秋•襄州区期末）如果，那么
A．1 B． C． D．无法确定
9．（2020秋•宿城区期末）一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，糖与水的比是
A． B． C． D．无法比较
10．（2020•四子王旗）生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简比是
A． B． C． D．
11．（2019•亳州模拟）下面4个关系式中，和成反比例关系的是
A． B．
C．、均不为零） D．
12．（2019•营山县模拟）下面两个比不能组成比例的是
A． B．
C． D．
13．（2020秋•河北期末）一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是
A．4 B．3 C．6
14．（2019•郑州模拟）如果，那么
A． B． C．
15．（2019•长沙模拟）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题）
16．（2019春•新田县期末）的前项增加8，要使比值不变，后项应增加 ．
17．（2019•芜湖模拟）在中，比的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上 ．
18．（2018春•兖州区期末）在中， ．
19．（2018•岳麓区）大小两个圆的直径之比是，那么这两个圆的周长之比是 ，面积之比是 ．
20．（2019•怀化模拟）甲乙两数的比是，乙数是60，甲数是 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2019•郑州模拟）运一批货物，运走的与剩下的比为，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？
22．（2019•防城港模拟）甲仓原来存粮是乙仓的，后来甲仓增加存粮88吨，这时乙仓与甲仓存粮吨数的比是，乙仓有存粮多少吨？
23．（2020•大同）甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是，甲、乙两根绳子原来各长多少米？
24．（2019•保定模拟）一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？（用比例解）
25．（2019•安顺）有大、小两筐苹果，大苹果与小苹果单价的比是，其重量比是．把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，单价为每千克4.4元．大、小两筐苹果原来的单价各是多少元？
26．（2021•岳麓区模拟）一列客车和一列货车同时从甲乙两站相向开出，客车与货车速度比是，客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
27．（2019春•福田区校级月考）一批零件，已经加工的个数与未加工的个数之比是，再加工150个，已加工的零件个数与未加工的零件个数之比为，则这批零件一共有多少个？
28．（2019•天津模拟）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解）
29．（2020•夏津县）农场收割小麦，前3天收割了165公顷．照这样计算，8天可以收割多少公顷？（用比例的知识解答）
30．（2019•武侯区）小明读一本书，已读和未读的页数比为，如果再读30页，则已读和未读的页数之比为，求这本书共多少页？
2021年新初一数学专题复习《比和比例》
参考答案与试题解析
一、选择题（共15小题）
1．（2020秋•深圳期末）在下面各比中，和比值相等的是
A． B． C． D．
【考点】65：求比值和化简比
【专题】433：比和比例；66：运算能力
【分析】先用比的前项除以比的后项，求出各个比的值，再比较即可求解．
【解答】解：
所以与比值相等的是．
故选：．
【点评】本题考查了求比值的方法：用比的前项除以比的后项即可．
2．（2020•吴江区模拟）如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项
A．成反比例 B．成正比例 C．不成比例
【考点】68：解比例
【专题】66：运算能力；16：压轴题
【分析】根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
【解答】解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积（为恒值），
则比例的两个内项成反比例．
故选：．
【点评】本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
3．（2021•林西县模拟）的和的相等、非零），则与的比是
A． B． C．
【答案】
【考点】比的意义；百分数的实际应用
【专题】比和比例
【分析】由题意可得：，于是逆运用比例的基本性质，即可求出它们的比，据此解答即可．
【解答】解：因为，
则；
故选：。
【点评】此题主要考查比例的基本性质的灵活应用．
4．（2020•四子王旗）用一块橡皮泥捏不同的圆柱体，圆柱体的底面积和高
A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例
【考点】67：正比例和反比例的意义
【专题】16：压轴题
【分析】根据正反比例的意义，分析数量关系，找出一定的量（体积），然后看那两个变量（圆柱体的底面积和高）是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：用同一块橡皮泥捏不同的圆柱体，体积一定．可得：
圆柱体的底面积高圆柱体的体积（一定）
可以看出，圆柱体的底面积和高是两种相关联的量，圆柱体的底面积随高的变化而变化，圆柱体的体积一定，
也就是圆柱体的底面积和高的乘积一定，所以圆柱体的底面积和高成反比例关系．
故选：．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
5．（2020•吴江区校级模拟）若、、都是不为零的自然数，且，则它们的大小关系是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】比例的应用
【分析】因为此题有3个未知量，根据现有的条件，不能直接求出，可让这个等式等于一个数（用字母表示），用这个数（字母）分别表示出三个未知量即可．
【解答】解：设，则
，
，
，
因为，
所以．
故选：。
【点评】此题采用了赋值法，可以化难为易，这种方法在解决数学问题时经常用到．
6．（2019•邵阳模拟）两个变量和，当时，和是
A．成正比例量 B．成反比例量 C．不成比例量
【考点】67：正比例和反比例的意义
【专题】62：符号意识；67：推理能力
【分析】根据正反比例的意义，分析与之间的数量关系，找出一定的量，然后看与两个变量是比值一定还是乘积一定，从而判定成什么比例关系．
【解答】解：（一定），
可以看出，和是两种相关联的量，随的变化而变化，
45是一定的，也就是与相对应数的乘积一定，所以与成反比例关系．
故选：．
【点评】此题重点考查正比例和反比例的意义．
7．（2020•麻城市）下列各项中，两种量成反比例关系的是
A．正方形的周长和边长 B．路程一定，时间和速度
C． D．圆的半径和它的面积
【考点】：辨识成正比例的量与成反比例的量
【专题】63：空间观念；62：符号意识；66：运算能力
【分析】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行逐项分析再判断．
【解答】解：、正方形的周长：边长（一定），是比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例；
、时间速度路程（一定），是乘积一定，所以时间和速度成反比例；
、因为，所以（一定），是比值一定，所以和成正比例；
、圆的面积：它的半径半径（不一定），是比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成比例．
故选：．
【点评】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
8．（2020秋•襄州区期末）如果，那么
A．1 B． C． D．无法确定
【考点】64：比的性质
【专题】433：比和比例；66：运算能力
【分析】比的性质是指比的前项和后项同时乘或除以相同的数除外），比的大小不变；据此解答．
【解答】解：因为，
所以．
故选：．
【点评】此题考查比的性质的运用．
9．（2020秋•宿城区期末）一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，糖与水的比是
A． B． C． D．无法比较
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】一杯糖水，糖与水的比是，说明含糖率为；喝掉一半后，剩下的糖水中的含糖率不变，也就是糖与水的比仍然是．
【解答】解：一杯糖水，糖与水的比是，喝掉一半后，剩下的糖水中糖与水的比还是．
故选：．
【点评】解决此题关键是理解整杯糖水和半杯糖水的含糖率不变，也就是糖与水的比不变．
10．（2020•四子王旗）生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，小李和小张的工效简比是
A． B． C． D．
【考点】65：求比值和化简比
【专题】69：应用意识
【分析】根据“生产同样多的零件，小张用4小时，小李用了6小时，”可以分别求出两人的工作效率，由此即可求出两人的工作效率的比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
【点评】解答此题的关键是，利用工作效率，工作时间，工作量的关系，写出两人的工作效率的比，再根据比的基本性质化成最简整数比即可．
11．（2019•亳州模拟）下面4个关系式中，和成反比例关系的是
A． B．
C．、均不为零） D．
【答案】
【考点】辨识成正比例的量与成反比例的量
【专题】运算能力；比和比例；符号意识
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【解答】解：、，则，和不成比例；
、，则，（一定），则和成反比例；
、，则（一定），则和成正比例；
、、均不为零），则（一定），则和成正比例；
故选：。
【点评】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
12．（2019•营山县模拟）下面两个比不能组成比例的是
A． B．
C． D．
【考点】66：比例的意义和基本性质
【专题】66：运算能力
【分析】可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积．据此逐项分析再选择．
【解答】解：、因为，所以和能组成比例；
、因为，所以和不能组成比例；
、因为，所以和能组成比例；
、因为，所以和能组成比例；
故选：．
【点评】此题考查比例性质的运用：验证两个比能否组成比例，就看两内项的积是否等于两外项的积．
13．（2020秋•河北期末）一个比的后项是8，比值是，这个比的前项是
A．4 B．3 C．6
【考点】63：比与分数、除法的关系
【专题】433：比和比例
【分析】根据比与除法的关系，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商，再根据被除数、除数、商之间的关系，，因此，这个比的前项是6．也可设比的前项为列方程解答．
【解答】解：，
因此，．
故选：．
【点评】根据比与除法的关系及除法各部分间的关系即可解答．
14．（2019•郑州模拟）如果，那么
A． B． C．
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可写出这个比例式，并作出正确选择．
【解答】解：因为，即．
则，
故选：．
【点评】此题主要考查比例的基本性质的逆运用．
15．（2019•长沙模拟）一个圆柱的侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径与高的比是
A． B． C． D．
【考点】61：比的意义
【专题】433：比和比例
【分析】“一个圆柱的侧面展开是一个正方形”，说明这个圆柱的底面周长和高相等，如果用字母表示圆柱的底面直径，用表示圆柱的高，那么，再逆用比例的性质，把等式转化成比例得解．
【解答】解：根据分析，可知这个圆柱的底面周长和高相等，那么
所以．
答：这个圆柱的底面直径与高的比是．
故选：．
【点评】关键是明确如果圆柱的侧面展开是一个正方形，那么它的底面周长和高就一定相等，进而逆用比例的性质把等式转化成比例得解．
二、填空题（共5小题）
16．（2019春•新田县期末）的前项增加8，要使比值不变，后项应增加 18 ．
【考点】64：比的性质
【专题】433：比和比例
【分析】根据的前项增加8，可知比的前项由4变成12，相当于前项扩大了3倍；根据比的性质，要使比值不变，后项也应该乘3，由9变成27，也可以认为是后项加上；据此进行解答即可．
【解答】解：，比的前项4增加8就变成，就相当于扩大了倍，
若使比值不变，后项也应扩大3倍，则变成，
后项应该增加：．
故答案为：18．
【点评】解答此题的关键是：看比的前项扩大了几倍，比的后项也扩大相同的倍数除外），就能保证比值不变．
17．（2019•芜湖模拟）在中，比的前项加上9，要使比值不变，比的后项应加上 24 ．
【考点】64：比的性质
【分析】比的性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数除外），比值不变；在中，比的前项加上9，变成12，相当于比的前项乘上4，要使比值不变，比的后项也应该乘上4，变成32，就是加上24．
【解答】解：在中，比的前项加上9，由3变成12，相当于比的前项乘上4，
要使比值不变，比的后项也应该乘上4，由8变成32，也就是比的后项应加上24．
故答案为：24．
【点评】此题考查比的性质的运用：只有当比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数除外），比值才不变．
18．（2018春•兖州区期末）在中， ．
【考点】68：解比例
【分析】本题按照比例的基本性质两内项之积等于两外项之积来求解．
【解答】解：
解：
；
故答案为：．
【点评】解比例使用比例的基本性质来求解．
19．（2018•岳麓区）大小两个圆的直径之比是，那么这两个圆的周长之比是 ，面积之比是 ．
【考点】：圆、圆环的面积；：圆、圆环的周长；61：比的意义
【专题】433：比和比例；461：平面图形的认识与计算
【分析】设大圆的直径为，则小圆的直径为，分别代入圆的周长和面积公式，表示出各自的周长和面积，即可求解．
【解答】解：设大圆的直径为，则小圆的直径为，
大圆的周长，
小圆的周长，
；
小圆的面积，
大圆的面积，
；
故答案为：，．
【点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用．
20．（2019•怀化模拟）甲乙两数的比是，乙数是60，甲数是 100 ．
【考点】比例的应用
【分析】依据比例的性质即可求解．
【解答】解：设甲数为，
则，
，
．
故答案为：100．
【点评】此题主要考查比例的基本性质．
三、解答题（共10小题）
21．（2019•郑州模拟）运一批货物，运走的与剩下的比为，如果再运走30吨，那么剩下的货物只占原有货物的，这批货物原有多少吨？
【考点】：比的应用
【专题】12：应用题；433：比和比例
【分析】本题货物的总吨数不变，所以把总吨数看作单位“1”，根据“运走的与剩下的比为，”可得：这时剩下的吨数占总吨数，那么再运走的30吨对应的分率是：，然后根据分数除法的意义用30除以这个分率即可得出这批货物原有多少吨．
【解答】解：
（吨
答：这批货物原有100吨．
【点评】这种类型的应用题一般情况下要把不变的量看作单位“1”，有时要把“和”看作单位“1”，有时要把“差”看作单位“1”（如年龄问题），这样便于统一单位“1”，进而找到数量对应的分率，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法列式计算．
22．（2019•防城港模拟）甲仓原来存粮是乙仓的，后来甲仓增加存粮88吨，这时乙仓与甲仓存粮吨数的比是，乙仓有存粮多少吨？
【考点】比的应用
【专题】压轴题
【分析】甲仓增加存粮后，乙仓与甲仓存粮比为，即甲仓是乙仓的，甲仓原来存粮是乙仓的，即增加了，由此可求出乙仓存粮为：吨．
【解答】解：
（吨
答：乙仓有存粮240吨．
【点评】完成本题要先根据它们先后存粮的比求出增加的吨数占乙仓的多少．
23．（2020•大同）甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后，乙绳和甲绳的长度比是，甲、乙两根绳子原来各长多少米？
【考点】比的应用
【专题】比和比例应用题
【分析】已知甲、乙两根绳子共长22米，甲绳截去后还剩，乙绳和甲绳的长度比是，即甲的占乙的，由此可得乙原来是甲的，即乙甲原来的长度比是，这样就能分别求甲乙原来长多少米．
【解答】解：，即乙甲原来的长度比是；
乙原来长：
（米；
甲原来长：
（米．
答：甲绳原长10米，乙绳原长12米．
【点评】本题的关键是通过甲绳截去后甲乙长度的比求出它们原来的比是多少．
24．（2019•保定模拟）一列火车从甲城开往乙城，前3小时行驶210千米，照这样计算，再行4.5小时就可以到达乙城，甲乙两城共多少千米？（用比例解）
【考点】69：比例的应用
【分析】根据题意知道，速度一定，路程和时间成正比例，由此列式解答即可．
【解答】解：设甲乙两城共千米．
；
答：甲乙两城共525千米．
【点评】解答此题的关键是弄清题意，再根据速度，路程，时间三者的关系，判断哪两种量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可．
25．（2019•安顺）有大、小两筐苹果，大苹果与小苹果单价的比是，其重量比是．把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果，单价为每千克4.4元．大、小两筐苹果原来的单价各是多少元？
【考点】：比的应用
【分析】根据“大、小两筐苹果的重量比是，”知道大小两筐苹果的重量各占总重量的几分之几，再由两筐苹果混合在一起是100千克，可以求出混合后的大、小苹果的重量；再由“大苹果与小苹果单价的比是，”及混合后的单价是每千克4.4元，即可求出大、小两筐苹果原来的单价．
【解答】解：大苹果的重量是：（千克），
小苹果的重量是：（千克），
混合苹果的总价是：（元，
1千克大苹果的售价相当于几千克小苹果的售价（千克），
小苹果的单价是：（元，
大苹果的单价是：（元，
答：大苹果的单价是5元，小苹果的单价是4元．
【点评】解答此题的关键是，将比转化成分率，找出对应量，再根据基本的数量关系解决问题．
26．（2021•岳麓区模拟）一列客车和一列货车同时从甲乙两站相向开出，客车与货车速度比是，客车行驶6小时到达乙站，货车行驶多少小时到达甲站？
【考点】比例的应用
【专题】压轴题
【分析】甲乙两站的路程一定，也就是速度与时间的乘积一定，时间与速度成反比例关系．把客车与货车速度分别看成3和2．设货车行驶小时到达，可得方程，解方程即可．
【解答】解：设货车行驶小时到达．
答：货车行驶9小时到达．
【点评】此题重点考查比例的应用．
27．（2019春•福田区校级月考）一批零件，已经加工的个数与未加工的个数之比是，再加工150个，已加工的零件个数与未加工的零件个数之比为，则这批零件一共有多少个？
【考点】比的应用
【专题】比和比例应用题
【分析】总数不变，原来已加工的占总数的；再加工150个，就占总数的；要求总数用150除以两个比的差，即可得解．
【解答】解：，
，
，
（个；
答：则这批零件一共有1000个．
【点评】本题关键是先通过两次已经加工的个数的比求出各占总数的几分之几．两次的个数差与占总数的比例差一一对应．
28．（2019•天津模拟）工程队修一条公路，计划每天4.5千米，20天完成，实际每天修6千米，实际几天可修完？（用比例解）
【考点】比例的应用
【分析】根据题意知道，总工作量一定，工作时间和工作效率成反比例，由此列式解答即可．
【解答】解：实际天可修完．
；
答：实际15天可修完．
【点评】解答此题的关键是，弄清题意，根据工作效率，工作时间和工作量三者的关系，列式解答即可．
29．（2020•夏津县）农场收割小麦，前3天收割了165公顷．照这样计算，8天可以收割多少公顷？（用比例的知识解答）
【考点】69：比例的应用
【专题】16：压轴题
【分析】根据每天收割小麦的公顷数一定，即工作效率一定，可以知道工作时间和工作量成正比例，由此列式解答即可．
【解答】解：设8天可以收割公顷，
，
，
，
答：8天可以收割440公顷．
【点评】解答此题的关键是根据题意，先判断哪两种相关联量成何比例，然后列式解答即可．
30．（2019•武侯区）小明读一本书，已读和未读的页数比为，如果再读30页，则已读和未读的页数之比为，求这本书共多少页？
【考点】：比的应用
【专题】：比和比例应用题
【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，已经读了这本书页数的，再读30页，就是这本书页数的，即30页所占的分率是与之差，根据分数除法的意义，用30页除以是就是这本书的总页数．
【解答】解：
（页
答：这本书共144页．
【点评】解答此题的关键是把比转化成分数，再根据分数除法的意义解答．
考点卡片
1．比的意义
【知识点归纳】
两个数相除，也叫两个数的比．
【命题方向】
常考题型：
例1：男生人数比女生人数多，男生人数与女生人数的比是（ ）
A、1：4 B、5：7 C、5：4 D、4：5
分析：男生人数比女生人数多，把女生人数看作单位“1”，则男生人数是女生人数的（1+），由此即可求出男生与女生的人数的比，据此选择即可．
解：（1+）：1，
＝：1，
＝5：4；
故选：C．
点评：解答本题关键是：判断出单位“1”，求出男生人数是女生人数的几分之几，进而根据比的意义解答即可．
例1：甲数是乙数的，乙数是丙数的，甲、乙、丙三数的比是（ ）
A、4：5：8 B、4：5：6 C、8：12：15 D、12：8：15
分析：根据题干分析可得，设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，由此即可写出甲乙丙三个数的比是2x：3x：x，根据比的性质，即可得出最简比．
解：设甲数是2x，乙数是3x，则丙数就是3x÷＝x，
所以甲乙丙三个数的比是2x：3x：x＝8：12：15，
故选：C．
点评：此题考查比的意义，关键是根据甲乙丙的关系，分别用含有x的式子表示出这三个数，再利用比的性质化简比．
2．比的性质
【知识点归纳】
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项应（ ）
A、缩小4倍 B、扩大4倍 C、不变
分析：根据比的基本性质，比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变，由此做出选择．
解：一个比的前项扩大4倍，要使比值不变，后项也应扩大4倍．
故选：B．
点评：此题考查比的基本性质的运用，熟记性质，灵活运用．
例2：甲：乙＝3：4，乙：丙＝3：2甲、乙、丙三数的关系是（ ）
A、甲＞乙＞丙 B、丙＞乙＞甲 C、乙＞甲＞丙 D、甲＝乙＝丙
分析：根据比的基本性质，写出甲乙丙连比，即可知答案．
解：甲：乙＝3：4＝9：12
乙：丙＝3：2＝12：8
甲：乙：丙＝9：12：8
故选：C．
点评：此题主要考查比的基本性质．
3．求比值和化简比
【知识点归纳】
1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．
2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．
（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．
（2）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．
（3）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．
【命题方向】
常考题型：
例：甲数除以乙数的商是3.2，乙数与甲数的最简整数比是（ ）
A、16：5 B、5：16 C、3：2 D、2：3
分析：根据甲数除以乙数的商是3.2，可以认为乙数是1份的数，甲数是3.2份的数，进一步写出比并化简比．
解：乙数：甲数＝1：3.2＝10：32＝5：16．
故选：B．
点评：解决此题关键是根据题意先写出比，再进一步化简比．
4．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．
【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（ ）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．
例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（ ）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1÷＝，乙用的时间为÷1＝；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1÷＝，
乙用的时间为：÷1＝，
甲乙用的时间比：：＝（×24）：（×24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
5．比例的意义和基本性质
【知识点归纳】
比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例．
组成比例的四个数，叫做比例的项．
组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项．
比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质．
如：4：5＝16：20⇔4×20＝5×16
【命题方向】
常考题型：
例1：下面能与：组成比例的是（ ）
A、3：4 B、4：3 C、：
分析：根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例．所以先求出：的比值，然后求出各答案中的比的比值，哪个比的比值与：的比值相等，就是能与：组成比例的比，据此解答．
解：：＝，
A、3：4＝，
B、4：3＝，
C、：＝，
所以能与：组成比例的比是4：3；
故选：B．
点评：本题主要考查比例的意义，注意判断能否组成比例可以用求比值的方法，求出比值，比值相等两个比就能组成比例．
例2：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，要使比例仍然成立，则第二个比的后项应加上（ ）
A、8 B、12 C、24 D、36
分析：在比例3：4＝9：12中，若第一个比的后项加上8，由4变成12，这样两内项的积就成了108，根据比例的性质，两外项的积也得是108，再用108除以前一个比的前项3即得后一个比的后项，进而求出第二个比的后项应加上几即可．
解：比例3：4＝9：12中，第一个比的后项加上8，由4变成12，
则两内项的积：12×9＝108，
两外项的积也得是108，
第二个比的后项应是：108÷3＝36，
第二个比的后项应加上：36﹣12＝24；
故选：C．
点评：此题主要考查比例的基本性质：在比例里，两内项的积等于两外项的积．
6．正比例和反比例的意义
【知识点归纳】
1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用式子表示为：＝k（一定）．
2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积（一定），反比例的关系可以表示为：xy＝k（一定）．
【命题方向】
常考题型：
例1：y﹣x＝0，y与x（ ）
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 D、无法确定
分析：根据等式的性质，在y﹣x＝0的左右两边同时加上x，可变成y＝x，再根据等式的性质，在等式y＝x的左右两边同时除以x，可化成（一定），是相关联的两个量对应的比值一定，所以y与x成正比例．
解：y﹣x＝0，可知y＝x，那么 （一定），
是比值一定，符合正比例的意义，所以y与x成正比例．
故选：A．
点评：此题属于辨识两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断．
例2：长方形的面积一定，长和宽（ ）
A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例
分析：根据正比例的意义x：y＝k（一定）和反比例的意义xy＝k（一定），因为长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义．
解：根据长方形的面积公式，长×宽＝长方形的面积（一定），符合反比例的意义xy＝k（一定），所以长方形的面积一定，长和宽成反比例．
故选：B．
点评：此题主要考查正、反比例的意义，以及长方形的面积公式．
7．辨识成正比例的量与成反比例的量
【知识点归纳】
1．成正比例的量：
（1）“变化方向”相同，一种量扩大或缩小，另一种量也扩大或缩小．
（2）相对应的两个数的比值（商）一定．
（3）关系式：＝k（一定）．
2．成反比例的量：
（1）“变化方向”相反，一种量扩大或缩小，另一种量反而缩小或扩大．
（2）相对应的两个数的乘积一定．
（3）关系式：xy＝k（一定）．
3．判断方法：关键是看着两种相关量中相对应的两个数是商一定还是积一定，如果商一定，就成正比例；如果积一定，就成反比例．
【命题方向】
常考题型：
例：下列x和y成反比例关系的是（ ）
A、y＝3+x B、x+y＝ C、x＝y D、y＝
分析：判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此进行判断并选择．
解：A、因为y＝3+x，所以y﹣x＝3（一定），是x和y的差一定，x和y不成比例；
B、因为x+y＝（一定），是x和y的和一定，x和y不成比例；
C、因为x＝，所以x÷y＝（一定），是比值一定，x和y成正比例；
D、因为y＝所以xy＝1，是乘积一定，x和y成反比例；
故选：D．
点评：此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出选择．
8．解比例
【知识点归纳】
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项．求比例中的未知项，叫做解比例．
一般来说，求比例的未知项有以下两种情况：
（1）求未知外项＝
（2）求未知内项＝
【命题方向】
常考题型：
例1：在比例中，两个外项的积是，其中的一个内项是4，另一个内项是 ．
分析：分析“两个外项的积是，其中的一个内项是4”这两个条件，根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，用两个外项的积除以其中的一个内项，算出另一个内项是多少．
解：÷4＝×＝
故答案为：．
点评：这道题重点考查学生对于比例的基本性质的应用．
例2：如果比例的两个外项互为倒数，那么比例的两个内项（ ）
A、成反比例 B、成正比例 C、不成比例
分析：根据互为倒数的定义和比例的两内项之积等于两外项之积，可得比例的两个内项之积等于1，再根据成反比例的定义即可求解．
解：因为比例的两个外项互为倒数，
那么比例的两个内项之积＝1（为恒指），
则比例的两个内项成反比例．
故选：A．
点评：本题考查了倒数的定义和成反比例的条件，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定．这两种量叫做成反比例的量．它们的关系叫做反比例关系．
9．比例的应用
【知识点归纳】
根据问题中的不变量找出两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系，根据正、反比例关系式列出相应的方程并求解．
【命题方向】
常考题型：
例：从甲地到乙地，客车和货车所用的时间比是4：5，那么它们的速度之比是（ ）
A、5：4 B、： C、4：5
分析：路程一定，速度与时间成反比例，所以甲乙的速度比正好与他们的时间比相反，据此选出即可．
解：甲地到乙地的路程一定，速度与时间成反比例，
客车和货车所用的时间比是4：5，
则客车和货车的速度比是5：4．
故选：A．
点评：路程一定时，用的时间越少，速度就越快，它们成反比例．
10．百分数的实际应用
【知识点归纳】
①出勤率＝出勤人数÷总人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子数×100%
小麦的出粉率＝面粉的重量÷小麦的重量×100%
产品的合格率＝合格的产品数÷产品总数×100%
职工的出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
②纳税问题：
缴纳的税款叫应纳税款
应纳税额与各种收入的比率叫做税率
税款＝应纳税金×税率
③利息问题：
存入银行的钱叫本金；取款时，银行多支付的钱叫做利息
利息与本金的比值叫做利率
利息＝本金×利率×时间
【命题方向】
常考题型：
例1：某公司开会，有25人缺席，有100人出席，这个会议的出席率是（ ）
A、80% B、75% C、100%
分析：出席率是指出席的人数占总人数的百分之几，计算方法为：×100%＝出席率，由此列式解答即可．
解：×100%＝80%，
答：出席率是80%；
故选：A．
点评：此题属于百分率问题，计算的结果最大值为100%，都是用一部分数量（或全部数量）除以全部数量乘以百分之百．
例2：某商店同时卖出两件商品，每件各得60元，但其中一件赚20%，另一件亏本20%，这个商店卖出这两件商品是赚钱还是亏本？
分析：可以这样想，赚了20%，亏本20%是和谁比较呢？是与原价比较，因此原价是单位“1”，赚了20%就是说原价的（1+20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1+20%）＝50（元），同理亏本20%就是说原价的（1﹣20%）是60元，求原价，用除法，60÷（1﹣20%）＝75（元）．
解：[60÷（1+20%）+60÷（1﹣20%）]﹣60×2
＝[50+75]﹣120；
＝125﹣120；
＝5（元）；
答：这两件商品亏了5元．
点评：解决这个问题的关键是正确确定单位“1”，找出对应关系．
11．圆、圆环的周长
【知识点归纳】
圆的周长＝πd＝2πr，
半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；
半圆周长＝πr+2r．
圆环的周长等于两个圆的周长，即：
圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．
【命题方向】
常考题型：
例1：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的（ ）
A、直径 B、周长 C、面积
分析：车轮滚动一周，所行的路程就是这个车轮的周长，可采用化曲为直的方法进行计算．
解：车轮滚动一周所行的路程就是车轮一周的长度，即周长．
答：车轮滚动一周，所行的路程是求车轮的周长．
故选：B．
点评：此题主要考查的是利用圆的周长求车轮的所行路程．
例2：如图，一个半圆形的半径是r，它的周长是（ ）
A、2πr× B、πr+r C、（π+2）r D、πr2．
分析：根据半圆的周长公式：C＝πr+2r，可求半圆的周长．
解：πr+2r＝（π+2）r．
答：半圆的周长是（π+2）r．
故选：C．
点评：考查了半圆的周长．解题的关键是理解和掌握它们的计算公式，同时不要错误的以为半圆的周长是圆的周长的一半．
【解题思路点拨】
（1）常规题求圆的周长，先求出关键量半径，代入公式即可求得．
12．圆、圆环的面积
【知识点归纳】
圆的面积公式：
S＝πr2
圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：
S＝πr22﹣πr12＝π（r22﹣r12）
【命题方向】
常考题型：
例1：因为大圆的半径和小圆的直径相等，所以大圆面积是小圆面积的（ ）
A、2倍 B、4倍 C、 D、
分析：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，利用圆的面积公式和积的变化规律即可推理得出正确答案进行选择．
解：大圆的半径和小圆的直径相等，说明大圆的半径是小圆的半径的2倍，
圆的面积＝πr2，根据积的变化规律可得，r扩大2倍，则r2就会扩大2×2＝4倍，
所以大圆的面积是小圆的面积的4倍．
故选：B．
点评：此题考查了积的变化规律在圆的面积公式中的灵活应用，这里可以得出结论：半径扩大几倍，圆的面积就扩大几倍的平方．
例2：在图中，正方形的面积是100平方厘米，那么这个圆的面积是多少平方厘米？周长呢？
分析：看图可知：正方形的边长等于圆的半径，先利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即得出圆的半径，由此根据圆的周长和面积公式即可列式解答．
解：因为10×10＝100，
所以正方形的边长是10厘米，
所以圆的面积是：3.14×10×10＝314（平方厘米）；
周长是：3.14×10×2＝62.8（厘米），
答：这个圆的面积是314平方厘米，周长是62.8厘米．
点评：此题考查圆的周长与面积公式的计算应用，关键是结合图形，利用正方形的面积公式求出正方形的边长，即这个圆的半径．
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