2022年广东省珠海五中中考数学一模试卷（含解析）

2022年广东省珠海五中中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 防疫工作一刻都不能放松，截至年月日时，全球累计确诊感染新冠肺炎约为亿人，将数字用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由个完全相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是

A.
B.
C.
D.

4. 信息技术课上，在老师的指导下，小好同学训练打字速度字，数据整理如下：，，，，，，，，，，对于这组数据，下列说法正确的是

A. 众数是 B. 众数是 C. 中位数是 D. 中位数是

5. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 下列关于的一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是

A.  B.
C.  D.

7. 如图，，，平分，则的度数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，是的边上的中线，将线段绕点顺时针旋转后，点的对应点恰好落在边上，若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，的半径弦于点，连结并延长交于点，连结若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：
    

；；若为任意实数，则；；若，且，则其中，正确结论的个数为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）

11. 点向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标是______．
12. 函数关系式有意义，则的取值范围是______．
13. 因式分解：______．
14. 方程组的解为______．
15. 如图，在中，点、分别在边、上，，如果，，那么的长是______．
    
     

16. 如图，为的直径，，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，则劣弧的弧长是______．
    
     

17. 如图，直线为，过点作轴，与直线交于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；再作轴，交直线于点，以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点；，按此作法进行下去，则点的坐标为______

三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）

18. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，．
    作的平分线交边于点尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．
    在的条件下，若，求的度数．

20. 课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
    求证：≌；
    假设砌墙所用的每块砖块的厚度相同，请你帮小明求出的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 从年秋季开学以来，全国各地中小学都开始实行了“双减政策”为了解家长们对“双减政策”的了解情况，从某校名家长中随机抽取部分家长进行问卷调查，调查评价结果分为“了解较少”“基本了解”“了解较多”“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
    
    本次抽取家长共有______人，扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是______
    估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有多少人？
    学校计划从“了解较少”的家长中抽取位初一学生家长，位初二学生家长，位初三学生家长参加培训，若从这位家长中随机选取两人作为代表，请通过列表或画树状图的方法求所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
    求的值及一次函数的关系式；
    求的面积；
    当时，求的取值范围．

23. 戴口罩可以有效降低感染新型冠状病毒的风险．某学校在本学期开学初为九年级学生购买、两种口罩，经过市场调查，的单价比的单价少元，花费元购买口罩和花费元购买口罩的个数相等．
    求、两种口罩的单价；
    若学校需购买两种口共个，总费不超过元，求该校本次购买种口罩最少有多少个？
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在中，，为边上的一点，以为直径的交于点，交于点，过点作于点，交于点，过点的弦交于点不是直径，点为弦的中点，连结，恰好为的切线．
    求证：是的切线；
    求证：平分；
    若，，求四边形的面积．

25. 如图，抛物线，点对称轴是直线顶点为抛物线与轴交于点，连接，过点作轴于点，点是线段上的动点点不与、两点重合．
    
    求抛物线的函数解析式和顶点的坐标；
    若直线将四边形分成面积比为：的两个四边形，求点的坐标；
    如图，连接，作矩形，在点的运动过程中，是否存在点落在轴上的同时点也恰好落在抛物线上？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：的相反数等于，
故选：．
直接根据相反数的概念解答即可．
此题考查的是相反数，只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
 

2.【答案】

【解析】

解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】

解：从正面看有两层，底层是三个小正方形，上层的中间是一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 

4.【答案】

【解析】

解：以上数据重新排列为：，，，，，，，，，，
众数为、中位数为，
故选：．
根据中位数、众数的概念求解可得．
本题考查的是众数和中位数的概念；熟练掌握中位数、众数的概念是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：、，故本选项错误，不符合题意；
B、应为，故本选项错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，即可解答．
本题考查了完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，解决本题的关键是熟记完全平方公式、幂的乘方、同底数幂的除法以及合并同类项的法则．
 

6.【答案】

【解析】

解：此方程的，方程没有实数根，不符合题意；
B.此方程的，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C.此方程的，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D.此方程的，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：．
计算出各选项中方程的判别式的值，从而得出答案．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
当时，方程有两个不相等的实数根；
当时，方程有两个相等的实数根；
当时，方程无实数根．
 

7.【答案】

【解析】

解：，，
，，
平分，
，
．
故选：．
由平行线的性质得，再由角平分线得，再次利用平行线的性质可得．
本题主要考查平行线的性质，角的平分线，解答的关键是熟记并运用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
 

8.【答案】

【解析】

解：如图，连接，

是的边上的中线，
，
将线段绕点顺时针旋转，
，，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，由旋转的性质可得，，可求，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解．
本题考查了旋转的性质，直角三角形的判定，勾股定理，求出的长是本题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：连接，

为直径，
，
，过点，
，
，
，
，
，
在中，
，
故选：．
根据垂径定理求出，根据三角形的中位线求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出是解此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则
所以．
故错误．

抛物线对称轴为直线，
，即，
故正确；

抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：，
当时，，即，
故错误；

抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧
当时，，
，
故错误；

，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

11.【答案】

【解析】

解：点向左平移个单位，再向下平移个单位后的坐标是，
即：，
故答案为：．
根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减可得所求点的坐标是，进而得到答案．
此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
 

12.【答案】

【解析】

解：有意义，
，且，
，
，
故答案为：．
由题意可得，求出即可．
本题考查函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：，
，可得，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是．
故答案为：．
应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

15.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为：．
根据，得到∽，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可得到结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
 

16.【答案】

【解析】

解：连接，过作于，并延长交于，

直径，
半径，
将劣弧沿弦翻折交于点，
，
，
，
，
，
，
同理，
，
劣弧的长为，
故答案为：．
连接，过作于，并延长交于，根据折叠求出，求出，求出，求出圆心角的度数，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长公式，翻折变换，直角三角形的性质等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．
 

17.【答案】

，
 

【解析】

解：直线为，点，轴，
当时，，
即，
，
，，
，
以原点为圆心，长为半径画圆弧交轴于点，
，
同理可得，，，，
点的坐标为，
故答案为：，．
依据直线为，点，轴，可得，同理可得，，，，依据规律可得点的坐标为．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式．
 

18.【答案】

解：原式

．
 

【解析】

直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

19.【答案】

解：如图，为所作；

平分，
，
．
 

【解析】

利用基本作图作平分即可；
根据角平分线的定义得到，然后利用三角形外角性质求的度数．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．
 

20.【答案】

证明：由题意得：，，，，

，，
，
在和中，
，
≌；

解：由题意得：
一块墙砖的厚度为，
，，
由得：≌，
，，
．
 

【解析】

根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明≌即可．
根据全等可得，，再根据正切的定义可得答案．
此题主要考查了全等三角形的应用，以及勾股定理的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
 

21.【答案】

【解析】

解：本次抽取家长共有：人，
则“基本了解”的占：，
扇形图中“基本了解”所占扇形的圆心角是，
故答案为：、；
“了解较多”的家长人数为：人，
估计此校“非常了解”和“了解较多”的家长共有人；
把初一学生家长和初二学生家长分别记为、，名初三学生家长分别记为、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的结果与种，
所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的概率为．
由“非常了解”的人数除以所占百分比得出本次抽取家长共有的人数，即可解决问题；
由某校名家长人数乘以“非常了解”和“了解较多”的家长所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中所选出的两位家长既有初一家长，又有初二家长的结果与种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

22.【答案】

解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点和点．
，
反比例函数的解析式为，
，解得，
，
把和点代入得，
解得，
一次函数的解析式为；
如图，设直线与轴交于点，

令，解得，
，
．
，
一次函数的图象在反比例函数图象下方，
由函数图象可知，此时或．
 

【解析】

将坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，确定出反比例解析式，再将的坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出的坐标，将、坐标代入一次函数解析式中利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
利用三角形面积公式，根据求得即可．
直接根据函数的图象即可得出结论．
本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积等知识，中要注意数形结合思想的应用．
 

23.【答案】

解：设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，
答：种口罩的单价是元，种口罩的单价是元．
设购买种口罩个，则购买种口罩个，
依题意得：，
解得：．
答：该校本次购买种口罩最少有个．
 

【解析】

设种口罩的单价为元，则种口罩的单价为元，由题意：花费元购买口罩和花费元购买口罩的个数相等．列出分式方程，解方程即可；
设购买种口罩个，则购买种口罩个，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】

证明：连接，，

为直径，点为弦的中点，
，
垂直平分，
，
，，
≌，
，
为的切线，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
证明：，
，
，
，
，
，
平分；
解：为的直径，点为弦的中点，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
≌，，
，
，，，
，
设，则，
，
，
，
或不合题意舍去，
，
四边形的面积．
 

【解析】

连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定和性质定理即可得到结论．
根据平行线和等腰三角形的性质即可得到结论．
根据垂径定理得到，根据平行线和等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，推出四边形是菱形，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了圆的综合题，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握切线的判定，平行四边形的判定菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理并正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】

解：抛物线经过点，对称轴是直线，
，
解得，
抛物线的函数表达式为：．
，
顶点的坐标为；
，
时，．
则点的坐标为．
，
，．
，
四边形是矩形．
设点的坐标为，直线的函数表达式为：，直线交轴于点，如图所示：

则，
解得，
直线的函数表达式为：．
令，则，
点的坐标为．
直线将四边形分成面积比为：的两部分，
点在线段上，点不与点重合．
，，，，
，，，．
，
．
分两种情况：
，即，
解得．
点的坐标为：；
，即，
解得．
点的坐标为：；
综上所述，点的坐标为：或；
存在点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，理由如下：
由题意得：满足条件的矩形在直线的下方，
过点作于，则，如图所示：

设点的坐标为，则，．
四边形与四边形都是矩形，
，，，．
，．
，
．
．
在和中，
，
≌．
．
，即．
，
，．
．
∽．
，即，
整理，得，
解得或．
当时，点与点重合，
舍去，
．
当点落在轴上的同时点恰好落在抛物线上，此时的长为．
 

【解析】

由题意得出，解得故抛物线的函数表达式为：，即可得出顶点的坐标为；
求出，设点的坐标为，求出直线的函数表达式为：，则点的坐标为，由题意得出，，，，则，，分两种情况求出的值即可；
过点作于，则，设点的坐标为：，则，，证≌，得出，则，证∽，得出，求出或，当时，点与点重合，舍去，得出，即可得出结论．
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、二次函数的性质、一次函数解析式的求法、坐标与图形性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，属于中考压轴题型．