2020-2021学年浙江省金华市婺城区八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2020-2021学年浙江省金华市婺城区八年级（下）期末数学试卷

1. 估计在

A. 之间 B. 之间 C. 之间 D. 之间

2. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是

A.  B.  C.  D.

3. 甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各投掷10次，他们成绩的平均数与方差如下表：

若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

4. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是

A.  B.
C.  D.

5. 如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到，与AB交于点若，则的度数为
   
    

A.  B.  C.  D.

6. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是

A.  B.  C.  D.

7. 已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为

A. 2 B.  C. 3 D. 4

8. 如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据单位：不正确的是
    

A.  B.  C.  D.

9. 如图，A、B两点在双曲线上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知，则
   
   
    

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

10. 如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是
    
     

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
12. 正方形的对称轴条数是______.
13. 一个n边形的内角和为，则______.
14. 若一元二次方程的两个根分别是与，则______.
15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，轴．AD与y轴交于点E，反比例函数的图象经过顶点C、已知点C的横坐标为5，，则k的值为______.

16. 如图，矩形ABCD中，，，E是AB的中点，直线l平行于直线EC，且直线l与直线EC之间的距离为2，点F在矩形ABCD边上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点A恰好落在直线l上，则DF的长为______.
17. 解方程：
18. 已知：，，求的值．
19. 为了解余姚市对“垃圾分类知识”的知晓程度，某数学学习兴趣小组对市民进行随机抽样的问卷调查，调查结果分为“非常了解”、“了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级进行统计，并将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图图1、图，请根据图中的信息解答下列问题．
    这次调查的市民人数为______人，图2中，______；
    补全图1中的条形统计图；
    据统计，2017年余姚约有市民140万人，那么根据抽样调查的结果，可估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“了解”的市民约有多少万人？
     

20. 如图，在中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作，交BC于点
    求证：四边形DBFE是平行四边形；
    当满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？
    
     

21. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，求k的值．
22. 如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，以OD，CD为邻边作平行四边形DOEC，OE交BC于点F，连结
    求证：F为BC中点；
    若，，求平行四边形ABCD的周长．

23. 平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数与的图象上，A、B的横坐标分别为a、
    
    
    若轴，求的面积；
    若是以AB为底边的等腰三角形，且，求ab的值；
    作边长为3的正方形ACDE，使轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数的图象都有交点，请说明理由．
24. 如图，等腰梯形ABCD中，，，，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
    
    
    
    
    
    求AD的长；
    设，问当x为何值时的面积达到最大，并求出最大值；
    探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：，
即，
在2到3之间．
故选：
根据二次根式的性质得出，即，可得答案．
本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，解此题的关键是知道在和之间．
 

2.【答案】D

【解析】解：A、含有2个未知数，不符合题意；
B、为无理方程，不符合题意；
C、为分式方程，不符合题意；
D、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意；
故选：
只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断．
用到的知识点为：一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；并且二次项系数不为
 

3.【答案】A

【解析】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙，
从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定，
故选：
根据平均数和方差的意义解答．
本题考查了平均数和方差，熟悉它们的意义是解题的关键．
 

4.【答案】A

【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
 

5.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出 和 的度数．
根据矩形的性质，可得 ， ，根据折叠可得 ，最后根据 进行计算即可．
【解答】
解： ， ， ，
， ，
由折叠可得 ，
，
故选   

6.【答案】C

【解析】解：根据题意得，
解得
故选：
根据判别式的意义得，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】D

【解析】解：如图四边形ABCD是菱形，，
，，，，
，
，，
即，，
，
菱形的面积；
故选：
由菱形的性质和勾股定理得出，，，求出，即可得出答案．
本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．
 

8.【答案】A

【解析】解：选项A不正确．理由正方形的边长为10，所以对角线，
因为，所以这个图形不可能存在．
故选：
利用勾股定理求出正方形的对角线为，由此即可判定A不正确．
本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
 

9.【答案】D

【解析】解：点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数系数k的几何意义得两个矩形的面积都等于，

故选：
根据反比例函数系数k的几何意义得两个矩形的面积都等于，即可求出
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，属于基础题．
 

10.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中档题．
由 ≌ ，即可推出 ，故①正确，由 ， ，推出 ，可得 ， ， ，故②③错误④正确，由此即可判断．
【解答】
解： 四边形 ABCD 是正方形，
， ， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，故①正确；
， ，
，
， ， ，
故②③错误④正确，
故选：   

11.【答案】

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：
根据被开方数是非负数，可得答案．
此题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】4

【解析】解：正方形有4条对称轴．
故答案为：
根据正方形的对称性解答．
本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．
 

13.【答案】8

【解析】解：，
解得
直接根据内角和公式计算即可求解．
主要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：
 

14.【答案】4

【解析】解：一元二次方程的两个根分别是与，
，
解得，
方程的两根为2、，
，
，
则，
故答案为：
根据方程的特点知，据此得出m的值，继而得出两根的具体数值，代入得出答案．
本题主要考查解一元二次方程-直接开平方法，解题的关键是掌握利用直接开平方法求解的一元二次方程的特点．
 

15.【答案】

【解析】解：过点D作于F，
由已知，，
四边形ABCD是菱形，
，
，
设，则，
，，，
在中，
，
，
解得，舍去，
，，
设，
则点D坐标为，点C坐标为，
点D、C在双曲线上，
，
，
，
故答案为：
由已知可得菱形边长为5，设出点D坐标，即可用勾股定理构造方程，进而求出k值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
 

16.【答案】或

【解析】解：如图，当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，
四边形ABCD是矩形，
，，
，，
，
、是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
点A、点M关于直线EF对称，
，
，

当直线l在直线EC下方时，
，
，
综上所述DF的长为或
故答案为或
当直线l在直线CE上方时，连接DE交直线l于M，只要证明是等腰直角三角形即可利用解决问题，当直线l在直线EC下方时，由，
得到，由此即可解决问题．
本题考查翻折变换、矩形的性质、等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是正确画出图形，注意有两种情形，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：，
分解因式得：，
可得：或，
解得：，

【解析】将方程左边的多项式提取公因式x，分解因式后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
 

18.【答案】解：，，
，，
 

【解析】先计算出与xy的值，再利用完全平方公式变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：利用整体代入的方法可简化计算．
 

19.【答案】解：；
等级人数为人，
补全图形如下：

万人，
答：估计对“垃圾分类知识”的知晓程度为“了解”的市民约有49万人．

【解析】解：本次调查的市民人数为人，，
故答案为：1000，28；
见答案；
见答案.

根据C类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，再根据A类的人数求出A类所占的百分比，从而求出m的值；
根据求出的总人数即可求出B类的人数，从而补全统计图；
用2017年余姚市约有的市民乘以“了解”所占的百分比即可得出答案．
本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的运用，解题时注意：从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
 

20.【答案】证明：、E分别是AB、AC的中点，
是的中位线，
，
又，
四边形DBFE是平行四边形；

解：当时，四边形DBFE是菱形．
理由如下：是AB的中点，
，
是的中位线，
，
，
，
又四边形DBFE是平行四边形，
四边形DBFE是菱形．

【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．
 

21.【答案】解：关于x的方程有两个相等的实数根，
，
，
整理得，，
即，
解得：不符合一元二次方程的定义，舍去或
 

【解析】根据根的判别式令，建立关于k的方程，解方程即可．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

22.【答案】解：证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
四边形DOEC为平行四边形，
，，
，，
四边形OBEC为平行四边形，
，
即F为BC中点；
四边形ABCD是平行四边形，，
四边形ABCD是菱形，
四边形OBEC为平行四边形，，
四边形OBEC为矩形，
，
，
，
平行四边形ABCD的周长

【解析】由平行四边形ABCD得，由平行四边形DOEC得，，进而证明，，得四边形OBEC为平行四边形，进而得结论；
先证明平行四边形ABCD是菱形，再证明平行四边形OBEC是矩形，求得BC，进而求得菱形ABCD的周长．
本题主要考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，矩形的性质与判定，难度中等，关键综合应用这些定理进行推理．
 

23.【答案】解：如图1，AB交y轴于C，

轴，
，，
；

、B的横坐标分别为a、b，
、B的纵坐标分别为、，
，，
是以AB为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，，，
，
；

，
而，
直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数的图象一定有交点，
设直线CD与函数的图象交点为F，如图2，
点坐标为，正方形ACDE的边长为3，
点坐标为，
点的坐标为，
，
，
而，
，即，
，
点F在线段DC上，
即对大于或等于4的任意实数a，CD边与函数的图象都有交点．
 

【解析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数比例系数的几何意义、图形与坐标和正方形的性质；会利用求差法对代数式比较大小．
如图1，AB交y轴于C，由于轴，根据k的几何意义得到，，所以；
根据函数图象上点的坐标特征得A、B的纵坐标分别为、，根据两点间的距离公式得到，，则利用等腰三角形的性质得到，变形得到，由于，，，所以，易得；
由于，，则可判断直线CD在y轴的右侧，直线CD与函数的图象一定有交点，设直线CD与函数的图象交点为F，由于A点坐标为，正方形ACDE的边长为3，则得到C点坐标为，F点的坐标为，所以，然后比较FC与3的大小，由于，而，所以，于是可判断点F在线段DC上．
 

24.【答案】解：如图2






过点A作交CD于点E，则
度．
又，
是等边三角形．


如图1






，h为PD边上的高，依题意，
的面积S可表示为：


由题意知
当时满足，

如图4







存在满足条件的点M，则PD必须等于
于是，
此时，点P、Q的位置如图4所示，恰为等边三角形．
过点D作于点O，延长DO交BC于点M，连接PM、QM，则DM垂直平分PQ，

易知

又，


即
四边形PDQM是菱形
所以存在满足条件的点M，且

【解析】可通过构建直角三角形来求解：过A作，垂足为那么可在直角三角形AED中根据两底的差和的度数来求出AD的长．
也可通过作辅助线将梯形分成平行四边形和等边三角形两部分来求解．
可通过求的面积与x的函数关系式来得出的最大值．由于P、Q速度相同，因此，那么可用x表示出PD，而中，PD边上的高，由此可根据三角形的面积公式求出与x之间的函数关系式，可根据函数的性质求出S的最大值以及对应的x的值．
假设存在这样的M点，那么DM就是PQ的垂直平分线，可得出、，然后证即可．根据中得出PD、DQ的表达式，可求出，即P是CD的中点，不难得出为等边三角形，因此，因此，即，在直角三角形DMC中，P为斜边CD的中点，因此，即可得出四边形PDQM是菱形．那么此时根据可求出BM的长．
本题是一道压轴题，也是一道开放探索题，第问是条件开放，第问是结论开放．本题既考查了学生的分析作图能力，又考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．