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2020-2021学年内蒙古乌海市八年级（下）期末数学试卷（含答案解析）
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这是一份2020-2021学年内蒙古乌海市八年级（下）期末数学试卷（含答案解析），共19页。
2020-2021学年内蒙古乌海市八年级（下）期末数学试卷
1. (−3)2的化简结果为( )
A. 3 B. −3 C. ±3 D. 9
2. 若代数式2−5xx−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2 B. x≤25 C. x≤25且x≠2 D. x≥25且x≠2
3. 下列四组线段中，其中能够构成直角三角形的是( )
A. 32，42，52 B. 7，24，25 C. 8，13，17 D. 10，15，20
4. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(−2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A. −4和−3之间 B. 3和4之间 C. −5和−4之间 D. 4和5之间
5. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )
A. 4
A. 80件 B. 75件 C. 70件 D. 65件
7. 下列命题：①若a2=a，则a>0；②16的算术平方根是2；③对角线相等的四边形是矩形；④一组数据5，6，7，8，9的中位数和众数都是7，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=20∘，则∠DHO的度数是( )
A. 20∘ B. 25∘ C. 30∘ D. 40∘
9. 四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB//CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD//BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
10. 若关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为( )
A. ±1 B. −1 C. 1 D. 2
11. 已知点P(−1,y1)、点Q(3,y2)在一次函数y=(2m−1)x+2的图象上，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<12 B. m>12 C. m≥1 D. m<1
12. 如图，正方形ABCD的连长为4，点E在边AB上，AE=1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13. 一组数据3，4，3，a，8的平均数为5，则这组数据的方差是______.
14. 已知y=x−3+3−x−2，则xy的值为______.
15. 已知P(a,b)是直线y=13x−2上的点，则6b−2a+3的值是______.
16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D=50∘.以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则∠AEB=______.
17. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90∘，若AB=7，BC=12，则EF的长为______.
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，再将△CDN沿DN折叠．使点C恰好落在MN上的点F处．若MN=5，则AD的长为______.
19. 如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx−1的图象相交于点P，则关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集为______.
20. 如图，平行四边形ABCD中，∠DBC=45∘，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，BF与AD的延长线相交于点G.下面给出四个结论：①BD=2BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BCF≌△GDF，其中正确的结论是______.
21. 计算：
(1)(3−2)2+12+613；
(2)(312−213+48)÷23.
22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
______
8
______
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
______
______
得出结论：
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为______；
(2)如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书？
23. 学校要在教学楼侧面悬挂社会主义核心价值观的标语牌，如图所示，为了使标语牌醒目，计划设计标语牌的宽度为BC，为了测量BC，在距教学楼20米的升旗台P处利用测角仪测得教学楼AB的顶端点B的仰角为60∘，点C的仰角为45∘，求标语牌的宽度BC.(结果保留根号)
24. 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．
25. 2021年3月20日，三星堆遗址考古新发现揭晓，出土文物500余件，三星堆考古发掘成果再次成为炙手可热的话题．某商家看准商机后，计划购进一批“考古盲盒”(三星堆文物模型盲盒)进行销售．已知该商家用1570元购进了10个甲种盲盒和15个乙种盲盒，甲种盲盒的进货单价比乙种盲盒的进货单价多2元．
(1)甲种盲盒和乙种盲盒的进货单价分别是多少元；
(2)由于“考古盲盒”畅销，商家决定再购进这两种盲盒共50个，其中甲种盲盒数量不多于乙种盲盒数量的2倍，且每种盲盒的进货单价保持不变．若甲种盲盒的销售单价为83元，乙种盲盒的销售单价为78元．
①假设此次购进甲种盲盒的个数为a(个)，售完这两批盲盒所获总利润为w(元)，请写出w与a之间的函数关系式；
②商家如何安排第二批进货方案，才能使售完这两批盲盒获得总利润最大？最大利润是多少元？
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=12x交于点A.
(1)求出点A的坐标．
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式=|−3|
=3.
故选：A.
直接根据a2=|a|进行计算即可．
本题考查了二次根式的计算与化简：a2=|a|.
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：2−5x≥0x−2≠0，
解得：x≤25.
故选：B.
根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵(32)2+(42)2=337，(52)2=625，
∴(32)2+(42)2≠(52)2，
∴以32，42，52不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵72+242=625，252=625，
∴72+242=252，
∴以7，24，25能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵82+132=233，172=289，
∴82+132=172，
∴以8，13，17不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵102+152=325，202=400，
∴102+152=202，
∴以10，15，20不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B.
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点P的坐标为(−2,3)，
∴OP=22+32=13，
∴A(−13,0)，
∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴−4<−13<−3，
故选：A.
根据点P的坐标为(−2,3)，勾股定理求出OP的长，得出点A的坐标，再判定出3<13<4，即可得出−13的范围．
本题主要考查了坐标与图形的性质，以及勾股定理和无理数的估值，求出点A的坐标是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD
∴OA=OC=3，OB=OD=5
∴在△AOB中，OB−OA
平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足3+5>x5−3
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，这一周小张平均每天投递物品的件数为：=4×65+2×70+1×907=70(件)，
故选：C.
直接利用加权平均数求法进而分析得出答案．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则(x1w1+x2w2+…+xnwn)÷(w1+w2+…+wn)叫做这n个数的加权平均数．
7.【答案】B
【解析】解：①若a2=a，则a≥0，原命题是假命题；
②16的算术平方根是2，是真命题；
③对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
④一组数据5，6，7，8，9的中位数是7，但众数不是7，原命题是假命题；
故选：B.
根据矩形的判定、中位数和众数的判定、算术平方根的性质判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定、中位数和众数的判定、算术平方根的性质等知识，难度不大．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB//CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90∘，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH=OD=OB，
∴∠1=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2=90∘，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO=90∘，
∴∠1=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，
∴∠CAD=∠DCA=20∘，
∴∠DHO=20∘，
故选：A.
先根据菱形的性质得OD=OB，AB//CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90∘，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①②③能使四边形ABCD是菱形；
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴②③④能使四边形ABCD是菱形；
∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．
故选：D.
由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，
∴|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1.
故选：B.
直接利用一次函数的定义得出m的值进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确把握未知数的次数与系数的关系是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：
∵点P(−1,y1)、点Q(3,y2)在一次函数y=(2m−1)x+2的图象上，
∴当−1<3时，由题意可知y1>y2，
∴y随x的增大而减小，
∴2m−1<0，解得m<12，
故选：A.
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
本题主要考查一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的 P 点的位置是解此题的关键．
连接 AC 、 CE ， CE 交 BD 于 P ，此时 AP+PE 的值最小，求出 CE 长，即可求出答案．
【解答】
解：连接 AC 、 CE ， CE 交 BD 于 P ，连接 AP 、 PE ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴OA=OC ， AC⊥BD ，即 A 和 C 关于 BD 对称，
∴AP=CP ，
即 AP+PE=CE ，此时 AP+PE 的值最小，
所以此时 △PAE 周长的值最小，
∵ 正方形 ABCD 的边长为 4 ，点 E 在边 AB 上， AE=1 ，
∴∠ABC=90∘ ， BE=4−1=3 ，
由勾股定理得： CE=5 ，
∴△PAE 的周长的最小值是 AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6 ，
故选： D.
13.【答案】4.4
【解析】解：因为3、4、3、a、8的平均数是5，
所以3+4+3+a+8=25，
解得a=7，
故这组数据为3，4，3，7，8，
所以这组数据的方差为15×[(3−5)2+(4−5)2+(3−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=4.4.
故答案为：4.4.
先根据平均数是5，求出a的值，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了样本平均数和方差的定义，掌握它们的计算公式是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】19
【解析】根据题意得：x−3≥03−x≥0，
解得：x=3，则y=−2，
故xy=3−2=19.
故答案为19.
根据二次根是有意义的条件：被开方数是非负数即可求得x的值，进而求得y的值，然后代入求解即可．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
15.【答案】−9
【解析】解：∵P(a,b)是直线y=13x−2上的点，
∴b=13a−2，
∴3b−a=−6，
∴6b−2a+3=2×(−6)+3=−9.
故答案为：−9.
将点的坐标代入直线中可得出b=13a−2，整理得到3b−a=−6，代入代数式求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据解析式求得3b−a=−6.本题属于基础题，难度不大，
16.【答案】25∘
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=50∘，AD//BC，
由作图可知BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=25∘，
∴∠AEB=∠EBC=25∘，
故答案为：25∘.
利用平行四边形的性质求出∠ABC=50∘，再利用角平分线的定义，平行线的性质求解即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】2.5
【解析】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB=7，
∴DF=12AB=3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC=12，
∴DE=12BC=6，
∴EF=DE−DF=2.5，
故答案为：2.5.
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18.【答案】152
【解析】解：由折叠可知：
点B与点D重合，
∴∠EDN=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∴∠EDM+∠MDN=∠CDN+∠MDN，
∴∠EDM=∠CDN，
∵∠E=∠C=90∘，
DE=DC，
∴△DEM≌△DCN(ASA)，
∴DM=DN，
由折叠，
∠BNM=∠DNM，∠DNC=∠DNM，
∴∠BNM=∠DNM=∠DNC=13×180∘=60∘，
∴△DMN是等边三角形，
∴DM=MN=5，
点C恰好落在MN上的点F处可知：
∠DFN=90∘，即DF⊥MN，
∴MF=NF=12MN=52，
∴CN=ME=AM=52，
∴AD=AM+DM=152.
故答案为152.
根据折叠的性质可以证明△DEM≌△DCN，得DM=DN，再根据折叠可得∠BNM=∠DNM=∠DNC，可证明△DMN是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了折叠问题，综合运用矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质是解决本题的关键．
19.【答案】x>−1
【解析】解：当x>−1，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集为x>−1.
故答案为：x>−1.
观察函数图象得到，当x>−1，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20.【答案】①②③
【解析】解：∵∠DBC=45∘，DE⊥BC，
∴BD=2BE，BE=DE，
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90∘，
∵∠BHE=∠DHF，
∴∠EBH=∠CDE，
∴△BEH≌△DEC(SAS)，
∴∠BHE=∠C，BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，AB=CD，
∴∠A=∠BHE，AB=BH，
∴正确的有①②③；
故答案为：①②③．
①根据等腰直角三角形的性质即可判断；
②通过三角形全等和平行四边形的性质即可判断；
③根据平行四边形的性质和线段的等量代换即可判断；
④通过角的关系即可求得结果；
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及勾股定理的运用等．
21.【答案】解：(1)(3−2)2+12+613
=3−43+4+23+23
=7；
(2)(312−213+48)÷23
=3212÷3−13÷3+1248÷3
=342−13×13+1216
=3×22−13+42
=3−13+2
=423.
【解析】(1)先根据完全平方公式和分母有理数将式子展开，然后再合并同类项和同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的除法化简即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
22.【答案】整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
81
81
(1)B；
(2)∵820×400=160
∴该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名．
(3)以平均数来估计：
80160×52=26
∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本课外书．
【解析】
解： (1) 根据上表统计显示：样本中位数和众数都是 81 ，平均数是 80 ，都是 B 等级，
故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为 B.
故答案为： B ；
(2) 见答案；
(3) 见答案 .
【分析】
根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到 (1)(2)(3) 结果．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数 ( 平均数、中位数、众数 ) 和理解样本和总体的关系是关键．
23.【答案】解：由题意得：
DP=20米，
在Rt△BDP中，∠BPD=60∘，
∴BD=DP⋅tan60∘=203(米)，
在Rt△CDP中，∠CPD=45∘，
∴CD=DP⋅tan45∘=20(米)，
∴BC=BD−CD=(203−20)米，
∴标语牌的宽度BC为(203−20)米．
【解析】根据题意可得DP=20米，然后分别在Rt△BDP和Rt△CDP中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)FG=CE；FG//CE；
(2)结论仍然成立．
理由：如图2中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90∘，
在△CBF和△DCE中，
BF=CE∠CBF=∠ECDBC=CD，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90∘，
∴∠CDE+∠DCM=90∘，
∴∠CMD=90∘，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG//CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF//EC.
【解析】本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．
(1)结论：FG=CE，FG//CE.如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
(2)结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
解：(1)结论：FG=CE，FG//CE.
理由：如图1中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90∘，
在△CBF和△DCE中，
BF=CE∠CBF=∠ECDBC=CD，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90∘，
∴∠CDE+∠DCM=90∘，
∴∠CMD=90∘，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG//CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF//EC.
故答案为：FG=CE，FG//CE；
(2)见答案.
25.【答案】解：(1)设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为(a−2)元，
根据题意得：10a+15(a−2)=1570，
解得：a=64，
∴甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元．
(2)①设购进甲种盲盒a个，则购进乙种盲盒(50−a)个，
依题意可得：a≤2(50−a)a≥0，
解得0≤a≤1003且x为整数，
∴w=(83−64)(10+a)+(78−62)(50−a+15)，
=1230+3a，
∴w与a之间的函数关系式为w=3a+1230.
②∵3>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=33时，元).
∴购进甲种盲盒33个，购进乙种盲盒17个；才能使售完这二批盲盒获得总利润最大；最大利润是1329元．
【解析】(1)设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为(a−2)元，根据题意即可列出一元一次方程，即可求解．
(2)①设购进甲种盲盒a个，则购进乙种盲盒(50−a)个，根据题意得到a的取值，再列出w关于a的一次函数．
②根据一次函数的性质即可求解．
此题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程或函数进行求解．
26.【答案】解：(1)解方程组y=−12x+6y=12x，得x=6y=3，
∴A(6,3)；
(2)设D(x,12x)，
∵△COD的面积为12，
∴12×6×x=12，
解得：x=4，
∴D(4,2)，
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，
把C(0,6)，D(4,2)代入得：6=b2=4k+b，解得：k=−1b=6，
∴直线CD解析式为y=−x+6；
(3)存在点P，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
(i)当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90∘，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1=OC=6，即P1(6,0)；
(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为(0,6)，得到P2纵坐标为3，
把y=3代入直线直线CP1的解析式y=−x+6中，可得3=−x+6，解得x=3，此时P2(3,3)；
(iii)当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设P3(x,−x+6)，
∴x2+(−x+6−6)2=62，解得x=32或x=−32(舍去)，此时P3(32,−32+6)；
综上可知存在满足条件的点的P，其坐标为(6,0)或(3,3)或(32,−32+6).
【解析】(1)联立两直线解析式求出A的坐标即可；
(2)根据D在直线OA上，设出D坐标，表示出三角形COD面积，把已知面积代入求出x的值，确定出D坐标，利用待定系数法求出CD解析式即可；
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：(i)当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90∘，得到四边形OP1Q1C为正方形；(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时；(iii)当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出P坐标即可．
本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在(2)中求得D点坐标是解题的关键，在(3)中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
2020-2021学年内蒙古乌海市八年级（下）期末数学试卷
1. (−3)2的化简结果为( )
A. 3 B. −3 C. ±3 D. 9
2. 若代数式2−5xx−2有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2 B. x≤25 C. x≤25且x≠2 D. x≥25且x≠2
3. 下列四组线段中，其中能够构成直角三角形的是( )
A. 32，42，52 B. 7，24，25 C. 8，13，17 D. 10，15，20
4. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(−2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A. −4和−3之间 B. 3和4之间 C. −5和−4之间 D. 4和5之间
5. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为( )
A. 4
A. 80件 B. 75件 C. 70件 D. 65件
7. 下列命题：①若a2=a，则a>0；②16的算术平方根是2；③对角线相等的四边形是矩形；④一组数据5，6，7，8，9的中位数和众数都是7，其中真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD=20∘，则∠DHO的度数是( )
A. 20∘ B. 25∘ C. 30∘ D. 40∘
9. 四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB//CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD//BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有( )
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
10. 若关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，则m的值为( )
A. ±1 B. −1 C. 1 D. 2
11. 已知点P(−1,y1)、点Q(3,y2)在一次函数y=(2m−1)x+2的图象上，且y1>y2，则m的取值范围是( )
A. m<12 B. m>12 C. m≥1 D. m<1
12. 如图，正方形ABCD的连长为4，点E在边AB上，AE=1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
13. 一组数据3，4，3，a，8的平均数为5，则这组数据的方差是______.
14. 已知y=x−3+3−x−2，则xy的值为______.
15. 已知P(a,b)是直线y=13x−2上的点，则6b−2a+3的值是______.
16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠D=50∘.以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则∠AEB=______.
17. 如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90∘，若AB=7，BC=12，则EF的长为______.
18. 如图，将矩形纸片ABCD沿MN折叠，使点B与点D重合，再将△CDN沿DN折叠．使点C恰好落在MN上的点F处．若MN=5，则AD的长为______.
19. 如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx−1的图象相交于点P，则关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集为______.
20. 如图，平行四边形ABCD中，∠DBC=45∘，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE，BF相交于点H，BF与AD的延长线相交于点G.下面给出四个结论：①BD=2BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BCF≌△GDF，其中正确的结论是______.
21. 计算：
(1)(3−2)2+12+613；
(2)(312−213+48)÷23.
22. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
数据收集：从全校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
______
8
______
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
______
______
得出结论：
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为______；
(2)如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有多少名？
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择样本中的一种统计量估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读多少本课外书？
23. 学校要在教学楼侧面悬挂社会主义核心价值观的标语牌，如图所示，为了使标语牌醒目，计划设计标语牌的宽度为BC，为了测量BC，在距教学楼20米的升旗台P处利用测角仪测得教学楼AB的顶端点B的仰角为60∘，点C的仰角为45∘，求标语牌的宽度BC.(结果保留根号)
24. 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图2，若点E、F分别是CB、BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请出判断判断并给予证明．
25. 2021年3月20日，三星堆遗址考古新发现揭晓，出土文物500余件，三星堆考古发掘成果再次成为炙手可热的话题．某商家看准商机后，计划购进一批“考古盲盒”(三星堆文物模型盲盒)进行销售．已知该商家用1570元购进了10个甲种盲盒和15个乙种盲盒，甲种盲盒的进货单价比乙种盲盒的进货单价多2元．
(1)甲种盲盒和乙种盲盒的进货单价分别是多少元；
(2)由于“考古盲盒”畅销，商家决定再购进这两种盲盒共50个，其中甲种盲盒数量不多于乙种盲盒数量的2倍，且每种盲盒的进货单价保持不变．若甲种盲盒的销售单价为83元，乙种盲盒的销售单价为78元．
①假设此次购进甲种盲盒的个数为a(个)，售完这两批盲盒所获总利润为w(元)，请写出w与a之间的函数关系式；
②商家如何安排第二批进货方案，才能使售完这两批盲盒获得总利润最大？最大利润是多少元？
26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+6分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=12x交于点A.
(1)求出点A的坐标．
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式．
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式=|−3|
=3.
故选：A.
直接根据a2=|a|进行计算即可．
本题考查了二次根式的计算与化简：a2=|a|.
2.【答案】B
【解析】解：由题意可知：2−5x≥0x−2≠0，
解得：x≤25.
故选：B.
根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查二次根式及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式及分式有意义的条件，本题属于基础题型．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵(32)2+(42)2=337，(52)2=625，
∴(32)2+(42)2≠(52)2，
∴以32，42，52不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵72+242=625，252=625，
∴72+242=252，
∴以7，24，25能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵82+132=233，172=289，
∴82+132=172，
∴以8，13，17不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵102+152=325，202=400，
∴102+152=202，
∴以10，15，20不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B.
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵点P的坐标为(−2,3)，
∴OP=22+32=13，
∴A(−13,0)，
∵9<13<16，
∴3<13<4，
∴−4<−13<−3，
故选：A.
根据点P的坐标为(−2,3)，勾股定理求出OP的长，得出点A的坐标，再判定出3<13<4，即可得出−13的范围．
本题主要考查了坐标与图形的性质，以及勾股定理和无理数的估值，求出点A的坐标是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵平行四边形ABCD
∴OA=OC=3，OB=OD=5
∴在△AOB中，OB−OA
平行四边形的两条对角线相交于平行四边形的两边构成三角形，这个三角形的两条边是3，5，第三条边就是平行四边形的一条边x，即满足3+5>x5−3
6.【答案】C
【解析】解：由题意可得，这一周小张平均每天投递物品的件数为：=4×65+2×70+1×907=70(件)，
故选：C.
直接利用加权平均数求法进而分析得出答案．
本题主要考查加权平均数，加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则(x1w1+x2w2+…+xnwn)÷(w1+w2+…+wn)叫做这n个数的加权平均数．
7.【答案】B
【解析】解：①若a2=a，则a≥0，原命题是假命题；
②16的算术平方根是2，是真命题；
③对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题；
④一组数据5，6，7，8，9的中位数是7，但众数不是7，原命题是假命题；
故选：B.
根据矩形的判定、中位数和众数的判定、算术平方根的性质判断即可．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解矩形的判定、中位数和众数的判定、算术平方根的性质等知识，难度不大．
8.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，AB//CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB=90∘，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH=OD=OB，
∴∠1=∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2=90∘，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO=90∘，
∴∠1=∠DCO，
∴∠DHO=∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，
∴∠CAD=∠DCA=20∘，
∴∠DHO=20∘，
故选：A.
先根据菱形的性质得OD=OB，AB//CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB=90∘，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH=OD=OB，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】D
【解析】解：∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①②③能使四边形ABCD是菱形；
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AD=BC，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴②③④能使四边形ABCD是菱形；
∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．
故选：D.
由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．
本题考查了菱形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵关于x的函数y=(m−1)x|m|−5是一次函数，
∴|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1.
故选：B.
直接利用一次函数的定义得出m的值进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确把握未知数的次数与系数的关系是解题关键．
11.【答案】A
【解析】解：
∵点P(−1,y1)、点Q(3,y2)在一次函数y=(2m−1)x+2的图象上，
∴当−1<3时，由题意可知y1>y2，
∴y随x的增大而减小，
∴2m−1<0，解得m<12，
故选：A.
由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围．
本题主要考查一次函数的性质，得出一次函数的增减性是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质，能找出符合的 P 点的位置是解此题的关键．
连接 AC 、 CE ， CE 交 BD 于 P ，此时 AP+PE 的值最小，求出 CE 长，即可求出答案．
【解答】
解：连接 AC 、 CE ， CE 交 BD 于 P ，连接 AP 、 PE ，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴OA=OC ， AC⊥BD ，即 A 和 C 关于 BD 对称，
∴AP=CP ，
即 AP+PE=CE ，此时 AP+PE 的值最小，
所以此时 △PAE 周长的值最小，
∵ 正方形 ABCD 的边长为 4 ，点 E 在边 AB 上， AE=1 ，
∴∠ABC=90∘ ， BE=4−1=3 ，
由勾股定理得： CE=5 ，
∴△PAE 的周长的最小值是 AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6 ，
故选： D.
13.【答案】4.4
【解析】解：因为3、4、3、a、8的平均数是5，
所以3+4+3+a+8=25，
解得a=7，
故这组数据为3，4，3，7，8，
所以这组数据的方差为15×[(3−5)2+(4−5)2+(3−5)2+(7−5)2+(8−5)2]=4.4.
故答案为：4.4.
先根据平均数是5，求出a的值，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了样本平均数和方差的定义，掌握它们的计算公式是解题的关键，属于基础题．
14.【答案】19
【解析】根据题意得：x−3≥03−x≥0，
解得：x=3，则y=−2，
故xy=3−2=19.
故答案为19.
根据二次根是有意义的条件：被开方数是非负数即可求得x的值，进而求得y的值，然后代入求解即可．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.
15.【答案】−9
【解析】解：∵P(a,b)是直线y=13x−2上的点，
∴b=13a−2，
∴3b−a=−6，
∴6b−2a+3=2×(−6)+3=−9.
故答案为：−9.
将点的坐标代入直线中可得出b=13a−2，整理得到3b−a=−6，代入代数式求得即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据解析式求得3b−a=−6.本题属于基础题，难度不大，
16.【答案】25∘
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=50∘，AD//BC，
由作图可知BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=25∘，
∴∠AEB=∠EBC=25∘，
故答案为：25∘.
利用平行四边形的性质求出∠ABC=50∘，再利用角平分线的定义，平行线的性质求解即可．
本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】2.5
【解析】解：在Rt△AFB中，D为AB的中点，AB=7，
∴DF=12AB=3.5，
∵DE为△ABC的中位线，BC=12，
∴DE=12BC=6，
∴EF=DE−DF=2.5，
故答案为：2.5.
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出DF，根据三角形中位线定理求出DE，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18.【答案】152
【解析】解：由折叠可知：
点B与点D重合，
∴∠EDN=90∘，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90∘，
∴∠EDM+∠MDN=∠CDN+∠MDN，
∴∠EDM=∠CDN，
∵∠E=∠C=90∘，
DE=DC，
∴△DEM≌△DCN(ASA)，
∴DM=DN，
由折叠，
∠BNM=∠DNM，∠DNC=∠DNM，
∴∠BNM=∠DNM=∠DNC=13×180∘=60∘，
∴△DMN是等边三角形，
∴DM=MN=5，
点C恰好落在MN上的点F处可知：
∠DFN=90∘，即DF⊥MN，
∴MF=NF=12MN=52，
∴CN=ME=AM=52，
∴AD=AM+DM=152.
故答案为152.
根据折叠的性质可以证明△DEM≌△DCN，得DM=DN，再根据折叠可得∠BNM=∠DNM=∠DNC，可证明△DMN是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求出AD的长．
本题考查了折叠问题，综合运用矩形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质是解决本题的关键．
19.【答案】x>−1
【解析】解：当x>−1，函数y=x+b的图象在函数y=kx−1图象的上方，
所以关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集为x>−1.
故答案为：x>−1.
观察函数图象得到，当x>−1，函数y=x+b的图象都在函数y=kx−1图象的上方，于是可得到关于x的不等式x+b−kx+1>0的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
20.【答案】①②③
【解析】解：∵∠DBC=45∘，DE⊥BC，
∴BD=2BE，BE=DE，
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90∘，
∵∠BHE=∠DHF，
∴∠EBH=∠CDE，
∴△BEH≌△DEC(SAS)，
∴∠BHE=∠C，BH=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，AB=CD，
∴∠A=∠BHE，AB=BH，
∴正确的有①②③；
故答案为：①②③．
①根据等腰直角三角形的性质即可判断；
②通过三角形全等和平行四边形的性质即可判断；
③根据平行四边形的性质和线段的等量代换即可判断；
④通过角的关系即可求得结果；
此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质以及勾股定理的运用等．
21.【答案】解：(1)(3−2)2+12+613
=3−43+4+23+23
=7；
(2)(312−213+48)÷23
=3212÷3−13÷3+1248÷3
=342−13×13+1216
=3×22−13+42
=3−13+2
=423.
【解析】(1)先根据完全平方公式和分母有理数将式子展开，然后再合并同类项和同类二次根式即可；
(2)根据二次根式的除法化简即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用．
22.【答案】整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间x(min)
0≤x<40
40≤x<80
80≤x<120
120≤x<160
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
分析数据：补全下列表格中的统计量：
平均数
中位数
众数
80
81
81
(1)B；
(2)∵820×400=160
∴该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有160名．
(3)以平均数来估计：
80160×52=26
∴假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，以样本的平均数来估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读26本课外书．
【解析】
解： (1) 根据上表统计显示：样本中位数和众数都是 81 ，平均数是 80 ，都是 B 等级，
故估计该校学生每周的用于课外阅读时间的情况等级为 B.
故答案为： B ；
(2) 见答案；
(3) 见答案 .
【分析】
根据中位数、众数的定义可以填表格，利用样本和总体之间的比例关系可以估计或计算得到 (1)(2)(3) 结果．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数 ( 平均数、中位数、众数 ) 和理解样本和总体的关系是关键．
23.【答案】解：由题意得：
DP=20米，
在Rt△BDP中，∠BPD=60∘，
∴BD=DP⋅tan60∘=203(米)，
在Rt△CDP中，∠CPD=45∘，
∴CD=DP⋅tan45∘=20(米)，
∴BC=BD−CD=(203−20)米，
∴标语牌的宽度BC为(203−20)米．
【解析】根据题意可得DP=20米，然后分别在Rt△BDP和Rt△CDP中，利用锐角三角函数的定义求出BD，CD的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
24.【答案】解：(1)FG=CE；FG//CE；
(2)结论仍然成立．
理由：如图2中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90∘，
在△CBF和△DCE中，
BF=CE∠CBF=∠ECDBC=CD，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90∘，
∴∠CDE+∠DCM=90∘，
∴∠CMD=90∘，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG//CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF//EC.
【解析】本题三角形与四边形综合问题，涉及全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质．解题的关键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从而求证出平行四边形．
(1)结论：FG=CE，FG//CE.如图1中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
(2)结论仍然成立．如图2中，设DE与CF交于点M，首先证明△CBF≌△DCE，推出DE⊥CF，再证明四边形EGFC是平行四边形即可．
解：(1)结论：FG=CE，FG//CE.
理由：如图1中，设DE与CF交于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠DCE=90∘，
在△CBF和△DCE中，
BF=CE∠CBF=∠ECDBC=CD，
∴△CBF≌△DCE，
∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，
∵∠BCF+∠DCM=90∘，
∴∠CDE+∠DCM=90∘，
∴∠CMD=90∘，
∴CF⊥DE，
∵GE⊥DE，
∴EG//CF，
∵EG=DE，CF=DE，
∴EG=CF，
∴四边形EGFC是平行四边形．
∴GF=EC，
∴GF=EC，GF//EC.
故答案为：FG=CE，FG//CE；
(2)见答案.
25.【答案】解：(1)设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为(a−2)元，
根据题意得：10a+15(a−2)=1570，
解得：a=64，
∴甲种盲盒的进货单价为64元，则乙种盲盒的进货单价为62元．
(2)①设购进甲种盲盒a个，则购进乙种盲盒(50−a)个，
依题意可得：a≤2(50−a)a≥0，
解得0≤a≤1003且x为整数，
∴w=(83−64)(10+a)+(78−62)(50−a+15)，
=1230+3a，
∴w与a之间的函数关系式为w=3a+1230.
②∵3>0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a=33时，元).
∴购进甲种盲盒33个，购进乙种盲盒17个；才能使售完这二批盲盒获得总利润最大；最大利润是1329元．
【解析】(1)设甲种盲盒的进货单价为a元，则乙种盲盒的进货单价为(a−2)元，根据题意即可列出一元一次方程，即可求解．
(2)①设购进甲种盲盒a个，则购进乙种盲盒(50−a)个，根据题意得到a的取值，再列出w关于a的一次函数．
②根据一次函数的性质即可求解．
此题主要考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列方程或函数进行求解．
26.【答案】解：(1)解方程组y=−12x+6y=12x，得x=6y=3，
∴A(6,3)；
(2)设D(x,12x)，
∵△COD的面积为12，
∴12×6×x=12，
解得：x=4，
∴D(4,2)，
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，
把C(0,6)，D(4,2)代入得：6=b2=4k+b，解得：k=−1b=6，
∴直线CD解析式为y=−x+6；
(3)存在点P，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
如图所示，分三种情况考虑：
(i)当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90∘，得到四边形OP1Q1C为正方形，此时OP1=OC=6，即P1(6,0)；
(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时，由C坐标为(0,6)，得到P2纵坐标为3，
把y=3代入直线直线CP1的解析式y=−x+6中，可得3=−x+6，解得x=3，此时P2(3,3)；
(iii)当四边形OQ3P3C为菱形时，则有OQ3=OC=CP3=P3Q3=6，设P3(x,−x+6)，
∴x2+(−x+6−6)2=62，解得x=32或x=−32(舍去)，此时P3(32,−32+6)；
综上可知存在满足条件的点的P，其坐标为(6,0)或(3,3)或(32,−32+6).
【解析】(1)联立两直线解析式求出A的坐标即可；
(2)根据D在直线OA上，设出D坐标，表示出三角形COD面积，把已知面积代入求出x的值，确定出D坐标，利用待定系数法求出CD解析式即可；
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，如图所示，分三种情况考虑：(i)当四边形OP1Q1C为菱形时，由∠COP1=90∘，得到四边形OP1Q1C为正方形；(ii)当四边形OP2CQ2为菱形时；(iii)当四边形OQ3P3C为菱形时；分别求出P坐标即可．
本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、菱形的性质及分类讨论思想等．在(2)中求得D点坐标是解题的关键，在(3)中确定出P点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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