浙江省杭州市拱墅区八年级下学期月考数学试卷含解析

 八年级下学期月考数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） 

A． B． C． D．

2．下列方程属于一元二次方程的是（　　） 

A． B．

C． D．

3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） 

A． B． C． D．

4．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式： ，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（　　） 

A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6

5．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（　　）

A． B．

C． D．

6．计算 的结果是（　　） 

A． B．-1 C． D．1

7．有一组数据为 ， ， ， ，这组数据的每一个数都减去 后得一组新的数据 ， ， ， ，这两组数据一定不变的是（　　） 

A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差

8．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路 图中阴影部分 ，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为 米，则可列方程为（　　） 

A． B．

C． D．

9．已知 满足 ，则

A．0 B．1 C．2021 D．2022

10．若 为任意实数，且 ，则 的最大值为（　　）

A．10 B．84 C．100 D．121

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11．若分式 有意义，则x的取值范围为　             　．  

12．若 是一元二次方程 的解，则 的值是　     　.

13．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为　     　.

14．已知关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围为　            　.

15．已知 ，化简： 　     　.

16．若方程 有实根，则 　     　

三、计算题（本题共1小题，共10分）

17．计算：

（1） ； 

（2） . 

四、解答题（本题共6小题，共56分）

18．解下列方程：

（1） ； 

（2） . 

19．为庆祝中国共产党建党100周年，某中学组织七、八年级全体学生开展了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生的成绩 ( 满分为100分 ) .
收集数据：
七年级： 90、95、95、80、85、90、80、90、85、100 ；
八年级：85、85、95、80、95、90、90、90、100、90.

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：

（1）请直接写出表格中 ， ， 的值；

（2）通过计算求出 的值；

（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由；

20．已知关于 的一元二次方程 . 

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两实根为 、 ，且 ，求 的值. 

21．（1）已知 ， ，求 的值； 

（2）先化简，再求值： ，其中， . 

22．2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和雪容融在一开售时，就深受大家的喜欢.某供应商今年2月第一周购进一批冰墩墩和雪容融，已知一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元，购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同.

（1）今年2月第一周每个冰墩墩和雪容融的进价分别是多少元？

（2）今年2月第一周，供应商以100元每个售出雪容融140个，150元每个售出冰墩墩120个.第二周供应商决定调整价格，每个雪容融的售价在第一周的基础上下降了 元，每个冰墩墩的价格不变，由于冬奥赛事的火热进行，第二周雪容融的销量比第一周增加了 个，而冰墩墩的销量比第一周增加了 个，最终商家获利5160元，求 . 

23．如图，在长方形 中，边 、 的长 是方程 的两个根.点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 边  的方向运动，运动时间为 秒 .

（1）求 与 的长；

（2）当点 运动到边 上时，试求出使 长为 时运动时间 的值；

（3）当点 运动到边 上时，是否存在点 ，使 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间 的值；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

【解析】【解答】解： 、当 时， 不是二次根式；

B、当 时， 不是二次根式；

C、当 时， 不是二次根式；

D、 是二次根式；

故答案为：D.

【分析】形如“(a≥0）”的式子就是二次根式，据此一一判断得出答案.

【解析】【解答】解： 、方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B、方程中未知数个数为2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

C、只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；

D、该方程不是整式方程，故该选项不符合题意.

故答案为：C.

【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程，据此判断.

【解析】【解答】解： 、 是最简二次根式，符合题意；

B、 ，不符合题意；

C、 ，不符合题意；

D、 ，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件： ①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式，那么这个根式叫做最简二次根式，据此判断.

【解析】【解答】解：由方差的计算公式知，这组数据为6、6、8、9、11，

所以这组数据的平均数为 ，众数为6，中位数为8，

方差为 ，

故答案为：C.

【分析】根据方差的计算公式可得：这组数据为6、6、8、9、11，求出所有数据之和，然后除以数据的个数可得平均数；找出出现次数最多的数据即为众数；将这组数据按从小到大顺序排列后，找出最中间的数据即为中位数，根据方差的计算公式可得方差.

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∴，即，

故答案为：A．

【分析】利用配方法减一元二次方程即可得出答案。

【解析】【解答】解： 有意义，

，

解得： ，

则 ，

原式

.

故答案为：A.

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得2-a≥0，则a≤2，a-3<0，然后根据二次根式的性质“及”化简再合并即可.

【解析】【解答】解：一组数据 ， ， 的每一个数都减去同一数 ，则新数据 ， ， ， 的中位数、众数和平均数改变，但是方差不变.

故答案为：D.

【分析】平均数、中位数、众数的计算过程中涉及到每个数据，而方差表示的是一组数据的波动情况，据此判断.

【解析】【解答】解：设道路的宽x米，则(32-x)(20-x)=32×20-100，化简可得 .

故答案为：C.

【分析】根据平移的性质可得种植草坪部分的长为(32-x)米，宽为(20-x)米，然后根据矩形地面的面积-小路的面积=种植草坪的面积进行解答.

【解析】【解答】解：由题意得：

，

，

，

，

，

，

，

.

故答案为：D.

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得a-2022≥0，则a≥2022，2021-a<0，然后根据绝对值的性质可得，两边同时平方即可.

【解析】【解答】解：

，

，

的最大值为100.

故答案为：C.

【分析】利用配方法将M变形为-[(x2-5x)-4]2+100，然后根据偶数次幂的非负性可得M的最大值.

【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣2≠0，

解得：x≥﹣1且x≠2，

故答案为x≥﹣1且x≠2．

【分析】分式有意义的条件，即分母不等于0.且分子二次根式≥0.列出不等式 求解即可。

【解析】【解答】解：把 代入 得 ，

解得 .

故答案为：2.

【分析】将x=1代入原方程中可得关于m的方程，求解即可.

【解析】【解答】解：该名教师的综合成绩为 分 .

故答案为：90分.

【分析】利用笔试成绩×份数+试讲成绩×份数+面试成绩×份数可得总成绩，然后除以总份数可得综合成绩.

【解析】【解答】解：由题意可知： 且 ，

且 ，

故a的取值范围为a≥-1且a≠3.

故答案为：a≥-1且a≠3

【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此得△≥0且a-3≠0，代入求解可得a的范围.

【解析】【解答】解： 二次根式 ，

，

，

，

，

故答案为： .

【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数可得y<0，再根据xy<0可得x>0，则待求式可变形为，然后结合绝对值的性质进行化简.

【解析】【解答】解： 方程有实根，

，即 ，

化简得： ，

，而 ，

， ，解得 ， ，

所以 .

故答案为 ： .

【分析】根据方程有实数根可得△≥0，代入化简可得(a+2b)2+(a-1)2≤0，结合偶次幂的非负性可得a+2b=0、a-1=0，求出a、b的值，然后代入中进行计算.

【解析】【分析】（1）首先将各个根式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可；
（2）根据平方差公式、完全平方公式分别去括号，然后根据有理数的加减法法则进行计算.

【解析】【分析】（1）首先对左边的式子进行分解，然后将右边的式子移至左边，发现有公因式(x-1)，故此方程利用因式分解法求解即可；
（2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上一次项系数一半的平方“9”，再对左边的式子利用完全平方公式进行分解，接下来利用直接开平方法进行求解即可.

【解析】【解答】解：（1）七年级的中位数为 ，故 ；

八年级的平均数为： ，故 ；

八年级中90分的最多，故

【分析】（1）将七年级的成绩按照由低到高的顺序进行排列，求出中间两个数据的平均数即为中位数m的值，首先求出八年级成绩的总和，然后除以学生数可得平均数n的值，找出出现次数最多的数据即为众数p的值；
（2）直接根据方差的计算公式进行计算可得q的值；
（3）根据中位数、众数、平均数、方差的大小以及意义进行分析判断.

【解析】【分析】（1）此题只需要证明根的判别式的值恒大于零即可；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=m-3，x1x2=-m，然后根据(x1+x2)2-3x1x2=x12+x22-x1x2=13可得m的值.

【解析】【分析】（1）待求式子可变形为xy(x-y)，将x、y的值然后代入进行计算；
（2）对括号外分式的分子、分母进行分解，对括号内的式子进行通分，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来将m的值代入化简后的式子进行计算即可.

【解析】【分析】（1）设今年2月第一周每个冰墩墩的进价为x元，每个雪容融的进价为y元，根据一个冰墩墩的进价比一个雪容融的进价多40元可得方程x-y=40，根据购买20个冰墩墩和30个雪容融的价格相同可得方程20x=30y，联立求解即可；
（2）根据题意可得第二周雪容融的售价为(100-m)元，销售量为(140+m)个， 第二周冰墩墩的售价为150元，销售量为(120+0.2m)，然后根据(售价-进价)×销售量=总价可得关于m的方程，求解即可.

【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，据此可得AB、BC的长；
（2）根据勾股定理可得32+(t-3)2=10，求解即可；
（3）存在点P，使△CDP是等腰三角形，①当PC=CD=3时，易得t的值；②当PD=PC时，利用勾股定理可得AC、CP，进而可得t；③当PD=CD=3时，作DQ⊥AC于点Q，根据三角形的面积公式可得DQ，利用勾股定理求出PQ，进而得到PC，据此不难求出t的值.